全国初中数学联赛试题及答案

全国初中数学联赛试题

及答案

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

2010年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=

（ B ）

A ．1.

B ．2.

C ．3.

D ．4.

2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为

（ C ）

A ．0.

B ．1.

C ．2.

D ．3.

3．若b a ,是两个正数，且 ,011

1=+-

+-a b b a 则

（ C ）

A ．1

03a b <+≤. B ．1

13a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．4

23a b <+≤.

4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为

（ A ）

A ．－13.

B ．－9.

C ．6.

D ． 0.

5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ，

CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )

A ．15°.

B ．20°.

C ．25°.

D ．30°.

6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，

201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ）

A ．28062.

B ．28065.

C ．28067.

D ．28068.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,

x y x y ?+=?+=?则22x y += 13 . 2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知

AC AB 3=，?=∠30CAO ，则c = 19

．

3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝

．

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.

第二试 （A ）

一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足

22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得

222()()()26a b b c a c -+-+-= ①

令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.

于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即

2213m n mn ++= ②

由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =??=?

和1,3.m n =??=? （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533

c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.

（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313

c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC

中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为

△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD 明：PD 是

⊙I 的切线.

证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延

长，交BC 于点N.

因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.

又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.

又CP 公共，所以△A CP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.

由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ 又因为MD 又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .

（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.

（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.

解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-. （1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-??-

解得13a <<. 又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.

N

C A

(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.

由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-， 两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.

所以981,9810,m n -=??-=?或982,985,m n -=??-=?或9810,981,m n -=-??-=-?或985,982,

m n -=-?

?-=-?

解得1,2,m n =??=?或10,913

,9m n ?=????=??或

2,97

,9m n ?=-????=??或1

,

932

,

3m n ?=????=??

又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.

因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.

易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1

(21)212?-?=.

第二试 （B ）

一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.

解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得

222()()()26a b b c a c -+-+-= ① 令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.

于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即

2213m n mn ++= ② 由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =??=?和1,

3.m n

=??=?

（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533

c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313

c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.

第二试 （C ）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．

解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有 p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①

（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．

（2）若1k >，则01>-k . 因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ． 不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m -+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m

-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m

--+=+，即 41)1(=-++m

k p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+?=，10k m ->，从而1(1)6k m p m

-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m

-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．