高一数学不等式部分经典习题及答案

3.不 等 式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若

,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b

c d

>）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n

n

a b >> 4．若0ab >，a b >，则

11a b <；若0ab <，a b >，则11

a b

>。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则

若； ⑤b

a

a b b a ><<则

若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则

若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______

（答：137x y ≤-≤）；

（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则

a

c

的取值范围是______ （答：12,2??-- ???

）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较

2

1

log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，

11log log 22

a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11

log log 22

a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1

2

p a a =+

-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）；

（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

（答：当01x <<或43x >

时，1+3log x ＞2log 2x ；当4

13

x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4

3

x =

时，1+3log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定

和最小”这17字方针。 （1）下列命题中正确的是

A 、1y x

x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2

C 、4

23(0)y x x x

=--

>的最大值是2-

D 、4

23(0)y x x x

=--

>的最小值是2-（答：C ）；

（2）若21x y +=，则24x y

+的最小值是______

（答：；

（3）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______

（答：3+；

4.常用不等式有：（1

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222

a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。 如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________

（答：[)9,+∞）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）

后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：

211111111(1)(1)1n n n n n n n n n

-=<<=-++--

=

<<=（1）已知c b a >>，求证：2

22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；

(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且

11,x y a b >>，求证：x y x a y b

>++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg

lg lg lg lg lg 222

a b b c c a

a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：22

22

a b b c +22()c a abc a b c +≥++；

(6)若*

n N ∈

(1)n +

<

n ；

(7)已知||||a b ≠，求证：

||||||||

||||

a b a b a b a b -+≤

-+； （8）求证：2

22111

1223

n

+

+++

<。 六．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a >

；若0a <,则b

x a

<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。如

已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1

,(--∞，则关于x 的不等式

0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______

（答：{|3}x x <-）

七．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示吗？

设0a >,12,x x 是方程2

0ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则其解集如下表：

如解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。 （答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <

；当01a <<时，1

1x a

<<；当1a =时，x ∈?；当1a >时，

1

1x a

<<） 八．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，

并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从

最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 （1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（答：{|1x x ≥或2}x =-）；

（2）不等式(0x -的解集是____

（答：{|3x x ≥或1}x =-）；

（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x >的解集为______

（答：(,1)

[2,)-∞+∞）；

（4）要使满足关于x 的不等式0922

<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式0860342

2

<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.

（答：81

[7,

)8

） 九．不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 （1）解不等式

25123

x

x x -<--- （答：

(1,1)(2,3)-）

（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，求关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集。 （答：),2()1,(+∞--∞ ）.

十．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2

1

|2|432|+-≥-

x x （答：x R ∈）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；解不等式|||1|3x x +->

（答：(,1)

(2,)-∞-+∞）

（4）两边平方：

若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

（答：4

{}3

）

十一．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如 （1）若2

log 13

a

<，则a 的取值范围是__________ （答：1a >或203

a <<

）； （2）解不等式

2

()1

ax x a R ax >∈- （答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1

{|0}x x a

<<或0}x <）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x 的不等式

0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式

02

>+-b

ax x 的解集为__________（答：（－1,2））

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） （1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______

（答：)

1,+∞）；

（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____

（答：1a <）；

（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____

（答：（

712-,312

+））； （4）若不等式n

a n n

1

)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围

是_____

（答：3

[2,)2

-）；

（5）若不等式2

2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范

围.

（答：1

2

m >-

） （2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数

x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D

上的

()min f x B <.如

已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____

（答：1a >）

（3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

十三．对于方程02

=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，

其次若0≠a ，则一定有042

≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高

次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？

（1）()()2

22210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______

（答：(1,2]）；

（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)，

特别地，若在[0,

]2

π

内有两个不等的实根满足等式cos221x x k =+，则实数k 的

范围是_______.

（答：[0,1)）

十四．一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两

根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？

0()0()0

2f m f n b m a

n ?≥>><-

??

??、()0f k <）。根的分布理论成立（0()02f k b

k a

?≥>->???

????、的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．

如实系数方程2

20x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

2

--a b 的取值范围是_________

（答：（

4

1

，1）） 十五．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程2

0ax bx c ++=的

两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数

2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。

（13

2

ax >+

的解集是(4,)b ，则a =__________ （答：

18

）； （2）若关于x 的不等式02

<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<

关于x 的不等式02

<+-a bx cx 的解集为________

（答：),1

()1,(+∞--

-∞n

m ）； （3）不等式2

3210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______ （答：?）。