2014年全国高考全国新课标i数学(理)试卷及答案【精校版】

普通高等学校招生全国统一考试全国课标1

理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

230x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?=

） C .[-1,1] D .[1,2）

C .1i -+

D .1i --

3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

4.已知F 是双曲线C ：2

2

3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为https://www.360docs.net/doc/8f11311925.html,

A .

B .3

C

D .3m

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A .18

B .38

C .58

D .78

6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =

A .

203 B .165 C .72 D .158

8.设(0,

)2π

α∈，(0,)2

π

β∈，且1sin tan cos βαβ+=

，则 A .32

π

αβ-=

B .22

π

αβ-=

C .32

π

αβ+=

D .22

παβ+=

9.不等式组1

24x y x y +≥??-≤?

的解集记为D .有下面四个命题：

1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-.

其中真命题是

A .2p ，3P

B .1p ，4p

C .1p ，2p

D .1p ，3P

10.已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一

个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r

，则||QF =

A .

72 B .5

2

C .3

D .2 11.已知函数()f x =3

2

31ax x -+，https://www.360docs.net/doc/8f11311925.html, 若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A .62

B .42

C .6

D .4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8

()()x y x y -+的展开式中2

2

x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u u

r 的夹角为 .

16.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，https://www.360docs.net/doc/8f11311925.html, 记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 15012.2.

若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.

19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；

（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o

160CBB ∠=，

AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3

，

F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为

23

3

，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

21. (本小题满分12分)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的

切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE

.(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；https://www.360docs.net/doc/8f11311925.html,

（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+??=-?（t 为 参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若0,0a b >>，且

11

a b

+=. (Ⅰ) 求3

3

a b +的最小值；

（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.

理科数学试题答案 一、

选择题

（1）A （2）D （3）B （4）A （5）D （6）B （7）D （8）B （9）C （10）C （11）C （12）C 二、填空题

（13）-20 （14）A （15）90° （16 三、解答题

（17）解：

（I ）由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=- 两式相减得 121().n n n a a a a λ+++-=

由于10n a +≠，所以 2.n n a a λ+-= ……6分

（II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=- 由（I ）知，3 1.a λ=+ 令2132a a a =+，解得 4.λ= 故24n n a a +-=，由此可得

{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.

所以21n a n =-，12n n a a --=. 因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数

列. ……12分 （18）解：

（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s 分别为

1700.021800.091900.222000.33x =?+?+?+?

2100.242200.082300.02+?+?+? =200

2222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-?+-?+-?

22200.33100.24200.08300.02150.

+?+?+?+?= …

…6分

（II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而

(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）

……9分

（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X-B(100，0.682 6)，所以1000.682668.26.EX =?= ……12分 （19）解：

（I ）连接1BC ，交1B C O 于点，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以

1111,B C BC O B C BC ⊥且为及的中点.

又111,..AB B C B C ABO AO ABO B C AO ⊥⊥?⊥所以平面由于平面，故 又11,=.B O CO AC AB =故

（II ）因为11,.AC AB O B C AO CO ⊥=且为的中点，所以

又因为1,,,,,AB BC BOA BOC OA OB OA OB OB =???⊥所以故从而两两相互垂直， 以

.

O OB x OB O xyz =为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系因为1160,.CBB CBB AB BC ∠=??=所以为等边三角形又，则

111111333

(00),(100),(0,,0),(0,,0).33

3

3333(0,,),(1,0,),(1,,0),A B B C AB A B AB B C BC -

=-==-

==--u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，，，，

11111(,,)33=00,0,30.3(1,3,3).

n x y z AA B y z n AB n A B x z n =?-???=????=???-=??=u u u r u u u u

r 设是平面的法向量，则，即所以可取

11111110,

0,(1,3,3).

m A B m A B C m B C m ??=???=??=-u u u u r

u u u u r

设是平面的法向量，则同理可取

则

1111

cos ,.7

1

.

7

n m n m n m A A B C ?=

=--所以二面角的余弦值为 ……

12分

（20）解：

2222(c,0)a=2, b 1.1.

F c c a c =-==（I ）设，由条件知， 11222

2:=2,(,),(,).214

x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得

2

2

(14)16120.k x kx +-+=

2

2

1,221238=16(43)0,441

k k k x k PQ x O PQ d OPQ ±?->>=+=-==?当即时，从而又点到直线的距离所以的面积

1=2OPQ S d PQ ??= ……9分

244

,0,.4

444,20.2

22OPQ t t t S t t t

t t k t OPQ y x y ι?=>==+++≥==±?>?=

-=-则因为当且仅当，即所以，当的面积最大时，的方程为或

……12分

（21）解：

112()'()1.

x x x x a b b f x f x ae nx e e e x x x

==∞=+-+（I ）函数的定义域为(0,+),11

(),()11.g x g x e e

e e

+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为

g()=-

……8分

2

(),'()(1).

(0,1)'()0;(1,)'()0.()1

()(0,)(1).

0()(),() 1.

x x h x xe h x e x e

x h x x h x h x h x h e

x g x h x f x --=-=-∈>∈+∞<∞∞=->>>设函数则所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即

……12分 （22）解： （I ）由题设知

,,,=A B C D D CBE CBE E D E ∠∠∠∠∠=∠四点共圆，所以，由已知得=，故。

……5分

..

,,BC N MN MB MC MN BC O MN AD O M AD OM AD MN AD AD BC A CBE CBE E A E D E ADE =⊥⊥⊥∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠?e P （II ）设的中点为，链接，则由知，故在直线上又不是的直径，为的中点，故，即所以，故又，故由（I ）知，所以为等边三角形.

……10分 （23）解：

2cos .().

3sin .60.

x y l x y θθθ=??=?

+-=（I ）曲线C 的参数方程为为参数直线的普通方程为2 ……5分

cos sin 54cos 3sin 6.

5

l d θθθθ=+-（II ）曲线C 上任意一点P(2.3)到的距离为

254

5sin()6,tan .

sin 3053

225

sin .525

sin()1.

5

d PA PA PA θαααθαθα=

=+-=?+=则其中为锐角，且当(+)=-1时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为

……10分 （24）解：

（I ）由

11

a b =

+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故

33a b +≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为

……5分

（II ）由（I ）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得

236a b +=．

……10分