2013年浙江省高考数学试卷及答案(理科)

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绝密★考试结束前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式

如果事件,A B 互斥 ，那么

()()()P A B P A P B +=+

如果事件,A B 相互独立，那么

()()()P A B P A P B ?=?

如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()(1)

(0,1,2,...,)k k n k

n n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式

121

()3

V h S S =+

其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高

柱体体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高

锥体的体积公式1

3

V Sh =

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

球的表面积公式

24S R π=

球的体积公式

34

3

V R π=

其中R 表示球的半径

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=

.A 3i -+ .B 13i -+ .C 33i -+ .D 1i -+ 2．设集合2{|2},{|340},(S)R S x x T x x x C T =>-=+-≤= 则

.A (2,1- .B (,4]-∞- .C (,1]-∞ .D [1,)+∞ 3．已知,x y 为正实数，则

.A l g l g

l g

2

22x y x +

=+ .C lg()lg lg 222x y x y +=?

.C l g

l g

l g

22

2

2x y x y ?=+ .D lg()

lg lg 2

22xy x y =? 4．已知函数()cos()(0,0,),f x A x A R ω?ω?=+>>∈，则“()f x 是奇函数” 是“2

π

?=

”的

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件

.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

9

5

，则 .A 4a = .B 5a = .C 6a = .D 7a =

6．已知,sin 2cos tan 2a R ααα∈+==则 .

A 43 .

B 34 .

C 34- .

D 43

- 7．设0,A B C P ?是边AB 上一定点，满足01

4

P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有

P B P C ?≥ 00P B PC ? 则有

.A 90ABC ∠= .B 90BAC ∠=

.C ,A B A C = .D A C B C

= 8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2),x k f x e x k =--=则

.A 当1,()1k f x x ==时在处取到极小值 .B 当1,()1k f x x ==时在处取到极大值 .C 当2,()1k f x x ==时在处取到极小值 .D 当2,()1k f x x ==时在处取到极大值

3．如图，12,F F 是椭圆2

21:14

x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是

(第12题图)

.

A .

B .

C 32 .

D 10. 在空间中，过A 点作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=.设

,αβ是两个不同的平面，对空间任一点P ，12[()],[()],Q f f P Q f f P βααβ== 恒有12PQ PQ =则

.A 平面α与平面β垂直 .B 平面α与平面

β所成（锐）二面角为45

.C 平面α与平面β平行 .D 平面α与平面β所成（锐）二面角为60

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．设二项式5

的展开式中常数项为A ，则A = . 12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积

等于 cm 3.

13．设,z kx y =+其中实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

若z 的最大值为12，则实数k = .

14．将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，

则不同的排法共有 种(用数字作答).

15．设F 为抛物线2

:4C y x =的焦点，过点(1,0)P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB

的中点，若||2,FQ =则直线l 的斜率等于 .

16．在ABC ?中，90,C M BC ∠=

是的中点，若1

sin ,sin 3

BAM BAC ∠=

∠=则 . 17．设12,e e 为单位向量，非零向量1212,,,,b xe ye x y R e e =+∈ 若的夹角为6π，则||||

x b 的最大值等于

.

三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.

(Ⅰ)求d ，n a ； ⅠⅠ()120,|||||.n d

a a a <+++ 若求|

(第20题图)

M

19．(本题满分14分)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取

出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分. (Ⅰ)当3,2,1a b c ===时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量

ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

ⅠⅠ(

)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若55

,,39

E D ηη==求::a b c .

20．(本题满分15分)如图，在四面体A BCD -中，,AD BCD ⊥平面 ,2,B C

C D A D ⊥=,B D M A D

=是的中点，P BM 是的中点， 点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.

(Ⅰ)证明：PQ BCD //平面； ⅠⅠ()若二面角C BM

D --的大小为60 ，求BDC ∠的大小.

21．(本题满分15分)如图，点(0,1)P -是椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>

的一个顶点，1C 的长轴是圆2

2

2:4C x y +=的直径，12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交2C 于,A B 两点，2l 交1C 于另一点D

(Ⅰ)求椭圆1C 的方程；

ⅠⅠ()求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.

22．(本题满分14分)已知,a R ∈函数3

2

()333 3.f x x x ax a =-+-+

(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； ⅠⅠ()当[0,2]x ∈时，求|()|f x 的最大值.

(第21题图)

参考答案

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．10- 12．24 13．2 14．480 15．1± 16．3

17．2. 三．解答题：本大题共5小题，共72分.

18．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.

(Ⅰ)求d ，n a ； ⅠⅠ()120,|||||.n d

a a a <+++ 若求|

(Ⅰ) 解;：由题意得

223125(22)34014a a a d d d d ?=+?--=?=-=或

所以 11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或

ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d <由(Ⅰ)得1,11,n d

a n =-=-则

当11n ≤时，212121

||||||.22

n n a a a S n n +++==-

+ 当12n ≥时，21211121

||||||2110.22

n n a a a S S n n +++=-+=-

+ 综上即得2122121

11,22||||||12111012.

22

n n n n a a a n n n ?-+≤??+++=?

?-+≥??

19．(本题满分14分)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取

出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分. (Ⅰ)当3,2,1a b c ===时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量

ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

ⅠⅠ(

)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若55

,,39

E D ηη==求::a b c .

(Ⅰ)解：由题意得2,3,4,5,6.ξ=

故 3312321231225

(2),(3),(4),6646636618

P P P ξξξ?????+?==

=======???

(第20题图)

2211111

(5),(6).6696636

P P ξξ???======?? 所以ξ的分布列为

ⅠⅠ()由题意知η的分布列为

所以 (),3

E a b c a b c a b c η=

++=++++++ ① 2225555

()(1)(2)(3).3339

a b c D a b c a b c a b c η=-?+-?+-?=+++++

+ ②

由①②化简得2403::3:2:1.41102a b c a c

a b c a b c b c --==????=?

?+-==??

20．(本题满分15分)如图，在四面体A BCD -中，,AD BCD ⊥平面 ,2,B C C D A D ⊥=,B D M A D

=是的中点，P BM 是的中点， 点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.

(Ⅰ)证明：PQ BCD //平面； ⅠⅠ()若二面角C BM

D --的大小为60 ，求BDC ∠的大小.

方法一：

(Ⅰ)取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF

FC =，连结,,.OP OF FQ

因为3AQ QC =，所以1

,.4

QF AD QF AD =

//且 因为,O P 分别是,BD BM 的中点，所以OP BDM ?是的中位线， 所以 1

,.2

OP DM OP DM =

//且 又点M 为AD 的中点，所以 1

,.4

OP AD OP AD =//且

从而 .OP FQ OP FQ =//且 所以四边形OPQF 为平行四边形，故 ,P Q O F // 又,,PQ BCD OF BCD ??平面平面所以.PQ BCD //平面

y

ⅠⅠ()作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连结CH .

因为,,AD BCD CG BCD ⊥?平面平面所以AD CG ⊥. 又,,CG BD AD BD D CG ABD ⊥=⊥ 故平面. 又,.BM ABD CG BM ?⊥平面所以

由,,,,.GH BM CG GH G BM CGH GH BM CH BM ⊥=⊥⊥⊥ 故平面所以

所以CGH ∠为二面角C BM D --的平面角，即60.CGH ∠=

设,BDC θ∠= 在Rt BCD ?中，

2cos ,

sin sin ,sin 2sin .

CD BD CG CD BG BC θθθθθθθ=

=====

在Rt BDM ?中 2s i n 3B G D M

HG BM θ?==

在Rt CHG ?中，

3cos tan sin CG CHG HG θ

θ

∠=== 即tan θ= 而BDC θ∠=是三角形的一个内角

所以60.BDC ∠=

方法二:(Ⅰ)如图，取

BD 中点O ，以O

为原点，,OD OP

所在射线为,y z 轴的正半轴，建立空间直角

坐标系.Oxyz 由题意知(0,A B D

设点0

0(,,0),C x y 因为3AQ QC =

，所以003

31(

,

,).4442

Q x y + 因为M 为AD 的中点，故

M .又P 为BM 的中点，故1

(0,0,).2

P

所以 0033

(,,0).444PQ x y =+

又平面BCD 的法向量为(0,0,1),u = 故0.PQ u ?=

又,PQ BCD ?平面所以 PQ BCD //平面

ⅠⅠ(

)设(,

,)m x y z

=

为平面BMC

的一个法向量，由 0000)0

(,1),0

x x y y z CM x y BM z ?-++=?=-=

??+=??

取1,y =-得 00

(y m x =-

又平面BDM 的一个法向量为(1,0,0),n =

于是

2

||1

|cos,|(3

2

||||

y

m n

m n

x

m n

+

?

??===?=

①

又,0,

BC

CD CB CD

⊥?=

所以故

22

000000

(,,0)(,0)02

x y

x y x y

-

?-=?

+=②联立①②解得

),

x

x

y

y

?

=

?

=

?

??

??

=

???

=

??

舍去或

所以tan BDC

∠==

因为BDC

∠是三角形的一个内角，所以60.

BDC

∠= .

21．(本题满分15分)如图，点(0,1)

P-是椭圆

22

122

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>

的一个顶点，

1

C的长轴是圆22

2

:4

C x y

+=的直径，

12

,l l是过点P

且互相垂直的两条直线，其中

1

l交

2

C于,A B两点，

2

l交

1

C于另一点D.

(Ⅰ)求椭圆

1

C的方程；

ⅠⅠ

()求ABD

?面积取最大值时直线

1

l的方程.

(Ⅰ)解：依题意得

2

1

a

b

=

?

?

=

?

，所以椭圆C的方程为

2

2 1.

4

x

y

+=

ⅠⅠ

()设

112200

(,),(,),(,),

A x y

B x y D x y由题意知直线

1

l的斜率存在，

不妨设为k，则

1

l的方程为1

y kx

=-.

又圆22

2

:4

C x y

+=，故点O到直线

1

l

的距离d=

所以||

AB==

又

12

l l

⊥，故直线

2

l的方程为0

x ky k

+

+=

故

02

8

.

4

k

x

k

=-

+

所以

||

PD=

设ABD

?的面积为S，则

1

||||

2

S AB PD

=?=

(第21题图)

1313

当且仅当k=.

所求直线

1

l的方程为1

y x

=-.

22．(本题满分14分)已知,

a R

∈函数32

()333 3.

f x x x ax a

=-+-+

(Ⅰ)求曲线()

y f x

=在点(1,(1))

f处的切线方程；

ⅠⅠ

()当[0,2]

x∈时，求|()|

f x的最大值.

(Ⅰ)解：由题意2

()363(1)33

f x x x a f a

''

=--?=-

因为(1)1,

f=故所求切线方程为(33)34

y a x a

=--+

ⅠⅠ

()由于2

()3(1)3(1),02

f x x a x

'=-+-≤≤故

⑴当0

a≤时，有()0

f x

'≤，此时()

f x在[0,2]上单调递减，故

max

|()|max{|(0)|,|(2)|}33.

f x f f a

==-

⑵当1,()

0,

a f x

'

≥≥

时有此时()

f x在[0,2]上单调递增，故

max

|()|max{|(0)|,|(2)|}31

f x f f a

==-

⑶当01

a

<<时，设

12

11

x x

==

1212

02,()3()().

x x f x x x x x

'

<<<=--

列表如下：

故

1212

()()20,()()4(1

f x f x f x f x a

+=>-=-

从而

12

()|()|.

f x f x

>

所以

max2

|()|max{(0),(2),()}.

f x f f f x

=

(i)当

2

3

a

<<时，(0)|(2)|

f f

>

又

2

1

()(0)2(1(23)0,

f x f a a

-=--=>

(ii)当

2

1,|

(2)|(2),(2)(0).3

a f f f f ≤<=≥时且 又 21()(2)2(1(32)f x f

a a -=--=所以

①

1max 123

,()(2),()()12(134

a f x f f x f x a ≤<>==+-时故②

1max 3

1,()|(2)|,()|(2)|3 1.4

a f x f f x f a ≤<≤==-时故 综上所述 max 3303|()|12(104

3

314a a f x a a a a ?

?-≤??

=+-<

-≥

??