求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方
求函数值域的方法
求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方法,平方法,换元法,反函数法(逆求法),判别式法,复合函数法,三角代换法,基本不等式法等。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 1、 求13+--=x x y 的值域
解法一:(图象法)可化为 ??
?
??>-≤≤---<=3,431,221,4
x x x x y
观察得值域{}
44
≤≤-y y
解法三:(利用绝对值不等式)
4
14114)1(134
)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 所以同样可得值域
2、 求函数[]5,0,522
∈+-=x x x y 的值域 解: 对称轴 []5,01∈=x
[]
20,420,54
,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 3、 求函数x x y -+=12 的值域
解:(换元法)设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y
[)(]
4,41,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下
,对称轴y t t
4、 求函数[])1,0(239∈+-=x y x
x
的值域
解:(换元法)设t x
=3 ,则 31≤≤t 原函数可化为
[][]8,28,3;2,13,12
1
,2m a x m i n 2值域为
时时对称轴∴====∴?=
+-=y t y t t t t y
5、 求函数x x y -+-=
53 的值域
解:(平方法)函数定义域为:[]5,3∈x
[][][]
[]
2
,24,21,0158,5,315
82)5()3(2
222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y
6、 求函数 )0(2
≤=x y x
的值域
解:(图象法)如图,值域为(]1,0
7、 求函数x
x y 2231+-?
?
? ??= 的值域
解:(复合函数法)令1)1(22
2+--=+-=x x x t ,则
3??
?
由指数函数的单调性知,原函数的值域为??
????+∞,31 8、 求函数2
1
+-=
x x y 的值域 解法一:(反函数法){}1121,≠-+=
y y y
y
x x 原函数值域为观察得解出 解法二:(利用部分分式法)由12
3
1232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y
小结:已知分式函数)0(≠++=c d
cx b
ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)
内,值域为?
??
???≠
c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)
,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d
cx c ad
b c a y ≠+-
+
=,用复合函数法来求值域。
9、 求函数1
33+=x x
y 的值域
解法一:(反函数法)10013<<∴>-=
y y
y
x
()01原函数的值域为∴
解法二:(复合函数法)设t x
=+13 ,
则()11
11
31113113>-=+-=+-+=t t y x
x x 101
1
01<<∴<<∴>y t
t
()01原函数的值域为∴ 10、求函数21x x y -+=的值域 解:(三角代换法) 11≤≤-x
∴设[]πθθ,0cos ∈=x
[]
[]
2
,12
,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π
θθθθθy
小结:(1)若题目中含有1≤a ,则可设
)0,cos (2
2
,sin πθθπ
θπ
θ≤≤=≤
≤-
=a a 或设 (2)
若题目中含有12
2=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤
(3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2
2
π
θπ
<
<-
(5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==
其中??
?
?
?
∈2,
0πθ 11、
求函数1
1
22+-=x x y 的值域
解法一:(逆求法)110112
<≤-∴≥-+=
y y
y
x
[)11-∴原函数的值域为
解法二:(复合函数法)设t x =+12
,
则 )1(211
212≥-=+-=t t x y
(]
1,11
122
01-∴<≤-∴≤<∴≥原函数值域为y t
t 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2
=++?+-y x x y 1) 1=y 时 不成立
2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y
11<≤-∴y
综合1)、2)值域}11|{<≤-y y
解法四:(三角代换法)∴∈R
x 设??
?
??-∈=2,2tan ππθθx ,则
()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12
2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ
θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 12、
求函数3
425
2
+-=
x x y 的值域 解法一:(判别式法)化为0)53(422
=-+-y yx yx
1)0=y 时,不成立 2)0≠y 时,0≥?得
500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y
综合1)、2)值域}50|{≤ 解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422 ,则t y 5 = 11)1(22≥+-=x t 50≤<∴y 所以,值域}50|{≤ 13、函数11 ++ =x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2 =+-+x y x (][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1 30 4)1(0 2 原函数值域为 或y y y 解法二:(基本不等式法)1)当0>x 时,321 ≥∴≥+y x x 2) 0 ????-+--=+ y x x x x 综合1)2)知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31, 14、求函数)1(1 2 22->+++= x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2 =-+-+y x y x [)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212 20 )2(4)2(02原函数值域为 舍去 或y x y y y y 解法二:(基本不等式法)原函数可化为 )1(21 1 111)1(2->≥+++=+++= x x x x x y 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2 15、求函数)22 1 (1222≤≤-+++= x x x x y 的值域 解:令t x =+1 ,则原函数可化为)31(1 ≤≤-+ =t t t y 利用函数t t y 1+=在(]1,0上是减函数,在[)∞+,1上是增函数,得 原函数值域为?? ? ???310, 2 小结:已知分式函数)0(2 22 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 )(二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数 的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x x a x y 的单调性去解。 函数单调性的判定方法 学生: 日期; 课时: 教师: 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; . (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3 R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212 221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 22 11221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 ~ 例2.用定义证明函数x k x x f + =)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1 函数的单调性 学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应 用函数的基本性质解决一些问题。 (2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(,2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的, 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的,2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上,f (x )随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上,f (x )随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上,f (x )随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种: 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明:设1x 、),0(2+∞∈x ,且21x x <,则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x , 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的,因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时,容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直 接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log (4x-x 2)的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(-∞,0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =-(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、(1)函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________; (2)函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数,且0)(>x f ,下列函数中为增函数的是 ( ) (A ))(1 x f y -= (B ))(2x f y = (C ))(log 2 1x f y = (D )2 )]([x f y = 7、下列函数中,在区间]0,(-∞上是增函数的是 ( ) (A )842+-=x x y (B ))(log 21x y -=(C )1 2+- =x y (D )x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.[1,3] B.[2,3] C.[1,2] D.(-∞,2] 21.函数y= 在区间[4,5]上的最大值是_______,最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数,那么f (2x -x 2 )的单调增区间是 A.(-∞,1] B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数,则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_______。 分析如下: 令u=x 2-ax+3a ,y= u 。 因为y= u 在(0,+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2,+∞)上是增函数,且对任意x∈[2,+∞),都有u >0。 用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得 .又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -函数单调性的判定方法(高中数学)
函数的单调性 知识点与题型归纳
高中一年级函数单调性完整版
函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判断
用函数单调性定义证明