(完整)2018年暨南大学高等代数考研真题.docx
2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业 研究方向： 各方向
考试科目名称：高等代数 考试科目代码： 810
考生注意 ： 所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。 共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1、设 A 为 3 阶矩阵 , A
1
, 求 (3A) 1
5A * =
。
3
2、当实数 t
时，多项式 x 3 tx
2有重根。
x 1 2x 2 4x 3 0
3、 取值 时，齐次线性方程组 2x 1 (2 ) x 2 x 3 0 有非零解。 x 1 x 2
x 3 0
4、实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) X T AX x 12 ax 22 2x 32 bx 1 x 3 (b 0) ，其中二次型的矩阵 A
的特征值之和为 1，特征值之积为 -12 ，则 a =
， b = 。
1 2 1 3 。
5、矩阵方程 X
4
2 , 那么 X
3 4
6、已知向量 1
0,0,1
， 2
1 , 1
,0 ， 3 1 , 1
,0 是欧氏空间 R 3 的一
2
2
2
2
组标准正交基 , 则向量
2,2,1
在这组基下的坐标为 。
考试科目 : 高等代数
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7、已知矩阵
A ,
B
均可逆， X
B
，则 X 1
。
A 0
2 2 2 2
0 2 2 2 8、4 阶方阵
的 Jordan 标准形是 。
0 0 2 2 0 0 0 2
9、在欧氏空间 R 3 中，已知
2, 1,1 ，
1, 2,1
，则 与 的夹角为 （内
积按通常的定义）。
2 2 1
10、设三维线性空间 V 上的线性变换
在基 1, 2 , 3 下的矩阵为 0
1 1 ，则 在
2
1
基 2 , 1 , 3 下的矩阵为
。
二、（ 10 分）求多项式f ( x) 2x33x22x 3 与 g(x) 3x34x27 的最大公因式。
x a1a1L a1
a2x a2L a2
三、（ 10 分）计算行列式D n
M M M 。
M
a n a n L x a n
四、（ 15 分）设线性方程组
x1x2x33
x1x2x32
x1x2x32
讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。
五、（ 15 分）设 A 为n
级实对称矩阵，
A2A
的秩等于
r
（ 0 r n ）。
2， A
（1）证明：存在正交矩阵 T ，使T
1
AT E
0其中 E r是 r 级单位矩阵.
2 r
00
（2）计算A E n。
六、 (15分)设二次型f x1, x2, x 3x122x224x1x24x1x3,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准形
七、 (15分) V 为数域 F 上四维向量空间，10,1,2,1，21, 1,1,1， 31,2, 1，0 ，
47,1,1,3
， V 的子空间V1L1,2，V2L 3 ,4，试求 V1 V2和 V1V2的基与维
数。
八、（15 分）设是线性空间 V 的线性变换且2。令 V1V ， V21 0 。
证明 : V V1V2且对每个V1有。
0 22
九、（15 分）设 A 2 3 4 ，求正交矩阵T，使得T T AT是对角矩阵。
2 43
十、（ 10 分）设A为方阵，f ( x)是A的最小多项式，g( x)为任意多项式。证明： g ( A) 可逆的充分必要条件是( f ( x ), g ( x )) 1 。
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