解析几何专题含答案
椭圆专题练习
1.【2017，2】椭圆22
194
x y +=的离心率是
A ．
13
B ．
5 C ．
23
D ．
59
2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，
且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．
6
3
B ．
33
C ．
23
D ．
13
3.【2016高考理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重合，e 1，
e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m
D ．m 4.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左 焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） （A ） 1 3 （B ）12 （C ） 23 （D ） 34 5.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为. 6.【2016高考卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22 221()x y a b a b +=＞＞0的右焦 点，直线2 b y = 与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是. 7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：22 22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， 32），P 4（1，32 ）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2 212 x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = 。 (1) 求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=。证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。 9.【2017，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2 2， 焦距为. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线：13 y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122 k k = ，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线的斜 率. 10.【2017，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1 2 . 已知A 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12 . （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴 相交于点D .若APD △ 的面积为2 ，求直线AP 的方程. 11.【2017，17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别 为1F , 2F ,离心率为1 2 ,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线,过点2F 作直线2PF 的垂线. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标. 12.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值围. 13.【2016高考理数】（本小题满分14分） 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上; (第17题) （ii ）直线与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标. 【答案】（Ⅰ）142 2 =+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)4 1 ,22( 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ， 2 S 面积的表达式，根据 二次函数求最值和此时点P 的坐标. 试题解析： （Ⅱ）（i ）设)0)(2 ,(2 >m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线的斜率为m ， 因此直线的方程为)(22m x m m y -=-，即2 2 m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ?=- ???+=? 得014)14(4 3 2 2 =-+-+m x m x m ， 由0>?，得520+< 3 21+=+m m x x ， 因此1 42223 210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得) 14(222 0+-=m m y ， 因为 m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41 -=. 联立方程?? ??? =- =m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-， 即点M 在定直线4 1 - =y 上. （ii ）由（i ）知直线方程为22 m mx y -=， 令0=x 得22 m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D )) 14(2,142(22 23+-+m m m m ， 所以)1(4 1 ||2121+== m m m GF S ， )14(8)12(||||2122 202++= -?=m m m x m PM S ， 所以2 22221) 12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122 +=m t ，则 21 1)1)(12(2221++-=+-=t t t t t S S ， 当 211=t ，即2=t 时，2 1S S 取得最大值4 9 ，此时22=m ，满足0>?， 所以点P 的坐标为)41,22( ，因此12S S 的最大值为4 9 ，此时点P 的坐标为)41,22(. 考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质. 14.【2015高考，18】（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点 F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程. 【答案】（1）2 212 x y +=（2）1y x =-或1y x =-+． 【解析】 试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为 2 2 ，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.