广义积分的收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分?

+∞a

dx

x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有

ε

b b dx x f

证明：对+∞→b lim

0)(=?

+∞

b

dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．

同样对瑕积分?b a

dx x f )((b 为瑕点), 我们有

定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分?b

a dx x f )(收敛的

充要条件是: 0>?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

εηη

b b dx x f

定义9.5如果广义积分?+∞

a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分?

+∞a

dx

x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如?+∞

a dx x f )(收敛而非绝

对收敛，则称?

+∞a

dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．

由于a A A ≥?/,，均有

|)(|/

?A A dx x f ≤

?/

|)(|A A

dx x f

因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a

dx x f )(绝对收敛，

则广义积分?+∞

a

dx x f )(必收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：

定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有

),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数）

则当?+∞

a dx x )(?收敛时,

?+∞

a

dx x f )(也收敛;

当?

+∞a

dx x f )(发散时,

?+∞

a

dx x )(?也发散．

证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使

∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则

1） 如?b

a

dx x g )(收敛，则?b

a

dx a f )(也收敛。

2）如?b a

dx x f )(发散，则?b

a

dx x g )(也发散．

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()

(lim l x g x f x =+∞

→

则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且?+∞

a

dx x g )(收敛, 则积分?+∞

a dx x f )(也收敛．

(2) 如果+∞≤

a

dx x g )(发散，则积分?+∞

a dx x f )(也发散．

证明：如果,0)()

(lim

≠=∞

→l x g x f x

则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )

()

(0

即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然

?+∞

a

dx x f )(与

?+∞

a

dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分?b a dx x f )(与?b

a dx x g )( 如果

f (x ),

g (x ) 是非负函数，且,)()

(lim l x g x f b

x =-

→

则 （1） 当+∞<≤l 0, 且?b

a

dx x g )(收敛时，则?b a

dx x f )(也收敛．

（2） 当+∞≤

dx x g )(发散时，则?b

a

dx x f )(也发散．

对无限区间上的广义积分中，取?

∞

+a

p dx x

1

作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么:

定理9.8 若0≤f (x )≤p x

c

， p >1,那么积分?+∞a

dx x f )(收敛，如

f (x )≥p x

c

，p ≤1,则积分?+∞a

dx x f )(发散．

其极限形式为

定理9.9 如+∞

→x lim l x f x p =)(

(+∞<≤l 0, p >1), 则积分?+∞

a

dx x f )(收

敛．

如∞→b lim l x f x p =)(,

而+∞≤

a dx

x f )(

发散.

例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

(1) ?∞

+?????

?+-+1

11)11ln(dx x x (2)

?∞

++1

1dx x

x n

m

(m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +-

+≤11

)11ln(

=+-≤x x 111

2

1

)1(1x x x ≤+

由?

∞+1

21

dx x 收敛推出?∞+?????

?+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞

→x lim ,11=+-n

m

m

n x x x

所以当n －m >1时，积分?∞

++11dx x x n m

收敛. 当n －m ≤1时，积分?∞++11dx x x n m

发散．

对于瑕积分，使用?-b a

p

dx a x )

(1

作为比较标准，我们有下列柯西判别法．

定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

（1） 如0≤f (x )≤p a x c

)(- (c>0), p<1, 则?b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c )

(- (c>0), p ≥1, 则?b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为

定理9.11 设k

x f a x p a x =-+

→)()(lim

如0≤k <∞, p<1, 则?b a

dx x f )(收敛 如0

a dx x f )(发散．

例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。 (1) ?--1

222)1)(1(x k x dx

(k 2<1)

(2)

?

20

cos sin π

x

x dx

q

p (p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点

因为 -

→1

lim x )

1)(1()1(2

2

2

2

1

x k x dx x --- =

+∞<-)

1(212

k

由2

1

=

p 知瑕积分收敛． （2）0与2

π

都是被积函数的瑕点．

先讨论,cos sin 40

?

π

x x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=x

x x q p p

知: 当p<1时, 瑕积分?

4

cos sin π

x

x dx

q

p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分?

40

cos sin π

x

x dx

q

p 发散． 再讨论

?2

4

cos sin π

πx x dx

q p 因-→

2

lim πx 1cos sin 1

)2(=-x x x q

p p

π

所以当 q <1时, 瑕积分?2

4

cos sin π

πx x dx

q

p 收敛， 当q ≥1时，瑕积分?2

4

cos sin π

πx x dx

q

p 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分?20cos sin π

x

x dx

q

p 收敛; 其他情况发散．

例9.10 求证: 若瑕积分?1

)(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调趋

向于+∞，则+

→0

lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈?x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。

已知?1

0)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有

0>?ε, 0>?δ(δ<1), δ<

,

)(2

ε

x

x

dt t f

从而

0<)(2x f x

≤ε

)( 或

0

即+

→0

lim x x f (x )=0. 例9.11 求证瑕积分?-1

0)]cos 1([1dx x x λ

(λ>0), 当λ<3

1

时收敛 当λ3

1

≥

时发散.

证明:∵+

→0lim x λλ

)]cos 1([3x x x -=+

→0lim x λ

λλ

??

? ??-2

33cos 1x x x x =+

→0

lim x λλ

2cos 112=??

?

??-x x

所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥3

1

时，瑕积分发散．

前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．

定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使

?b

a

dx x g x f )()(=??+ξ

ξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(

为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．

引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使

?b

a

dx x g x f )()(=f (a )?c

a dx x g )(

证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ),

)(?x a

dt t g

对[a ,b ]的任一分法

P: a =x 0

我们有

?b

a

dx x g x f )()(=dx x g x f n

i x x i

i )()(1

1

∑?=-

由此得到

|?b

a

dx x g x f )()(－dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--|

=|dx x g x f x f i n

i x x i

i )()]()([111

-=-∑?-|

≤dx x g x f x f i n

i x x i

i |)(||)()(|11

1

-=-∑?-

≤)(1

f L n

i i ∑=ω△x i

这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知,

当P 0→时,应当有

dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑

?=--→?b

a dx x g x f )()(

我们来证明

≤∈)(min ]

,[x b a x ψdx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--)(max ]

,[x b a x ψ∈≤

为此，引入记号 G(x )=

?x

a dt t g )( 并作如下变换

dx x g x f n

i x x i i

i )()(111

∑

?=--

=)]()([)(111-=--∑i i n

i i x G x G x f

=-∑=-)()(11i n

i i x G x f )()(11

1-=-∑i n

i i x G x f

=-∑=-)()(1

1i n

i i x G x f )()(1

i n i i x G x f ∑-=

=-∑=-)()(11i n

i i x G x f )()(1

1

i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）

=+-∑=-)(])()([1

1i n

i i i x G x f x f )()(n n x G x f

因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,

所以

dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑

?=--

=+-∑=-)(])()([1

1i n

i i i x G x f x f )()(n n x G x f

≥{)(])()([1

1n n

i i i x f x f x f +-∑=-})(min ]

,[x G b a x ∈

=)(min )(]

,[x G a f b a x ∈

同样可证

dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑

?=--≤)(max )(]

,[x G a f b a x ∈

我们证明了不等式

)(min )(]

,[x G a f b a x ∈≤dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--≤)

(max )(]

,[x G a f b a x ∈

即

)(min ]

,[x b a x ψ∈≤dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--≤)(max ]

,[x b a x ψ∈

现令|p|0→, 取极限，就得到

)(min ]

,[x b a x ψ∈≤?b

a

dx x g x f )()(≤)(max ]

,[x b a x ψ∈

因此，存在c ∈[a ,b ]，使得

)(c ψ=?b

a dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［

b a ,］上是连续函数）

也就是?b

a

dx x g x f )()(=?c

a

dx

x g a f )()(

证毕

下面我们证明定理9.12

证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使

?-b a dx x g b f x f )()]()([=?-c

a dx x g

b f x f )()]()([

即

?b

a

dx x g x f )()(=,

)()()()(??+b

c c a dx x g b f dx x g a f

对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论.

使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法

定理9.13 若下列两个条件之一满足，则?+∞

a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）?

+∞a

dx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界;

（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=?A a

dx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )在

[a ,)∞上单调, 且+∞

→x lim g (x )=0.

证明：（1）0>?ε, 设|g (x )|≤M ，∈?x [a ,∞), 因?

+∞

a

dx x f )(收敛，由

Cauchy 收敛原理，a A ≥?0, 使01,A A A ≥?时, 有

M

dx x f A A 2|)(|1

ε

<

?

由积分第二中值定理，我们得到

|)()(|1

?A A dx x g x f ≤+??|)(||)(|ξ

A dx x f A g |)(||)(|1

1??A dx x f A g ξ

≤+??|)(|ξ

A

dx x f M |)(|1

??A dx x f M ξ