二次函数的图像与性质知识点及练习
第二节 二次函数的图像与性质
1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2
图象，
能根据图象认识和理解二次函数的性质；
2．理解二次函数c bx ax y ++=2
中a 、b 、c 对函数图象的影响。
一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们
选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，
关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y
＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。
一、二次函数的基本形式
1. y ＝ax 2的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）
3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）
4. y＝a (x－h)2＋k的性质：
5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()
2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ???
，其中2424b ac b h k a a -=-=
，． 六、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．
例1、
例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．
（1）求a 、m 的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．
例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：
（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与
y=x 2的开口大小相等，开口方向相反； （3）y=ax 2
与直线y=x ＋3交于点（2，m ）．
例4、试写出抛物线y=3x 2
经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移2
3
个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
例5、把抛物线y=x 2
+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解
析式是y=x 2
－3x+5，试求b 、c 的值。
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训练题:
1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x
－3m 是关于x 的二次函数．
3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x
＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴
左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．
2
1
2
1
m
m +2m
m +2
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式
为．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）
A．y=x2B．y=－x2C．y=－2x2D．y=－x2
8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）
A．y=x2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）
A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称D．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）
11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）
A．4 B．2 C．D．
12.已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．
14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。
15．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.
17.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。
18.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。
19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝，b＝，c＝ .
20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，?观察图像写出y2≥y1时，
2
1
2
1
4
1
3
1
3
1
2
1
4
1
4
1
2
5
x 的取值范围_______． 22、函数y=ax 2 (a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ） （1)求a 和b 的值
（2）求抛物线y=ax 2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴； （3）x 取何值时，二次函数y=ax 2 中的y 随x 的增大而增大？
1.根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。 ①422+-=x x y ②1422
++-=x x y
③2
21y x x =-++ ④2
516y x x =-+
2．函数y= x 2
的图象向 平移 个单位得到y=x 2
+3的图象；再向 平移 个单位
得到y ＝(x-1)2
+3的图象。