小学奥数教程-多位数计算.教师版 (7) 全国通用(含答案)
多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运算的一切考法，还有自身的“独门秘籍”，那就是“数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。
多位数的主要考查方式有
1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算
2.计算多位数的各个位数字之和
一、 多位数运算求精确值的常见方法
1. 利用9
999
9101k k =-个，进行变形
2. “以退为进”法找规律递推求解
二、 多位数运算求数字之和的常见方法
M ×k 9
999...9个的数字和为9×k ．(其中M 为自然数，且M ≤k 9
999...9个)．可以利用上面性质较快的获得结果．
模块一、多位数求精确值运算
【例 1】 计算：200720073
555333???????个5
个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 20073
333???个乘以3凑
出一个20073
999???个，然后在原式乘以3的基础上除以3，所以
原式20075
20079
5559993=???????÷个个20075
20070
5550003=????
???÷个个（1-1）20075
20070
20075
5550005553=?????????÷个个个（-） 20074
20065
55544453=??????÷个个668185
668148
185185184814814815=??????个个
【答案】668185
668148
185185184814814815??????个个
【巩固】 计算：20078
20073
888333???????个个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 20073
333???个乘以3凑
知识点拨
教学目标
例题精讲
多位数计算
出一个20079
999???个，然后在原式乘以3的基础上除以3，所以
原式20078
20079
8889993=???????÷个个20078
20070
8880003=???????÷个个（1-1）20078
20070
20078
8880008883=?????????÷个个个（-）
20061
20068
888711123=??????÷个个668296
668037
296296295703703704=??????个个
【答案】668296
668037
296296295703703704??????个个
【巩固】 计算20043
333
359049?个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们可以把20043
3333个转化为200499993÷个9
，进而可以进行下一步变形，具体为：
原式20043
333359049=?=个20042004999
9359049999919683÷?=?个9个9
20040
20040
19999
(1000
01)196831968300...0196831968299...9980317=-?=-=个个个
【答案】19999
1968299...9980317个
【巩固】 计算200420083
666
69333...3??个6
个的乘积是多少？
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们可以将原题的多位数进行9
9999101k k =-个的变形：
原式=20043
3333个20082333333????个3
=20043
3333个200823999
9???个9
=2003199998?个9（20081000
01-个0
）=2003199998个9×20081000
0个0
-20031999
98个9
=20039
20030
1999
979998000
02个个.
【答案】20039
20030
1999
979998000
02个个
【巩固】 快来自己动手算算
20071
20079
20079
20077
111999999777???????+???????÷个个个个（）3的结果看谁算得准？ 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题是提取公因数和凑整的综合。
原式20071
20079
20077
999(111777)]???????+???÷个个个=[320079
20078
999888???????÷个个= 3 20070
20078
0001)888???-????÷个个=(13
200720070
20078
888000888)??????-???÷个8
个个=(320061
20068
88871112??????÷个个=3668296
668037
296296295703703704=??????个个
【答案】668296
668037
296296295703703704??????个个
【巩固】 计算20089
20088
20086
999888666???????÷???个个个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题着重是给大家一种凑的思想，除数是20086
666???个，所以需要我们的被除数也能凑出20086
666???个
这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以： 原式20082
20083
20086
33334222666=?????????÷???个个个20081
20086
20086
34111666666=?????????÷???个个个
20084
3444=????个200713332=个3
【答案】200713332个3
【例 2】 请你计算200892008920089
99
99991999?+个个个结果的末尾有多少个连续的零？
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开
方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律 9×9=81；99×99=9801 ；999×999=998001；9999×9999=99980001；…… 所以：20089
20089
999999?个个20079
200799980001=个个0
原式2007920072008999980001+199
9=个个0个40160
1000=个
方法二：观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 很接近 1 000
，
于是我们采用添项凑整，简化运算。
原式20080
20089
20080
20089
100019991000999-?++个个个个=（）20089
20080
20089
20080
20089
9990009991000999=??????-???+???+???个个个个个
20089
20080
20080
9990001000=??????+???个个个40160
1000=???个
所以末尾有4016个0
【答案】4016个0
【例 3】 计算19982
19982
22222222?个个的积
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们先还是同上例来凑成k 9
9999个；
19982
19982222
2222
2?个个＝19982199892999922229???? ? ???个个＝19982
19980210000122229?
??-? ? ???个个 ＝1998419980110000144449???-? ? ???个个＝199841998419980
14444000044449?
??- ? ???个个个 ＝1997419975
1
44443555569?个个、 我们知道94
444
4个能被9整除，商为：049382716．又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩
下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为
45，可以被9整除．84444355个4
能被9整除，商为04938271595；我们知道55559个5
能被9整除，
商为：061728395；这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．555566个5
能被9整除，商为0617284．于是，最终的商为：
220049382716221061728395
49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284个个 【答案】220049382716221061728395
49382716049382716
04938271604938271595061728395
0617283950617284个个
【例 4】 计算：12345679
12345679012345679
01234567981?99个0
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式000000001
12345679100000000100000000181=??99个
000000001
9999999991000000001000000001=?99个
999999999
999999999999999999=100个
【答案】999999999
999999999999999999100个
【巩固】 1234567901234567981?
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】武汉，明心奥数 【解析】 原式(12345679100000000012345679)81=?+?
12345679100000000181=?? 9999999991000000001=?
189
99
9=个
【答案】189
99
9个
【例 5】 求20073
333333...33...3++++个的末三位数字.
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ，
则200732006302005300602160180601500667701?+?+?=++=，原式末三位数字为701
【答案】701
模块二、多位数求数字之和
【例 6】 求33333336666666?乘积的各位数字之和.
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 方法一：本题可用找规律方法：
3×6=18 ； 33 × 66 =2178 ；333 × 666 =221778；3333 × 6666 =22217778；…… 所以：3
6
33....366....6?n 个n 个27
22...2177...78=(n-1)个(n-1)个，则原式数字之和26176863?++?+=
原式99999992222222=?
(100000001)2222222=-? 222222200000002222222=- 22222217777778=
所以，各位数字之和为7963?=
【答案】63
【巩固】 求111 111 × 999 999 乘积的各位数字之和。
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们
采用添项凑整，简化运算。 原式=111111×(1000000-1)
=111111×1000000-111111×1 =111111000000-111111 =111110888889 数字之和为9654?=
【答案】54
【例 7】 如果20103
333333333A =++++个，那么A 的各位数字之和等于 。
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，5年级
【解析】
20103
103033033303330A =++++个，所以 20103320109333033333327300A =---
-=个2006个次
，3
668370
333273009370370
370369700A =÷=2006个个，数字和为
66810256705?+=.
【答案】6705
【例 8】 若100415
20083
151515333
3a =?个个，则整数a 的所有数位上的数字和等于（ ）
． （A ）18063 （B ）18072 （C ）18079 （D ）18054
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】第十三届，华杯赛 【解析】 100415
20083
1515153333a =?个个10045100320089
50505059999=?个和个0
个1004510030
20080
50505051000001=?-个和个个（）
100450
20070
1004510030
505050
500000
05050505=-个个个和个100350
100449
505050
50494949
495=个个
所以整数a 的所有数位上的数字和100351004(49)518072=?+?++=． 【答案】（B ）18072
【巩固】 计算666
66666725??2004个6
2003个6
的乘积数字和是多少?
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 我们还是利用9999100001=-k 个9
k 个0
，来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成999
9k 个9
，
于是我们就创造条件使用：
66662004个6
6666725??2003个6
20042[99993=?个9×20042(99991)]253?+?个9=[23×
（100001-2004个0）]×[2
3×（100002004个0
）+1]×25 =13×13×[2×100002004个0-2]×[2×（100002004个0）+1]×25=259×[4×100004008个0-2×100002004个0
-2]
=1009×99994008个9-509×20049999个9=100×40081111个1-50×20041111个1 =40081
20045111100555
50-个个=1
20045
11110555
502004个个
所以原式的乘积为1
20045
11110555
502004个个，那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．
【答案】12024
【例 9】 试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．
设1993×123=M ，则(1000×123＝)123000 ＝000000abcdef -abcdef ＝()1999999abcdef f -+1－abcdef ＝()()()()()()()1999999abcdef f a b c d e f -------+1 ＝()()()()()()()19999991abcdef f a b c d e f -------+ 那么这个数的数字和为：a +b +c +d +e +(f －1)+(9－a )+(9－b )+(9－c )+(9－d )+(9－e )+(9－f +1)=9×6=54．所以原式的计算结果的数字和为54． 【答案】54 【巩固】 下面是两个1989位整数相乘：19891 19891 111...11111...11?个个。那么乘积的各位数字之和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 解法一： 在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为19891 111...11个能被9整除，所以将一个19891 111...11个乘以9， 另一个除以9，使原算式变成： 19899 1988999......99123456790......012345679?个共位数 =19890 19881000......001123456790......012345679-?个共位数 （） =198819890 1988123456790......012345679000......00123456790......012345679-共位数 个共位数 =19881980123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321共位数 共位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为： 1234567922098765432220+++++++?++++++++?（）（） +1234567898765432117901++++++++++++++++=（）（） 解法二： 198911989119891989119891 111...11111...11999...99111...11999...999N ?=??=?个个个9个个9，其中N ＜1989999...99个9 所以19891 19891 111...11111...11?个个的各个位数字之和为：9×1989=17901 【答案】17901 【巩固】 试求9 9 9 9999999 (999) 9999 99999??????256个512个1024个乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设9 9 9999999...99999999M ?????=256个512个 则原式表示为9 999 9M ?1024个。 注意到9×99×9999×99999999×…×9 999 9256个×9 999 9512个＝M ， 则M <10×100×100013×100000000×…×2560 1000 0个×0 1000 0512个＝0 1000 0k 个 其中k =1+2+4+8+16+…+512=1024－l =1023 即M <0 100001023个，即M 最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M 与9 999 91024个乘积的数字和 为1024×9=10240—1024=9216．原式的乘积数字和为9216． 【答案】9216 【例 10】 计算：670789 9 78978929999?个2009个结果的各位数字之和是 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式6707890789789300001?? =?- ? ??? 个2009个 669936 0670789 66993 669102 23693693670000789789 23693 6935910210211 =-=个2009个个个6个 各位数字之和是236691859669311++?+++?++=6702114070?= 【答案】14070 模块三、多位数运算中的公因式 【例 11】 （1）20082008 20092009 20082009 20092008 200820082008200920092009200920092009200820082008?-?个个个个 （2）20092009 20084100 20092009200941004100410041÷个个 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴原式 200720080001 200720080001 2008100010001 00012009100010001 00012009100010001 00012008100010001 0001=???-???个0001 个个0001 个 0= ⑵原式20080001 20094100 20091000100010001410041004100100=?÷÷个个（（） ） 20080001 20080001 10001000100012009100010001 0001?=?÷个个（（41） ） 200941=÷ 49= 【答案】⑴0 ⑵49 【巩固】 计算（1）2009200920092008200820082008200820092009?-? （2）20072007200722302230223÷ 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 （1）原式2009100010002008100012008100010001200910001=???-???0= （2）原式(2007100010001)(223100010001)=?÷?20072239=÷= 【答案】（1）0 （2）9 【巩固】 计算：333332332333332333333332?-? 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 原式333(3323323321)332(3333333331)=?+-?- 333(33210010011)332(33310010011)=??+-??- 333332=+ 665= 【答案】665 【巩固】 计算：2008511 2008512 512511511511512511512512 512511?-?个个 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式2009511 2009512 5125115115111511(5125125121)=? +?-个个（）- 2008001 2008001 5125111001001 0015125115121001001 001511=??+-??+个个 512511=+1023= 【答案】1023 【巩固】 计算：（1998+19981998+199819981998+ (19981998) 个199819981998）÷（1999+19991999+199919991999… 19981999 个199919991999）×1999 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 19981998 个199819981998＝1998×19981001 个100110011001 原式＝1998（1+10001+100010001+ (19981001) 个100110011001 ）÷［1999× （1+10001+100010001+ (19981001) 个100110011001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. 【答案】1998 【巩固】 计算：5555566666744445666666155555?+?- 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】小学奥林匹克 【解析】原式555556666665555544445666666155555 =?++?- (5555544445)666666100000 =+?- 66666500000 = 【答案】66666500000 【例 12】计算：341344134441344444444134444444441 2389 275277527775277777777527777777775 +?+?++?+?=。 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级 【解析】341311131 275251125 ? == ? ， 34413111131 27752511125 ? == ? ， 3444131111131 2777525111125 ? == ? ，，3444444444131111111111131 2777777777525111111111125 ? == ? ，即这9个数都等于 31 25 ，原式 31 (1239) 25 =?++++ 279 5 = 【答案】279 5 精心整理资料，感谢使用！