人教版初二数学上册全等三角形 训练及答案
A
B
E
C
D
（第5题）
A
B
C
D E （第4题）
A C
F
E
D
A O
D B C
（第1题）
A
B
F
E D
C （第6题）
（第7题）
第十一章 全等三角形
第1课时 全等三角形
一、选择题
1．如图，已知△ABC ≌△DCB ，且AB=DC ，则∠DBC 等于（ ） A ．∠A B ．∠DCB C ．∠ABC D ．∠ACB
2．已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
3．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝． 4．如图，△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED ，则DE 与BC 的位置关系是___________，数量关系是___________． 三、解答题 5．把△ABC 绕点A 逆时针旋转，边AB 旋转到AD ，得到△ADE ，用符号“≌”表示图中与△ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角．
6．如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△DEF ． 求证：AC ∥DF 。
7．如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．
A
D
B C （第2题） A
F E C D
B
（第3题） A
B C （第4题）
一、选择题
1． 如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这
两个三角形全等，则x 等于（ ）
A ．
73
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
2．如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需知道的一个条件是________．
3．已知AC=FD ，BC=ED ，点B ，D ，C ，E 在一条直线上，要利用“SSS”，还需添加条件___________，得△ACB ≌△_______． 4．如图△ABC 中，AB=AC ，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C ，若证三角形全等所用的公理是SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_____________________． 二、解答题
5． 如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=FD ，BC =DE ，AE=FC ．
求证：△ABC ≌△FDE ．
6．如图，AB=AC ，BD=CD ，那么∠B 与∠C 是否相等？为什么？
7．如图，AB=AC ，AD = AE ，CD=BE ．求证：∠DAB=∠EAC ．
D C
E F
B
A （第5题） （第6题） A
B
C
D
D
C
E B
A
（第7题）
A
C
D
B
E
F
（第2题）
A B E
D
C （第1题）
A
B
C
E
D
（第6题）
一、填空题
1．如图，AB ＝AC ，如果根据“SAS”使△ABE ≌△ACD ，那么需添加条件________________．
2．如图，AB ∥CD ，BC ∥AD ，AB=CD ，BE=DF ，图中全等三角形有_____________对． 3．下列命题：①腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；④等腰三角形顶角平分线把这个等腰三角形分成两个全等的三角形．其中正确的命题有_____________． 二、解答题
4． 已知：如图，C 是AB 的中点，AD ∥CE ，AD=CE ．
求证：△ADC ≌△CEB ．
5． 如图， A ，C ，D ，B 在同一条直线上，AE=BF ，AD=BC ，AE ∥BF .
求证：FD ∥EC ．
6．已知：如图，AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ． 求证：∠B+∠D=90°；
（第4题） A
B
C D
E
D
C
F B
A E
（第5题）
A
B C
D
O
A
E
C
B
D
E D
C
B
A
A
B F
E
D
C
（第4题）
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．有三个角对应相等的两个三角形全等
B ．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
C ．有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等
D ．面积相等的两个三角形全等 二、填空题
2．如图，∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF, 要证△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS”为依据，还缺条件 ； （2）若以“ASA”为依据，还缺条件 ． 3．如图，在△ABC 中，BD ＝EC ，∠ADB ＝∠AEC ， ∠B ＝∠C ，则∠CAE ＝ ． 三、解答题
4．已知：如图，AB ∥CD ，OA=OC ．求证：OB=OD
5．已知：如图，AC ⊥CE ，AC=CE ，∠ABC=∠CDE=90°，
求证：BD=AB+ED
6．已知：如图，AB=AD ，BO=DO ，求证：AE=AC
O
E A
D
B
C （第6题）
（第3题）
（第5题）
（第2题）
34
2
1
E
D C
B
A A
D
B
C
o
A
B
E
D
C
F
（第3题）
（第5题）
（第6题）
（第4题）
一、选择题
1．已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC
全等的图形是（
）
A ．甲和乙
B ．乙和丙
C ．只有乙
D ．只有丙 二、填空题
2．如图，已知∠A=∠D ，∠ABC=∠DCB ，AB=6,则DC= ． 3．如图，已知∠A=∠C ，BE ∥DF ，若要用“AAS ”证△ABE ≌△CDF ，则还需添加的一个条件是 ．（只要填一个即可）
三、解答题
4．已知：如图，AB=CD ，AC=BD ，写出图中所有全等三角形， 并注明理由．
5．如图，如果AC ＝EF ，那么根据所给的数据信息，图
中的两个三角形全等吗？请说明理由．
6．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC ＝AD ， 求证：AB ＝BE
D
C
B
A
（第2题）
A
B D
F C E （第3题） （第4题） 一、选择题
1．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A ．一个锐角对应相等
B ．两个锐角对应相等
C ．一条边对应相等
D 。一直角边和斜边对应相等 二、填空题
2．如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，
且BE=CD ，则图中有 对全等三角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有 对．
3．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．
三、解答题
4．已知：如图，AC=DF ，BF=CE ，AB ⊥BF ，DE ⊥BE ，垂足分别为B ，E ．
求证：AB=DE
5．如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点, AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .
求证：（1）DE= DF ；（2）∠B =∠C ．
6．如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有BF=AC ，FD=CD ．
求证：BE ⊥AC ．
F
E D
C
B
A
A
B C E
D
（第2题）
O
（第5题）
A
B
C
D
E F A B
C
D
E F
（第6题）
A
C B
E
D D
E C
B
A
A
B C
D E
F 1
2（第2题）
（第4题）
（第6题）
（第5题） 一、选择题
1．下列条件中，不一定能使两个三角形全等的是 （ ） A ．三边对应相等 B ．两角和其中一角的对边对应相等 C ．两边和其中一边的对角对应相等 D ．两边和它们的夹角对应相等
2．如图，E 点在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则全等三角形的对数有 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．有下列命题：
①两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等；
④有锐角为30°的两直角三角形，有一边对应相等，则这两个三角形全等． 其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④ 二、解答题
4．已知AC=BD ，AF=BE ，AE ⊥AD ，FD ⊥AD ． 求证：CE=DF
5．已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到E ，
使DE=AD ．猜想AB 与CE 的大小及位置关系，并证明你的结论．
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上， 且BD ＝CE ，∠DEF ＝∠B ，图中是否存在和△BDE 全等的三角形？并证明．
C
A
E
B
F D
B A
O E
P
D
B
D
C
A （第3题）
（第2题）
一、选择题
1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，P
E ⊥OB ，垂足分别为D ，E ， 下列结论错误的是（ ）
A ．PD ＝PE
B ．OD ＝OE
C ．∠DPO ＝∠EPO
D ．PD ＝OD
二、填空题
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题
4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂足为F ，D ，且分别交AC 、AB 于点G ，E ． 求证：OE=OG ．
5．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD=CD ．
求证：BE=CF ．
6．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，AD =BD ．
（1）求证：AC =BE ；（2）求∠B 的度数。
M
A
C
B
E O
F
D G （第4题）
D A
C
E B F
E
A
C
D
B
（第6题）
E
F
C B A
D （第3题）
D
E
A
F
B
C
（第2题）
一、选择题
1．三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A ．三条边的垂直平分线的交点
B ．三条高的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条角平分线的交点
2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，有下面四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE=AF ；③AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；④到AE ，AF 的距离相等的点到DE ，DF 的距离也相等．其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
3．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积
是28 cm 2
，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ．
三、解答题
4．已知：如图，BD=CD ，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ． 求证：AD 平分∠BAC ．
5．如图，AD ∥BC ，∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，过点P 的直线垂直于AD ，
垂足为点D ，交BC 于点C ．
试问：（1）点P 是线段CD 的中点吗？为什么？
（2）线段AD 与线段BC 的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？
A
B
C
D
P
（第5题）
E
F
A
D
B C 第4题
小结与思考（1）
一、选择题
1． 不能说明两个三角形全等的条件是（ ）
A ．三边对应相等
B ．两边及其夹角对应相等
C ．二角和一边对应相等
D ．两边和一角对应相等 2．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=75°，则∠F 的大小为（ ） A ． 50° B ．55° C ．65° D ．75° 3． 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，则图中全等三角形共有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠
BAC
交BC 于D ，若BC=20
，且BD ︰DC=3︰2，则D 到AB 边的距离是（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 二、填空题
5． 若△ABC ≌△DEF ，△ABC 的周长为100，AB ＝30，DF ＝25，则BC 长为 ． 6．若△ABC ≌△A’B’C’，AB ＝3，∠A’＝30°，则A’B’＝ ，∠A ＝ °． 7．如图，∠B ＝∠D ＝90°，要使△ABC ≌△ADC ，还要添加条件 （只要写出一种情
况）． 8． 如图，D 在AB 上，AC ，DF 交于E ，AB ∥FC ，DE ＝EF ，AB ＝15，CF ＝8，
则BD ＝ ．
三、解答题
9．如图，点D ，E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，要说明△ABE ≌△ACD ，只要
再补充一个条件，问：应补充什么条件？（注意：仅限图中已有字母与线段，至少写出
4个）
10．如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ，点E 在AC 上，点D 在BA 的延长线上，AD
＝AE ．求证：（1）△ADC ≌△AEB ；（2）BE=CD ．
11．如图，CD ⊥AB ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，BE ，CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．你能说明OB ＝OC 吗？
A C
D （第3题）
B
E C
A
D
B
（第5题）
（第9题）
（第10题）
A
B
C
D E
（第6题）
F
（第11题）
12．一个风筝如图，两翼AB ＝AC ，横骨BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ．问其中骨AD 能平分
∠BAC 吗？为什么？
（第12
题）
A E
B D F
C E
D F C B A
（第4题） 小结与思考（2）
一、选择题
1． 如图，△ABC ≌△BAD ，点A 与点B ，点C 与点D 是对应顶点，若AB ＝9，BD ＝8，AD
＝5，则BC 的长为（ ）
A ．9
B ．8
C ．6
D ．5
2． 两三角形若具有下列条件：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③三角对应相
等；④两角和一边对应相等；⑤两边和一角对应相等，其中一定能判定两三角形全等的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在△ABC 和△DCB 中，若∠ACB ＝∠DBC ，则不能证明两个三角形全等的条件是
（ ） A ．∠ABC ＝∠DCB B ．∠A ＝∠D C ．AB=DC D ．AC=DB
4．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A ．AF=2BF B ．AF=BF C ．AF>BF D ．AF 5．已知△ABC ≌△DEF ，BC=6㎝，△ABC 的面积是18㎝2 ，则EF 边上的高是_____㎝． 6．如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，由以下要求补充一个条件，使△ABC ≌△DEF ． （1） （SAS ）；（2） （ASA ）；（3） （AAS ）． 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，E ，D ，F 是BC 边的四等分点，AE=AF ，则图中全等三角形共有 对． 8．如图，点P 是∠AOB 内一点，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PD =PC ，点E 在OA 上， ∠AOB=50°，∠OPE=30°．则∠PEC 的度数是 ． 三、解答题 9．如图所示，AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ，BD 交于E ，由这些条件你能推出哪些结论（不再 添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程，只要求你写出四个你认为正确的结论）． 10．A ，B 两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE ＝150米，BF ＝100米，它 们的水平距离EF ＝250米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？ B C D A （第3题） （第6题） A B D F C E （第9题） （第7题） B A O P D C E （第8题） B C D （第2题） （第10题）11．支撑高压电线的铁塔如图，其中AM＝AN，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，问AD与AE能 相等吗？为什么？ （第11题） 答案与提示 第1课时全等三角形 1．D 2．B 3．65；18 4．平行；相等5．△ADE≌△ABC，对应边：AD=AB，DE=BC，AE=AC；对应角：∠D =∠B，∠DAE=∠BAC，∠E =∠C 6．略7．5 第2课时三角形全等的条件（1） 1．B 2．AB=DC 3．AB=FE，FDE 4．取BC边的中点D，连结AD 5．证AC=EF 6．连接AD 7．证△ADC≌△ABE 第3课时三角形全等的条件（2） 1．AE=AD 2．3 3．①②④4．略5．证△ACE≌△BDF 6．（1）先证△ABC≌△DEC，可得∠D =∠A，因为∠B+∠A=90°，所以∠B+∠D=90°； 第4课时三角形全等的条件（3） 1．C 2．（1）AB=DE （2）∠ACB=∠F 3．∠BAD 4．略5．证△ABC≌△CDE 6．连接AO 第5课时三角形全等的条件（4） 1．B 2．6 3．AB=CD或BE=DF 4．△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），△ABO≌△DCO（AAS）或（ASA）5．全等，用“AAS”或“ASA”可以证明6．证△ABD≌△EBC 第6课时三角形全等的条件（5） 1．D 2．5，4 3．90 4．利用“HL”证Rt△ABC≌ Rt△DEF 5．（1）证明略；（2）证△BDE≌△CDF6．证△BDF≌△ADC，得∠BFD=∠C，由∠BFD+∠FBD=90°，得∠C+∠FBD=90° 第7课时三角形全等的条件（6） 1．C 2．C 3．D 4．略5．相等，平行，利用“SAS”证明△ABD≌△ECD 6．存在△CEF≌△BDE利用“ASA”证明 第8课时角平分线的性质（1） 1．C 2．D 3．2 4．利用角平分线的性质可得OD=OF，然后证明△ODG≌△OFE 5．证△BDE≌△CDF6．（1）略；（2）30° 第8课时角平分线的性质（2） 1．D 2．D 3．2 4．证△BDF≌△CDE，得DF=DE5．（1）点P是线段CD 的中点；（2）AD+BC=AB 小结与思考（1） 1．D 2．B 3．B 4．C 5．45 6．3，30°7．AB＝AD或BC＝CD等8．7 9．（1）BE＝CD；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）∠AEB＝∠ADC；（4）BD＝CE；（5）∠BAD ＝∠CAE；（6）∠ADB＝∠AEC10．（1）由SAS知△ADC≌△AEB； （2）BE＝CD，BE⊥CD11．由AAS可知△ADO≌△AEO，从而有OD＝OE，又∠BDO ＝∠CEO＝90°和∠DOB＝∠EOC，故△ODB≌△OEC（ASA），从而OB＝OC 12．AD能平分∠BAC；由∠1＝∠2，得∠B＝∠C，又AB＝AC，故△ABE≌△ACF，从而AE＝AF，又AD ＝AD，故△ADF≌△ADE，得∠FAD＝∠EAD 小结与思考（2） 1．D 2．C 3．C 4．B 5．6 6．①BC＝EF；②∠A＝∠D；③∠ACB＝∠F7．4 8．55°9．（1）△ADC≌△ABC；（2）AC平分∠DCB；（3）AC平分∠DAB；（4）DE ＝EB；（5）DB⊥AC；10．PE＝100米11．AD＝AE（提示：先说明△AMC≌△ANB，后说明△ADC≌△AEB） 初中数学试卷 全等三角形专题讲解 （一）知识储备 1、全等三角形的概念： （1）能够重合的两个图形叫做全等形。 （2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。 （3）全等三角形的表示： 如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2、全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例1】 如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 3、全等三角形的判定定理： S.A.S “边角边”公理： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】 A.S.A “角边角”公理： 两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】 A.A.S “角角边”公理： 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例4】 S.S.S “边边边”公理： 三边对应相等的两个三角形全等。【例5】 H.L “斜边直角边“公理 斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】 （二）双基回眸 1、下列说法中，正确的个数是（） ①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等 A．4 B．3 C．2 D．1 2、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____， ∠DEF的对应角是_____． 3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD ＝6，AD＝4， 那么BC等于（） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC 的度数 为（） A．40°B．35°C．30°D．25° 5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E 全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 误区提醒 （1）忽略题目中的隐含条件； 八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A 初二上学期数学主要概念 11.1 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 把两个全等三角形重合到一起。重合的顶点叫做对应点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。 全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等。11.2 三角形全等的判定 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 11.3 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在教的平分线上。 12.1 轴对称 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是他的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点。 对称轴经过对称点所连线段的中点，并垂直于这条线段。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 12.3 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上中线、底边上的高相互重合。 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。 等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60°的三角形是等边三角形。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 13.1 平方根 一般地，如果正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算数平方根，a 的算数平方根记为√a，读作“根号a”a叫做被开方数。 0的算数平方根是0. 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 新人教版初二数学上册期末试卷及答案 一、选择题 (每题3分，共30分) 1．如图，下列图案中是轴对称图形的是 ( ) A．(1)、(2) B．(1)、(3) C．(1)、(4) D．(2)、(3) 2．在3.14、、、、、0.2020020002这六个数中，无理数有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为( ) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2) D．(－3，2) 4. 已知正比例函数y=kx (k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数 y=x+k的图象大致是下列选项中的 ( ) 5．根据下列已知条件，能画出△ABC的是( ) A．AB＝5，BC＝3，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 6．已知等腰三角形的一个内角等于50o，则该三角形的一个底角的余角是( ) A．25o B．40o或30o C．25o或40o D．50o 7．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式的图象是( ) A B C D 8．设0＜k＜2,关于x的一次函数，当1≤x≤2时，y的最小值是( ) A． B．C．k D． 9．下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么3a、4b、5c仍是勾股数；②含有30°角的直角三角形的三边长之比是3∶4∶5；③如果一个三角形的三边是，，，那么此三角形 必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，(c > a = b)，那么a2∶b2∶c2=1∶1∶2；⑤无限小数是无理数。其中正确的个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图所示，函数y1=|x|和y2= x+ 的图象相交于(－1,1)，(2，2) 两点，当y1＞y2时，x的取值范围是( ) A．x＜－1 B．－1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜－1或x＞2 二、填空题 (每空3分，共24分) 11．＝_________ 。 12. =_________ 。 13．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= 。14．函数中自变量x的取值范围是_____ 。 15．如图所示，在△ABC中，AB=AC=8cm，过腰AB的中点D作AB的垂线， 交另一腰AC于E，连接BE，若△BCE的周长是14cm,则BC= 。 第15题第17题第18题 人教版初二数学上册 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 ? 2?因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字 相乘法”. 3?公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幕 . 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4 ?因式分解的公式： (1) 平方差公式：a2-b2= (a+ b ) (a- b ); ⑵完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5?因式分解的注意事项： (1) 选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字; (2) 使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； (3) 因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； (4) 因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； (5) 因式分解的最后结果要求加以整理； (6) 因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 . 6 ?因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2 )提负号; (3)全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分 组；(8)提取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项. 7?完全平方式：能化为(m+n ) 2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q , 有“ x2+px+q 是完全平方式二 2 ” . 分式 A 1 ?分式：一般地，用 A 、B 表示两个整式，A - B 就可以表示为B 的形式，如 A 果B 中含有字母，式子B 叫做分式. 3. 对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有 意义；(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式 的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 有理式 2.有理式：整式与分式统称有理式；即 整式 分式 第十二章《全等三角形 》 知识点归纳 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。SSS （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边 对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 初二数学全等三角形测试题 初二数学全等三角形测试题 一、填空 1、 (1)如右图，已知AB=DE，∠B=∠E， 若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是： _____________，理由是：_____________； 这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________； (2) 如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件， A 这个条件可以是：_____________，理由是：_____________； 这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________； 这个条件还可以是_____________，理由是：_____________； B 2．如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°， ∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。 3 。 4 _____________； AOC≌ΔBOC。 6．如图9，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔA DF≌ ，且DF= 。 7．如图10，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠ =∠ 或∥ ，就可证明ΔABC≌ΔDEF。 D Ａ 1 B E C F 8、已知如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS”为依据，还缺条件 . 9．如图12，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC 交BC于D，DE⊥AB于D，若 第11章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 . 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）． 全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 1、三角形ABC，角A=60°，∠B、∠C的角平分线BE与CD交与点O求:OE=OD. 在BC上取点G，使得BD=BG 因为∠A=60° 所以∠BOC=120° 因为∠DOB=∠EOC(对顶角) 所以∠DOB=∠EOC=60°(360-120)/2 尤SAS得△DBO≌△BOG 所以DO=G0 ∠DOB=∠GOB=60° 所以∠GOC=∠BOG=60° 再由ASA得△OGC≌△OEC 所以OG=OE 因为OD=OG 所以OE=OD 2、已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AE⊥BD于E，∠ADB＝∠CDF,延长AE交BC于F，求证:D为AC的中点 作D关于BC的对称点G连接FG、CG 由于角ADB=角BAF 所以角FDC=角BAF 而角B=角C=45° 所以角AFB=180°-角B-角BAF=180°-角C-角CDF=角DFG 所以角AFD+角DFG=角AFD+角DFC+角AFB=180° 所以A、F、G共线 又因为角CAG=角ABD 角ACG=2*45°=90°=角BAD 所以三角形BAD全等于三角形ACG 所以CG=AD 又CG=DC 所以AD=DC 3.已知三角形ABC中，AD为BC边的中线，E为AC上一点，BE与AD交于F，若AE=EF，求证：AC=BF 延长AD到M使DM＝AD，连BM，CM ∵AD=DM,BD=CD ∴ABMC为平行四边形（对角线互相平分） ∴AC‖BM,AC=BM（等于那个最后再用到） ∴∠DAC=∠DMB(∠DAC即∠EAF,∠DMB即∠BMF下面用到)（内错角相等）……① 在三角形AEF中， ∵AE＝EF ∴∠EAF=∠EFA （等腰三角形）……② 新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 1 第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形 非正多边形： 1、n 边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 八年级数学上册知识点总结 第十一章 三角形 一、知识框架： 二、知识清单： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“△”加顶点字母表示，如“△ABC ”（读作“三角形ABC ”）. 2.三角形（按边）分类 ?? ??????等边三角形三角形腰与底边不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 3. 三角形三边关系（定理）：三角形任意两边的和大于第三边； （推论）三角形任意两边的差小于第三边. 4.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高.（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点称为三角形的垂心） （锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角三角形的直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外） 5.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. （三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心） 6.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心） 7.三角形的稳定性：三边长度固定的三角形的形状、大小固定不变，这个性质叫三角形的稳定性. （在所有的多边形中，只有三角形具有稳定性） 8. 三角形的内角：三角形中，相邻两边组成的角称为三角形的内角，也称为三角形的角. 三角形内角和（定理）：三角形的三个内角和为180°. （推论）：直角三角形的两个锐角互余. 9. 三角形的外角：由三角形的一条边和相邻边的延长线组成的角称为三角形的外角. 三角形外角和（定理）：三角形三个外角的和为360°. 三角形外角性质（定理）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和. （推论）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 10. 多边形：在平面内，由不在同一条直线上的n 条线段首尾顺次连接组成的图形叫做n 边形. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 11.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形内角和定理：n 边形的内角和为 .1802n ??-）（ 12.多边形的外角：由多边形的一条边和它的相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形外角和定理：n 边形的n 个外角的和为360°. 13. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 多边形对角线的条数：①.从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把n 边形分成(2)n -个三角形. ②.n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 14..平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面.也称为平面的密铺. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识清单： 1.全等图形与全等三角形： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 新人教版八年级数学上册教学设计 (全册) 第11章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕www. 12999. com 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 思考，是进步的灵魂！ 初二数学（上） 主编：邓大艳 给我一个支点，我可以撑开一片天空 11.1.1全等三角形 【基础知识理解】 1.全等形的、相同. 2.一个图形经过、、后得到另一个图形，这两个图形一定是全等形. 3.全等三角形的性质是：， . 4.“全等”用符号“”表示，读作“”；记两个三角形全等是，通常把表示对应定点的字母写在的位置上. 【知识应用与提高】 1．下列图形中，和左图全等的图形是（） A B C D 2.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.若ΔDEF≌ΔABC, ∠A=70°,∠B=50°,点A的对应点是点D,AB=DE,那么∠F的度数等于（） A.50° B.60° C.50° D.以上都不对 4.如右图所示，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,④∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm， 则有：∠C′=_________，A′B′=__________. 6.如图1，在△ABC中，AC>BC>AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，____<____<____(填边). 7.如图2，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应角是________. （1）（2） 8.如上右图（1）所示，△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,则DE的长为： . 9.如上右图（2）所示,若ΔOAD≌ΔOBC, 且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= . 10.如下左图所示，△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，则这两个全等三角形的其余对应边是：、；图中相等的角是： . 11.如上右图所示，△ABN≌△ACM，AB与AC是对应边，∠B和∠C是对应角，则图中其余相等的边及角分别是： . 初二数学之全等三角形 及解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 初二数学的全等三角形一．选择题（共5小题） 1．（2016春?龙口市期末）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2016春?永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（） A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点 3．（2016?黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（） A．B．C．2 D． 4．（2016?铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 二．填空题（共2小题） 6．（2016?南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC． 其中所有正确结论的序号是______． 7．（2016?潮州校级一模）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则 BD=______． 三．解答题（共5小题） 8．（2016?湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 9．（2016?宜宾）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD． 10．（2015秋?增城市校级期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：∠B=∠C． 11．（2014秋?上饶校级月考）已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC=∠B； （2）猜想线段AF、BC的关系． 12．（2015?陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE． 初二数学的全等三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题）人教版八年级数学上全等三角形专题讲解
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