江苏届高三上三校联考数学试卷及答案

江苏届高三上三校联考数

学试卷及答案

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江苏省江宁、江浦、六合三校2009届高三上学期12月联考 数学试卷

一、填空题（本题共14小题，每题5分，共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上）

1. 函数32

()31f x x x =-+的单调减区间为____▲_____________;

2. 已知

=?∈==∈==B A R x x y y B R x x y y A 则},,|{},,sin |{2

_▲ . 3. 若（a-2i ）i=b-i,其中i R,b a,∈是虚数单位，则a+b=_______▲________;

4. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图：

则四棱锥P ABCD -的表面积为 ▲ ．

5. 在等差数列{an}中，a 1+ 3a8 + a 15= 60，

则2a9

10

a -值为 ▲ ．

6.当0a >且1a ≠时，函数

()log (1)1

a f x x =-+的图像恒过点A ,若点A

在直线0mx y n -+=上，则42m n

+的最小值

为____▲____.

7.若命题“

01)1(,2

<+-+∈?x a x R x 使得”是真命题，则实数a 的取值范围是

_ 俯视图

左视图

主

视图

▲ .

8.已知βα,?

?? ??∈ππ,43，sin(βα+)=－,

53 sin ,13

124=??? ??-πβ则cos ?

?? ?

?

+4πα= ▲ 9.已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x, 满足f(x+2)= －)(1

x f ，

当3

10.在公差为正数的等差数列{an}中，a10+a11<0且a10a11<0,Sn 是其前n 项和，则使Sn 取

最小值的n 是_____▲_______;

11.函数f(x)= sinx+2|sinx|, x []π2,0∈的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，

则k 的取值范围是 ▲ .

12. 已知,),,1(),cos ,sin (b a t b t t a ⊥-=-=则

)1(2

t +（1+cos2t ）2-的值为 ▲ . 13. 已知(,)P x y 满足约束条件30

1010

x y x y x +-≤??

--≤??-≥?，O 为坐标原点，(3,4)A ，则

cos OP AOP

?∠的最大值是 ▲ .

14.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈满足下列关系式：

()()(),f a b af b bf a ?=+(2)2,f =*

(2)(),2n n n f a n N =∈*(2)()n n f b n N n =∈.考察下列结

论：①(0)(1)f f =； ②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b

为等比数列.其中正确的结论有____▲____.(请将所有正确结论的序号都填上)

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分14分)

已知平面向量(3,1)a =-，

13(,2b =． （Ⅰ）求

a b ?；

（Ⅱ）设b x a c )3(-+=，b x a y d +-=（其中0≠x ），若d c ⊥，

试求函数关系式)(x f y =，并解不等式7)(>x f ．

16．(本小题满分14分)

如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面

ABCD ，

若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.

(Ⅰ)

EF PAD PDC ⊥PAD

???<≤-<<-=)1(,3)0(,1)(24x k x x k x kx x f k

k 87)(2-=k f 02)(<-a x f

18．(本小题满分15分)

如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，

BD 交AC 于E ，2AB =．

（Ⅰ）求CDE ∠cos 的值；

（Ⅱ）求AE ．

C

E

19．(本小题满分16分)

已知数列{a n

}中,a 2

=2,前n 项和为S n ,且S n

=n(an+1)

2

.

(1)证明数列{an+1-an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式

(2)设bn=1(2an+1)(2an-1) ,数列{bn}的前n 项和为Tn,求使不等式Tn>k

57

对一切n ∈N*都成立的最大正整数k 的值

20.(本小题满分16分)

已知函数f(x)= n +lnx 的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x ,

设()2ln n

g x mx x

x =--．

（1）求证：当

()1,0

x g x ≥≥恒成立；

（2）试讨论关于x 的方程：()322n

mx g x x ex tx

x --=-+ 根的个数．

数学试卷（答案）

一、填空题(每题5分，共70分)

（1）（0，2） ， （2）[0，1]， （3）1， （4）（2+2）a2 （5）12， （6）22， （7）（3，+∞）?（－∞，－1），

（8）6556

-

， （9）， （10）10， （11）（1，3），

A

（12）0， (13) 511

, （14）①③④

15.解：(本小题满分14分)

（Ⅰ）0a b =； ………4分

（Ⅱ）由d c ⊥得，0)3(4=-+-x x y ， ………6分

所以

)3(41

-=

x x y ； ………8分

由1

(3)74x x ->变形得：23280x x -->，

解得47-<>x x 或．

所以不等式的解集是(,4)(7,)-∞-+∞ ………14分

16. (本小题满分14分)

解：(Ⅰ)证明：连结AC ，在CPA ?中，

CPA EF ?是的中位

线,EF PA PA ?PAD EF ?PAD ∴PAD EF 平面//PAD ⊥ABCD PAD

ABCD AD

=CD AD ⊥CD ⊥PAD PDC PC 平面?PAD ⊥PDC (本小题满分15分) 解：（1） 0

∴f(k2)=k3－1=87

-，∴k3=81，k=21 ———6′

(2)由（1）得知：????

?<≤-<<-=)121

(3)

21

0(121

)(2x x x x x x f

当

)21,0(∈x 时，f(x)递增，得f(x)<43

-

当

)

1,21[∈x 时，f(x)递增，得f(x)

2a>f(x)max ，得2a ≥2，得a ≥1。 ———15′ 18．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，

CB AC CD ==， 所以15CBE =∠． ———4′

所以

6cos cos(4530)4CBE =-=

∠． ———7′

（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理

2

sin(4515)sin(9015)AE =

-+． ———12′

故

2sin 30cos15AE

=

1

2

?

=

=． ———15′ 19.解：（本小题满分16分）

.解:(1)由题意,当n=1时,a1=S1=a1+1

2 ,则a1=1,

a2=2,则a2-a1=1,

当n ≥2时,an=Sn-Sn-1=n(an+1)2 -(n-1)(an-1+1)2 =1

2 [nan-(n-1)an-1+1]

an+1=1

2 [(n+1)an+1-nan+1] …………………………3分

则an+1-an=1

2 [(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1],

即(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0, 即an+1-2an+an-1=0, 即an+1-an=an-an-1

则数列{an+1-an}是首项为1,公差为0的等差数列.………………6分

从而an-an-1=1,,则数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列, 所以,an=n(n ∈N*) ……………………………8分

(2)bn=1(2an+1)(2an-1) =1(2n+1)(2n-1) =12 (12n-1 - 1

2n+1 )…………………10分

所以,Tn=b1+b2+…+bn=12 [(1-13 )+(13 -15 )+…+(12n-1 -1

2n+1 )]

=12 (1-12n+1 )=n

2n+1

………………………12分

由于Tn+1-Tn=n+12n+3 -n 2n+1 =1

(2n+3)(2n+1)

>0,

因此Tn 单调递增,故Tn 的最小值为T1=1

3 ……………………………………14分

令13 >k

57 ,得k<19,所k 的最大值为18………………………………………16分 120．（本小题满分16分）

（1）由k=1

1=m 得m=1∴f(m)=1=n+0,n=1

∴()1

2ln 2ln n g x mx x x x

x x =--=--． ———2′

∴()()2

22221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥， ∴

()

g x 在[)1,+∞是单调增函数，

∴

()g x ()1112ln10g ≥=--=对于

[)

1,x ∈+∞恒成立．———6′

（2）方程()322n

mx g x x ex tx x --=-+，∴32

2ln 2x x ex tx =-+．

∵ 0x >，∴ 方程为22ln 2x

x ex t

x =-+．

令

22ln (),()2x

L x H x x ex t x =

=-+，

21ln ()2

x

L x x -'=，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；

()()[,),0,[0,)

x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，

当e x =时，

max 2

()().

L x L e e == ———11′ ()()2

22

2H x x ex t x e t e =-+=-+-，

∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所

示，

∴①当

2222

,t e e e e ->>+

即t 时，方程无解． ②当

2222

,t e e e e -==+

即t 时，方程有一个根． ③当

2222

,t e e e e -<<+

即t 时，方程有两个根．—16′ (其它解法参照给分)