高考数学高三模拟考试试卷压轴题第一学期高三期中考试卷数学 理科

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第一学期高三期中考试卷数学 (理科)

本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

第I 卷 共60分 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设集合A ＝{x|x2－3x ＋2≥0}，B={x|2x ＜4}，则A ∪B ＝ ( )

A.R

B. ?

C. {x|x≤1}

D. {x|x ＞2}

2.若复数

22i

1i

a ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.已知命题p ：“0a ?>，都有1a

e ≥成立”，则命题p ?为（） A ．0a ?≤，有1a

e <成立 B ．0a ?≤，有1a

e ≥成立 C ．0a ?>，有1a

e ≥成立D ．0a ?>，有1a

e <成立

4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N*”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是() A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1

D ．2k ＋3k ＋1

5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏

6.设()2

50.22

log 4,log

3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>

7.记不等式组220,

1,2x y x y +-≥??

≤??≤?

解集为D ,若

,则实数a 的最小值是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，

1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（）

A ．2116

B ．32

C ．25

16

D ．3

9.已知函数1

21

)(--=

x e x f x

（其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( )

A.

B.

C.

D

10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）

11.已知函数()sin 3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有

四个实数根，则实数ω的取值范围为（） A. 137(

,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]26

12.已知关于x 的方程222log (||2)5x

x

e e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（）

A ．1-

B ．1

C ．1-或3

D ．1或3-

第Ⅱ卷 共90分

二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.

13.已知向量a ，b 的夹角为60?，2a =，1b =，则2a b +=____.

14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，

则

34

a b

+的最小值为____. 15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ??- ???

（*

,5n n ∈≤≤N 1）

五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．

甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.

16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 如图，在ABC ?中,3

B π

=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.

(Ⅰ)若BCD ?

,求CD 的长; (Ⅱ)

若DE =

求A ∠的大小.

18.(本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >

，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3n

n n

a b =

，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

19.（本小题满分12分）

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

在直角坐标系中，曲线,曲线

为参数)，以坐标原点O 为极点，以

x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线

的极坐标方程；

（Ⅱ）已知射线

与曲线

分别交于点（异于原点），当时，

求

的取值范围.

20.（本小题满分12分）

已知函数()1f x a x x a =-+-（0a >）. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．

21.（本小题满分12分） 函数()()23sin

cos

3cos 02

2

x

x

f x x ωωωω=?+>，在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高

点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ?为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的

4π倍（纵坐标不变），再向右平移3

π

个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点

()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说

明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数()()

()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况； （Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．

第一学期高三期中考试卷解答 数学 (理科)

一、选择题：ABDBB;DCADB,BA

二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.

13., 14．7 15．7

8

16．67

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

(Ⅰ)

由已知得

1

sin

2

BCD

S BC BD B

?

==

，又2

BC=，sin B=

2

3

BD=

……………3分在BCD

?中，由余弦定理得

CD

===

所以CD的长为

3

CD=……………6分

(Ⅱ)因为

sin

DE

CD AD

A

===……………8分

在BCD

?中，由正弦定理得

sin sin

BC CD

BDC B

=

∠

，又2

BDC A

∠=∠, ……………10分

得

26

sin2A

=，……………11分解得cos A=,所以

4

A

π

=即为所求. ……………12分

18.(本小题满分12分）

解:（Ⅰ）21

n

a S

=，2

4(1)

n n

S a

∴=+．………………………………1分

当1

n=时，2

11

4(1)

S a

=+，得

1

1

a=．………………………………2分

当2

n≥时，2

11

4(1)

n n

S a

--

=+，

22

11

4()(1)(1)

n n n n

S S a a

--

∴-=+-+，………………………………3分

22

11

422

n n n n n

a a a a a

--

∴=+--，即

111

()()2()

n n n n n n

a a a a a a

---

+-=+，

0,

n

a>

1

2

n n

a a

-

∴-=．………………………………4分

∴数列{}

n

a是等差数列，且首项为

1

1

a=，公差为2，………………………………5分

12(1)21

n

a n n

∴=+-=-．………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

1

(21)

3

n n

b n

=-?，

23

1111

135(21)

3333

n n

T n

∴=?+?+?+???+-?，——①………………………………7分

231

11111

13(23)(21)

33333

n n n

T n n

+

=?+?+???+-?+-?，——②………………………………8分

①–②得

231

211111

2()(21)

333333

n n n

T n

+

=+++???+--?………………………………9分

21

1

11

11

33

2(21)

1

33

1

3

n

n

n

+

+

-

=+?--?

-

，………………………………10分

化简得

1

1

3

n n

n

T

+

=-．…………………12分

19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由

，得曲线

的极坐标方程，

对于曲线,

,则曲线的极坐标方程为

(2)由(1)得

,

，

因为

，则

20.（本小题满分12分）

解：（1）f(x)＝2|x －1|＋|x －2|＝?

????－3x ＋4，x ＜1，

x ，

1≤x≤2，3x －4，x ＞2． 所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，

又f(0)＝f( 8 3)＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 8

3

}. ....................................6分

（2）

①若a ＞1，f(x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，

当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2. .................................7分 ②若a ＝1，f(x)＝2|x －1|，f(1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分 ③若0＜a ＜1，f(x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，

当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分 综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分

21.（本小题满分12分）

由已知得: ()23sin cos 3cos 3sin 3cos 23sin 223x x f x x x x x ωωπωωωω?

?=?+=+=+ ???………2分

∵A 为图象的最高点，∴A 的纵坐标为23,又∵

ABC ?为正三角形，所以4BC = (3)

分

∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分, ∴()23sin(

)4

3

f x x π

π

=+

…………5分,

（Ⅱ）由题意可得()23sin g x x =,,232P π??

???

…………7分

法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分 注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.

法二：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02

π

θθ+=，

即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)

法三：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02

π

θθ+=，即()24sin 02πθθπθπ+=<<，问

题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。∵()24cos h x x π'=+，()24sin h x x ''=-，当2x ππ<<时，()24sin 0h x x ''=->恒成立，从而说明函数()h x '在(),2ππ中

是单调递增函数………10分，

又()0h π'<，(2)0h π'>，故存在()0,2θππ∈，使得0()0h θ'=从而函数()h x 在区间()0,πθ单调递减，

在区间()0,2θπ单调递增………11分 又()0h π>，()20h π>，302h π??

< ???

，由零点存在定理得:

函数()h x 在区间3,2ππ?? ???和区间3,22ππ??

???上各有一个零点…12分

22.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）()f x '()()()

e 2e x x ax x a =-+--1分

()()1e 21x x a x =---

()()1e 2x x a =--． 因为0a >，由()0f x '=得，1x =或ln 2x a =．

①当e

2a =

时，()()()1e e 0x f x x '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值．2分 ②当e

02

a <<时，ln 21a <．x ,()f x ',()f x 的关系如下表：

故()f x 有极大值(ln 2ln 22f a a a =--，极小值1e f a =-．4分 ③当e

2

a >

时，ln 21a >．x ,()f x ',()f x 的关系如下表：

故()f x 有极大值()1e f a =-，极小值()()2

ln 2ln 22f a a a =--．5分

综上：当e 02

a <<

时，()f x 有极大值()2

ln 22a a --，极小值e a -； 当e

2a =

时，()f x 无极值； 当e 2

a >时，()f x 有极大值e a -，极小值()2

ln 22a a --．6分

（Ⅱ）令()()e g x f x a =-+，则()1()0x g x -≥． （i ）当0a ≤时，e 20x a ->，

所以当1x <时，()()(1)(e 2)0x

g x f x x a ''==--<，()g x 单调递减，

所以()()10g x g >=，此时()1()0x g x -<，不满足题意．8分 （ii ）由于()g x 与()f x 有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知：

①当e

2

a =

时，()g x 在R 上单调递增，又()10g =， 所以当1x ≥时，()0g x ≥；当1x <时，()0g x <．

故当e

2a =

时，恒有()1()0x g x -≥，满足题意．9分 ②当e

02

a <<时，()g x 在()ln 2,1a 单调递减，

所以当()ln 2,1x a ∈时，()(1)0g x g >=，

此时()1()0x g x -<，不满足题意．10分

③当e

2

a >

时，()g x 在()1,ln 2a 单调递减， 所以当()1,ln 2x a ∈时，()(1)0g x g <=，

此时()1()0x g x -<，不满足题意． 11分综上所述：e

2

a =． 12分

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，

n

x ，

1

y ，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，

()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有

m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

π的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F1，F2是双曲线E 22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，

sin 211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A

B ）

3

2

（C

D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=

45，cos C=5

13

，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

1 2 3 4 ≥5 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数

1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0. 05

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4，

EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。