改进的遗传算法求解TSP问题_3旅行商问题_24_34

3 旅行商问题

3.1 旅行商问题概述

3.1.1 旅行商问题的定义和数学模型

① 定义

旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，简记TSP)是组合数学中一个古老而又困难的问题，它易于描述但至今尚未彻底解决，现己归入所谓的NP 完全问题类，经典提法为：

有一货物推销员要去若干个城市推销货物，从城市1出发，经其余各城市一次，然后回到城市1，问选择怎样的行走路线，才能使总行程最短（各城市间距离为己知）。

该问题在图论的意义下就是所谓的最小Hamilton 圈问题，由于在许多领域中都有着广泛的应用，因而寻找其实际而有效的算法就显得颇为重要了。遗憾的是，计算复杂性理论给予我们的结论却是，这种可能性尚属未知。

若设城市数目为n 时，那么组合路径数则为(n-1)!。很显然，当城市数目不多时要找到最短距离的路线并不难，但随着城市数目的不断增大，组合路线数将呈指数级数规律急剧增长，以至达到无法计算的地步，这就是所谓的“组合爆炸问题”。假设现在城市的数目增为20个，组合路径数则为(20-1)! ，如此庞大的组合数目，若计算机以每秒检索1000万条路线的速度计算，也需要花上386年的时间。

尽管现在计算机的计算速度大大提高，而且已有一些指数级的算法可精确地求解旅行商问题，但随着它们在大规模问题上的组合爆炸，人们退而求其次，转向寻找近似算法或启发式算法，经过几十年的努力，取得了一定的进展。

② 数学模型

设(,)G V E =为赋权图，{1,2,}V n ="为顶点集，E 为边集，各顶点间距离为ij c ，已知(0,,,)ij ij c c i j V >=+∞∈，并设

则旅行商问题的数学模型可写成如下的线性规划形式：

ij ij i j

MinZ c x ≠=∑

1,(,)0,ij i j x ?=??边在最优路线上其它

,1,1,

.1,{0,1},ij j i ij i j

ij i j S ij x i V x j V s t x K K V x i j V ≠≠∈?=∈??=∈???≤????∈∈?∑∑∑

这里，K 为V 的所有非空子集，K 为集合K 中所含图G 的顶点个数。前两个约束意味着对每个顶点而言，仅有一条边进出，后一约束则保证了没有任何子回路解的产生。于是，满足上述约束的解构成了一条Hamilton 回路。除此之外，模型还有其它一些等价的书写形式。

3.1.2 旅行商问题的分类

旅行商问题按不同的分类方法可以分成为不同的种类。

① 据距离矩阵划分

当,(,)ij ji c c i j V =∈时，问题被称为对称型旅行商问题。反之，称为非对称型旅行商问题。非对称型旅行商问题可以化为对称型旅行商问题，用对称型的方法求解。

当对所有,,[1,]i j k n ∈，有不等式ij jk ik c c c +≥成立时，问题被称为是满足三角形不等式的，简写成三角型旅行商问题。三角形不等式在很多情况下是自动满足的，如：只要距离矩阵是由一度量矩阵导出的即可。另一类自动满足的是闭包矩阵，ij c ????是的[]ij c 闭包，是指在{1,2,}n "的完全图中，ij c 为边(,)i j 距离，则ij c 是i j →之最短路长。一般而言，现实生活中的大多数问题都满足三角形不等式，它是旅行商问题中的一种主要类型。个别不满足的，也可转换成其闭包问题，它们的旅行商问题解是等价的。

当ij c 是欧氏距离时，则称为欧氏距离的旅行商问题。显然此类问题既是对称型旅行商问题也是三角型旅行商问题。

② 根据顶点的分布形态划分

有均匀分布的(Uniform Points) 、聚集分布(Clustered Points)、随机距离矩阵(Random Matrices)，此外还有旅行商问题库(TSPLI B)中的实际范例。前三种都是人工模拟产生的旅行商问题，主要用于测试算法对不同分布形态的旅行商问题的表现，并计算算法的时间函数。后一种实际范例才是人们关注的重点。

③ 根据距离矩阵在数据文件中的存储方式划分和来源划分

MATRIX 型：距离矩阵直接给出。EUC_ 2D 或CEIL_ 2D ：给出顶点坐标，距离矩阵需计算才能得到。CEO ：给出顶点坐标，距离矩阵需计算才能得到，坐标来源于地理坐标。

3.1.3 旅行商问题的扩展

旅行商问题的研究经过几十年发展，取得了一系列的成果。除了经典的旅行商问题外，目前已引申出许多扩展形式，常见的有：

① 最小哈密尔顿链的问题

这是起点和终点不同的旅行商问题，前面提到的许多算法都可略作修改，用于求解该类问题。

② 瓶颈问题

目标函数为{,,}ij ij Max c x ""且,,i j i j G ≠∈的旅行商问题。

③ 非对称旅行商问题

距离矩阵非对称的旅行商问题。

④ 多人旅行商问题

由多人完成环游的旅行商问题。该问题可转换成等价的单人问题，只需将点1改为m 个虚拟点(1',2',')m "其间用边连接，距离为充分大,ij M c ∑∑;各虚拟点'i 到j 的距离'1i j j c c =,对新问题求解其旅行商问题后，从虚拟点'i 进入原网络再回到虚拟点'j 的那段路线即是m 人中某一个的环游路线。

⑤ 多目标旅行商问题

若各边弧上有m 个权值，则使得哈密尔顿圈上相应的m 个目标值都尽可能小的解就称为多目标旅行商问题的(Pareto)有效解。如实际问题中常常需要考虑：路程最短、时间最少、费用最省、风险最小等等多方面的因素。由于多目标意义下的所谓最优解是一种“折衷解”、“非劣解”，因此，多目标旅行商问题解的含义为：假定有一哈密尔顿圈的解H ，若不存在任何其它回路解Q ，使得()(),1,2,k k Z Q Z H k m ≤="，其中至少有一个不等式严格成立(k Z 为相应的目标函数值)，则H 为Pareto 解。

⑥ 依次排序问题

这类问题是非对称旅行商问题，在给定的一系列顶点和距离矩阵下，寻找最短从顶点1到顶点n 哈密尔顿链，同时满足限制：某些顶点要在另一些顶点之前被连接。

⑦ 载货量受限制的选径问题

给定n －1个顶点和一个仓库，已知顶点和顶点、顶点和仓库的距离。卡车的载货量受限制，卡车每次在部分顶点和仓库之间往返，寻求一条经过所有顶点的最短路线。

一般来说，这些扩展问题都有特殊的不同于对称型旅行商问题的求解方法，但也可将它们转化成对称型旅行商问题求解。

3.1.4 研究旅行商问题的意义

旅行商问题是一个NP完全问题，目前任何NP完全问题都不能用任何已知的多项式算法求解；若任何一个NP完全问题有多项式算法，则一切NP完全问题都有多项式算法。

由此，不少人猜测任何NP完全问题都没有多项式算法，但至今无人证明。事实上，人们普遍认为，不发展全新的数学技术就证明不了这个猜想。这样一种认识的实际意义就在于许多人相信，难计算是这样一类问题的固有性质，因此它们不可能用有效算法求解，而所有能精确求解NP完全问题的算法，在最坏情况下都需要指数级的时间。

另外，旅行商问题是一个理想化的问题，大多数对于此问题的研究都不是为了直接的实际应用，但这些研究可以经转化后用于许多现实的组合优化问题。很自然地可以想到，旅行商问题的成果可以应用于运输和物流问题。旅行商问题最早的应用是在上个世纪的四十年代，应用于校车路线的优化。现在，旅行商问题在越来越多的领域得到应用。

①电路板钻孔进度的安排。在这个应用当中，电路板上的孔代表旅行商问

题中的城市，钻头从一个钻孔移动到另一个钻孔。寻找最短路径变成了

寻找最省时的钻头移动时间。尽管目前钻机的工艺技术发展很块，但钻

头的移动时间仍然是一个令人头疼的问题。

②基因测序。Concorde是一种求解旅行商问题的程序。美国国家卫生机构

的研究人员利用这一程序来进行基因测序。在这一应用中，局部的基区

图谱作为城市，城市与城市的距离代表某张图谱与其它图谱相连的可能

性。研究人员试图寻找一种可能性最高的连接方式把这些局部的图谱合

成为整张基因图谱。

③半导体的线路设计。一家半导体生产厂家应用Concorde程序来优化半导

体的线路设计，这样可以节省刻制半导体的时间，也能减少半导体电路

消耗的能量。

④ 光缆的线路设计。贝尔电话公司利用Concorde程序来设计光缆的铺设线

路，同样的方法也应用于电话和电力线路的铺设当中。

⑤ 在机器人控制等其它方面，旅行商问题也有许多应用。

3.2 旅行商问题的求解

3.2.1 旅行商问题的精确解法

①可解特殊旅行商问题的精确算法

对于旅行商问题的一些特殊情况，业已研究出一系列非常完美的结果，如：

机器排序问题等。由于可解情形的结果都是成熟的定理，因此严格来说已不属算法研究的范畴。

② 线性规划算法

这是求解旅行商问题的最早的一种算法，主要是采用整数规划中的割平面法，即先求解模型中由前二个约束构成的松驰线性规划问题，然后通过增加不等式约束产生割平面，逐渐收敛到最优解。

Dantzig 等人早在1954年就求解过n= 42的旅行商问题最优解。70年代中期对于TS 多面体理论的研究，产生了一些比较有效的不等式约束，如：子回路消去不等式、梳子不等式等等。

目前，常用的方法是先用近似算法来求得近似解，再将此近似解作为下限，用线性规划方法来精确求解或证明此下限为最优解。

③ 动态规划算法

由于动态规划算法的时间复杂度为2(2)n O n ，空间复杂度为(2)n O n ，故除了

很小规模的问题外，几乎不予采用。

④ 分支定界算法

分支定界法是一种应用范围很广的搜索算法，它通过有效的约束界限来控制搜索进程，使之能向着状态空间树上有最优解的分支推进，以便尽快找出一个最优解。该方法的关键在于约束界限的选取，不同的约束界限，可形成不同的分支定界法。

1）以分派问题为界

通过求解相应的分派问题，得到旅行商问题的一个下界，以此进行分支定界搜索。这是一种使用较多的分支定界算法。

2）以匹配问题为界

通过求解相应的匹配问题，得到旅行商问题的一个下界，以此进行分支定界 搜索。该方法适用于对称型旅行商问题。

3）以最小权1生成树问题为界

通过求解相应的最小权1生成树问题，得到旅行商问题的一个下界，以此进 行分支定界搜索。在此基础上，Held 和Karp(1970) 曾将问题加以转换，得到更紧的下界，有时甚至能将搜索树整个显示出来。

虽说分支定界法对于较大规模的问题并不十分有效，可有时却被用来求解近似解。而且，将分支定界法与一些启发式算法相结合，常常能获得一些意外的成 功。

3.2.2 旅行商问题的近似解法

由于精确式算法所能求解的问题规模非常有限，实际中使用的往往都是多项

式阶数的近似算法或启发式算法。算法的好坏用*/C C E ≤来衡量，C 为近似算法所得到的总行程，C*为最优总行程，E 为最坏情况下，近似解与最优解的总行程之比所不超过的上界值。

① 插入型启发式算法

插入型算法可按插入规则的不同而分为若干类，其一般思想为:：

Step 1 通过某种插入方式选择插入边(,)i j 和插入点k ，将k 插入i 和j 之间，

形成{,,,,}i k j ""；

Step 2 依次进行直至形成回路解。

适用范围:对称的三角型旅行商问题。

具体实施中，可以将出发点取遍V 中各点而得到多个解，从中选择最好的一个，但此时的时间复杂度增加了n 倍。常见的插入型算法有:

1）最近插入法

最坏情况：E= 2；时间复杂度：2()O n 。

2）最小插入法

最坏情况：E= 2；时间复杂度：2(ln )O n n

3）任意插入法

最坏情况：E=21gn+0.16；时间复杂度：2()O n

4）最远插入法

最坏情况：E=21gn+0.16；时间复杂度：2()O n 5）凸核插入法

最坏情况：E=未知；时间复杂度：2(ln )O n n 。

② 最邻近算法

Step 1 任取一出发点；

Step 2 依次取最近的点加入当前解中直至形成回路解。

适用范围：对称的三角型旅行商问题。

具体实施中，可以将出发点取遍V 中各点而得到多个解，从中选择最好的一个，时间复杂度增加了n 倍。但此时最坏情况：E=(lgn+1)/2；时间复杂度：2()O n 。

③ Clark&Wright 算法

Step 1 任取一出发点p ，计算ij pi pj ij s d d d =+?；

Step 2 将各ij s 由大到小排列；

Step 3 将排好后的各配对顶点{,}i j 依次适当连接，形成回路解。

适用范围：对称的三角型旅行商问题。

具体实施中，可将出发点p 取遍V 中各点而得到多个解，从中选择最好的一个，但此时的时间复杂度增加了n 倍。最坏情况：E=21gn/7+5/21；时间复杂度：

2()O n 。

④ 双生成树启发式算法

Step 1 首先求出最小生成树；

Step 2 将树中各边都添一重复边并求出其Euler 回路；

Step 3 在Euler 回路点序列中去除重复点，形成回路解。

适用范围：对称的三角型旅行商问题。最坏情况：E=2；时间复杂度：2()O n 。 ⑤ Christofides 算法

Step 1 首先求出最小生成树；

Step 2 对树中所有奇项点解最小权匹配问题；

Step 3 将匹配边添入生成树并求出其Euler 回路；

Step 4 在Euler 回路点序列中去除重复点，形成回路解。

适用范围:对称的三角型旅行商问题。最坏情况：E=3/2；时问复杂度：3()O n 。⑥ r-op t 算法

该方法是一种局部改进搜索算法，由Lin 等人(1965)提出。适用范围：对称型旅行商问题。

Step 1 根据一定的规则求出每个顶点的候选顶点集，人为地规定该顶点只

能和候选集中的顶点相连接；

Step 2 产生初始路线；

Step 3 对每一个顶点轮流进行r-opt 交换，直到无法改进当前解为止； Step 4 输出当前的解作为结果。

最坏情况：E=2(n 8,r n/4)≥≤；时间复杂度：()r O n 。

⑦ 合成算法

用某个近似算法求得初始解，

然后借助一个或若干个r-opt 算法对解加以改进。这种合成型的算法往往能获得较好的解，但也很耗时，一般仅在对解有较高要求时采用。

⑧ 概率算法 该算法能对任意给定的E>0，在1+E 之内几乎处处解决对称型旅行商问题。假定G 位于单位正方形内，函数t(n)映射到正有理数，满足：a ：22~log (log )t n ；b ：对所有n ，/n t 是完全平方。则有：

Step 1 以1/2[()/]t n n 为尺寸构成网格，将单位正方形分成/()n t n 个正方形，将

G 也分成/()n t n 个子图；

Step 2 用动态规划方法求解每个子图的最优回路；

Step 3 将/()n t n 个子图各自收缩为一点，其间距离定义为原子图的最优子回

路间最短距离，并对新构成的图求最小生成树T ；

Step 4 将T∪{各子图的最优子回路}视为一可能有点、边重复的闭回路，根据三角形不等式条件，归约重复点或边，得旅行商问题回路。

适用范围：对称型旅行商问题。

O n n。

最坏情况：E=1+(任意给定正数)；时间复杂度：(ln)

⑨神经网络算法

八十年代中后期，美、日等国家出现了一股神经网络热潮，许多从事脑科学、心理学、计算机科学以及电子学等方面的专家都在积极合作，开展这一领域的研究。其早期思想源于四十年代，由于受V on Neumann串行处理体系的限制，一直进展不大，直到八十年代，美国生物物理学家Hopfield提出人工神经网络(ANN)模型，才被认为是一个重大突破。

人工神经网络(Artificial Neural Network, ANN)，也称为神经网络(Neural Networks ，NN)，是由大量处理单元即神经元(Neurons)互相连接而成的网络，通过反映人脑的基本特性，对人脑进行抽象、简化和模拟的一种工程系统。人工神经网络算法成为近年来的热点研究领域，涉及到电子科学与技术、电气工程、控制科学与技术等诸多学科，其应用领域包括了建模、时间序列分析、模式识别和控制等，并且仍然在不断扩展。

作为神经网络的基本单元，神经元模型具备三个基本要素。其一是具有一组w表示神经元i和神经元j之间的联接强度，或称之为权值，取突触或连接，常用

ij

值可在负值和正值之间；其二是具有反映生物神经元时空整合功能的输入信号累加器；其三是具有一个激励函数用于限制神经元的输出。

根据信息流向和网络的拓扑结构，可以将神经网络模型分成以下几大类：

1）前馈神经网络。2）反馈神经网络。3）随机神经网络。4）竞争神经网络。

而Hopfield和Tank (1985)用ANN方法求解旅行商问题获得成功以来，更是引起了极大的关注，国内也报导了求解数百个结点旅行商问题的有关结果。方法的思想是通过对神经网络引入适当的能量函数，使之与旅行商问题的目标函数相一致来确定神经元之间的连接权，随着网络状态的变化，其能量不断减少，最后达到平衡时，即收敛到一个局部最优解。目前，前述的几种神经网络都有在旅行商问题商的应用实例，且取得了一定的成功，但还存在着严重缺点，而且就一般实际问题而言，无法与其它近似算法相比。因此，该算法的适用范围很可能在于非欧空间或不可度量的旅行商问题方面。

⑩模拟退火算法

这是一种源于五十年代、基于Monte Carlo迭代求解思想的随机搜索算法，八十年代才开始应用于组合优化领域，其出发点是将组合优化问题与统计力学的热平衡作类比，把优化的目标函数视作能量函数，模仿物理学中固体物质的退火处

理，先加温使之具有足够高的能量，然后再逐渐降温，其内部能量也相应下降，在热平衡条件下，物体内部处于不同状态的概率服从Boltzmann 分布，若退火步骤恰当，则最终会形成最低能量的基态。这种算法思想在求解优化问题时，不但接受对目标函数(能量函数)有改进的状态，还以某种概率接受使目标函数恶化的状态，从而可使之避免过早收敛到某个局部极值点，也正是这种概率性的扰动能够使之跳出局部极值点，故而得到的解常常很好。经典的模拟退火算法流程为： Step 1 选择初始状态H(初始解)、初始温度、降温次数；

Step 2 生成H 的邻域状态'H ，并计算(')()Z H Z H ?；

Step 3 按接受概率置换H ；

Step 4 重复Step 2直至停机条件满足。

模拟退火法所得解的好坏与初始状态、温度函数等都有一定的联系，降温较快的效果不一定很好，效果好的，其降温过程又极其缓慢。但由于该方法适用范围广，并且可以人为控制迭代次数，反复求解，因此具有很强的实用性。

○

11 遗传算法 它是一种来自生物进化理论中“适者生存”的自然选择原则的搜索(寻优)算法，它基于生物学的自然选择原理和自然遗传机制模拟生命的进化，这种新近发展起来的完全异于传统思想的搜索和优化方法自John Holland 等(1975)提出以来，获得了广泛的应用。尤其是在人工智能领域，取得了极大的成功，对于许多复杂困难问题的解决提供了强有力的处理办法。

遗传算法用于优化问题时，其最主要特征就是：它不在单点上寻优，而是从整个种群(Population )中选择生命力强的个体产生新的种群；它使用随机转换原理而不是确定性规则来工作。遗传算法中常用的遗传操作包括三个基本算子：复制(Reproduction)、交叉(Crossover)、变异(Mutation)。其中，繁殖算子用于从旧种群生成新种群，交叉算子用于从父母代生成子代，变异算子用于对子代作某种变异。这里，复制和交叉操作是遗传算法的有效性所在，但有时会丢失一些重要的遗传信息，适当的变异操作可保证这些有用信息的引入。

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12 其它算法 除了前面提及的一些典型的旅行商问题算法之外，还有其它许多方法可供使用，如，Norback 等人(1977)的几何图解法、极小代数算法(1990)、归约算法(1991)、遗传退火法、蚂蚁算法等等。还有一种使用效果也相当不错的禁忌搜索法，它采用了类似爬山法的移动原理，将最近若干步内所得到的解储存在禁忌列表中，从而强制避免再次重复搜索表中的解，该方法在九十年代曾求解过几十万个顶点的大型旅行商问题。

3.3 小结

旅行商问题是经典的组合问题，在现实生活生产实践中有着广泛的应用。本章先介绍了旅行商问题的定义、分类、扩展的形式、研究的难点和应用领域等，然后介绍了旅行商问题的基本算法，其中重点介绍了目前最有发展潜力的神经网络、遗传算法等。

4 遗传算法求解TSP 问题

4.1 遗传算法求解TSP 问题的基本方法

4.1.1 编码

用遗传算法求解TSP 问题时，TSP 的编码策略主要包括：

① 二进制表示

二进制编码将TSP 问题的解空间映射到{0,1}l l B =上，然后在位串空间上进行遗传操作。由于二进制表示不自然且需要额外的修正算子以保证个体的合法性，在实际中很少应用。

② 近邻表示

近邻表示将路径表示为n 个城市的一个排列，且在第i 位城市为j 当且仅当路径中从i 所到达的下一个城市为j 。

例如，排列 （2 4 8 3 9 7 1 5 6） 表示路径: 1-2-4-3-8-5-9-6-7.

显然，每一条路径都唯一对应一个近邻表示，然而，任一近邻排列却不一定

都对应于合法路径，如近邻排列：（2 4 8 1 9 3 5 7 6）却导致不完全回路1-2-4-1。

③ 次序表示

次序表示仍将路径表示成n 个城市的一个排列。其表示方法为：先取城市集

合C 的排列顺序C=(1 2 3 4 5 6 7 8 9)作为次序排列的一个参照点，

然后按路径中城市处在C 的位置确定表示串中的点，且每确定一个则从C 中删除相应的城市。

例如，路径 1-2-4-3-8-5-9-6-7其次序表示为(1 1 2 1 4 1 3 1 1).

次序表示的主要优点是可以使用传统的交叉算子。即以次序表示的任两条路径，从某点截断后交换相应的子串所得到的两个后代仍是合法路径。

④ 路径表示

路径表示是TSP 的自然、直观的表示方式。它直接采用城市在路径中的相当位置来进行表示。

例如，路径：5-1-7-8-6-2-9-3-4直接表示成（5 1 7 8 6 2 9 3 4）

人们对路径表示的编码策略的TSP 问题的交叉算子进行了大量研究，本文的研究也主要建立在路径表示的基础上。

⑤ 矩阵表示

Fox 和 McMahon 等提出了旅程的矩阵表示方法，将一个旅程定义为一个优先权布尔矩阵M,当且仅当城市i 排在城市j 之前时矩阵元素1ij m =。例如，一条路径（3 1 2 8 7 4 6 9 5）可以用如下的矩阵表示。