天津市天津一中高二数学下学期期中试题 文 新人教A版
班级_____________ 姓名_____________
一． 选择题：
1．复数?
??
??3－i 1＋i 2 ＝( )
A ．－3－4i
B ．－3＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
2. 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“2
2
4x y +≥”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和
B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=°
B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 多
边形内角和是(2)
180n ?
-· D ．在数列{}n a 中，11a =，1111(2)2n n n a a n a --??
=+ ???
≥，由此归纳出{}n a 的通项公式
4.下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若,2
2
bm am <则b a <”的逆命题是真命题。
B ．命题“0,2
>-∈?x x R x ”的否定是“0,2
≤-∈?x x R x ”。 C ．命题“q p ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题。 D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件。 5．设曲线1
1
x y x +=
-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A ．12-
B.1
2
C.2
D.2- 6．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )
7. 已知x x x f cos sin )(1-=，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，
()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则=)(2013x f ( )
A ．sin cos x x +
B ．sin cos x x -
C ．sin cos x x -+
D ．sin cos x x --
8．函数x x x y cos sin +=在下面那个区间为增函数 ( ) A ． ??
?
??23,2ππ B ．()ππ2, Ｃ． ???
??25,23ππ Ｄ．()ππ3,2 9．已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数x
m y )49(-=是增函数。若q p ∨ 为真命题，q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A.（1，2）
B.（0，1）
C. [1，2]
D. [0，1] 10．若函数()y f x 在R 上可导，且满足不等式
'()()ln f x f x x x
恒成立，且常数,a b
满足a
b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．()ln ()ln f b a f a b
B ．()ln ()ln f a a f b b
C ．()ln ()ln f a a f b b
D ．()ln ()ln f b a
f a b
二．填空题：
11. 命题“存在0x ∈R ，0
2
x ≤0”的否定是_____________
12．设复数ｚ满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 13．若 12z a i =+, 234z i =-，且
1
2
z z 为纯虚数，则实数a 的值为 14．函数y=x+2cosx 在区间[0，
2
π
]上的最大值是 15. 设直线x t =与函数
2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为.____________
16．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
三．解答题： 17. 已知1
:123
x p --
≤；)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ?是q ?的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。
18. 设函数ax ax x x f --=
23
3
1)(，c x x x g ++=42)(2. （Ⅰ）试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；
（Ⅱ）若1-=a ，当]4,3[-∈x 时，)(x f 与)(x g 的图象恰好有两个公共点，
求c 的取值范围.
19. 已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求
实数a 的取值范围．
20. 设函数()()()3
22113
f x x x m x x R =-
++-∈，其中0m > （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线的斜率
（2）求函数()f x 的单调区间与极值
（3）已知函数()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意的
[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围
参考答案 一、选择题
A A A
B D A B
C A C 二、填空题 11．02
,0
0>∈?x R x 12．1 13．3
8
14．
36
+π
15．
2
2 16．2
222ABD ACD ABC BCD S S S S ????++= 三、解答题 17．解：{}1
:12,2,10,|2,103
x p x x A x x x -?-
><->=<->或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ?-+-><->+=<->+或或
p ?是q ?的必要非充分条件，B ∴A ，即910
12
1≥???
?≥+-≤-m m m
18．解（1）a ax x x f --=2)(2'，令1,0)1('
-==-a f
当1-=a 时，0)('
≥x f ，)(x f 在R 上单调递增，函数无极值 所以)(x f 在1-=x 处无极值 （2）)()(x g x f =，x x x c 33123--=
，令x x x x h 33
1
)(23--= 32)(2'--=x x x h ，0)('=x h 令，1-=x 或3 x
3-
)1,3(--
1- )3,1(-
3
)4,3(
4
)('x h
正
负
正
交点 3
5
320<<-
∴c 或9-=c 19．（1）解∵()2
2ln a h x x x x
=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()221
2a h x x x
'=-+．
∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即2
30a -=．
∵0a >，∴a =
经检验当a =
1x =是函数()h x 的极值点， ∴a =
（2）对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，
都有()min f x ????≥()max g x ????． 当x ∈［1，e ］时，()1
10g x x
'=+
>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max
1g x g e e ==+????
．
∵()()()222
1x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．
①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2
x a x a f x x +-'=
>，
∴函数()2
a f x x x
=+在［1，e ］上是增函数，
∴()()2
min
11f x f a ==+????.
由2
1a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．
②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()2
x a x a f x x
+-'=
<，
若a ＜x ≤e ，则()()()2
x a x a f x x +-'=
>．
∴函数()2
a f x x x
=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．
∴()()min 2f x f a a ==????. 由2a ≥1e +，得a ≥
12
e +，又1≤a ≤e ，∴1
2e +≤a ≤e ．
③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2
0x a x a f x x +-'=
<，
∴函数()2
a f x x x
=+在[]1e ，上是减函数．
∴()()2
min
a f x f e e e
==+????.由2a e e +≥1e +，得a
又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +??
+∞??
??
． 20．(1) 解：当
1)1(,2)(,31)(1'2/23
=+=+=
=f x x x f x x x f m 故时，
所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.
（2）解：12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('
=x f ，得到m x m x +=-=1,1
因为m m m ->+>11,0所以
当x 变化时，
)(),('
x f x f 的变化情况如下表： x
)1,(m --∞
m -1
)
1,1(m m +-m +1
),1(+∞+m
)('x f
+
- 0
+
)(x f
极小值
极大值
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。
函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=31
3
223-
+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=31
3
223-
+-m m
（3）解：由题设， )
)((31
)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-=
所以方程1
31
22-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且
0)1(3412>-+=?m ，解得
21
)(21>
- 123 ,32,221221>> =+> 若0 )1)(1(31 )1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意 若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x 则0 ))((31 )(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小 值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是0 31 )1(2<-=m f , 解得3333<<- m ，综上，m 的取值范围是)33 ,21(。