二次函数知识点梳理
初三年级数学一二次函数的基础
一、考点、热点回顾
二次函数知识点
一、二次函数概念：
2
1. 二次函数的概念：一般地，形如y = ax bx c（a , b, C是常数，a =O）的函数，叫做二次函数
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a =0 ,而b, C可以为零?二次函数的定义域是全体实数.
2
2. 二次函数y =ax亠bx亠C的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2 .
⑵a, b , C是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.
二、二次函数的基本形式
2
1. 二次函数基本形式：y =ax的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2
2. y =ax亠C的性质：上加下减
3. y =a（x —h 2的性质：左加右减
4. y =a x -h 的性质:
在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减" 方法二：
2 2
⑴y = ax bx C 沿y 轴平移：向上（下）平移m 个单位，y = ax bx C 变成
y = ax 2 bx c m （或 y = ax 2 bx c - m ）
⑵y = ax 2 ■ bx ■ C 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，y = ax 2 ■ bx ■ C 变成
O O
y = a(x m) b(x m) c (或 y = a(x _ m) b(x _ m) c )
2 Q
四、二次函数y = a X -h ] ^k 与y = ax bx C 的比较
2
五、二次函数y = ax bx c 图象的画法
2 2
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax bx C 化为顶点式y =a （x -h ） ■ k ,确定其开口方
向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.一般我们选取的五点为：顶点、
与y 轴的交点（O , c 卜以及（0, c ）关于对称轴对称的点（2h ，C ）、与X 轴的交点（χ1 ,
0），（x 2 ,
0 ）
（若与X 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
X 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数y =ax 2 ? bx ? C 的性质
1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为
b
「丄
i b 4ac -b 2
X =一— 顶点坐标为
,
2a I 2a
4a J
当X —时，y 随X 的增大而减小；当 — —时，y 随X 的增大而增大；当 X —时，y
2a 2a 2a
有最小值应一
1
^ .
4a
2
Q
从解析式上看，y =a X -h k 与y =aχ2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
到前者,即y^ax -2b a
4a
V 2 ,其中h￡
4ac -b 2
4a
2.当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为X —,顶点坐标为
2a y 随X 的增大而增大；当X —时， 2a 七、二次函数解析式的表示方法
2 y =ax bX C ( a , 2 y =a(x -h) k ( a , 1. 一般式:
y 随X 的增大而减小；当 b , C 为常数，a =0)； " 2
、
b 4ac_b — ------ ?
2a 4a .当 XW 时,
y
有最大值4?E
2. 顶点式：
3. 两根式： 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与X 轴有交点，即b 2 -4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示?二次函数解析 式的这三
种形式可以互化. h , k 为常数，a = 0 )； y =a(x-x 1)(x-x 2) ( a 严0 , X 1 , X 2是抛物线与X 轴两交点的横坐标)
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y =a χ2 Fx C 中，a 作为二次项系数，显然 a 』0 . ⑴当a .0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; ⑵ 当a ：：：0时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小. 2.
一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a .0的前提下， 当b 0时, —：：：0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a
当b =O 时, 2a=0,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当
b ：：:0时, -—
0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.
2a
⑵在a ：：:0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b 0时,
b
2a ? 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 当b =0时, b 2a
=0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴;
—
2a 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.
b 」c
X 在y 轴左边则ab 0 , 2a
当
b ：：:0
时, ：：：0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.
ab 的符号的判定：对称轴
在y 轴的右侧则ab ：：： 0 ,概括的
说
就是 总结: “左同右异” 3.常数项C ⑴当C 0时, ⑵当c =0时,
(3)当 抛物线与 抛物线与 抛物线与
y 轴的交点在X 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在X 轴下方，即抛物线与
y 轴交点的纵坐标为正； y 轴交点的纵坐标为0; y 轴交点的纵坐标为负.
总结起来，C 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
总之，只要a, b , C 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法?用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便?一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于X 轴对称
2
y =ax bx c 关于X 轴对称后，得到的解析式是
2
y =a X - h L ：；-
k 关于X 轴对称后，得到的解析式
是
2
y =ax bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是
2
y =a X —h ] ^k 关于y 轴对称后，得到的解析式是
2
y =ax bx c 关于原点对称后，得到的解析式是
2
y =a X —h [ ^k 关于原点对称后，得到的解析式是
2
y =ax bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是
y =a X -h j ^k 关于点 m ，n 对称后，得到的解析式是 y = -a x ■ h —2m j 亠
2n —k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a 永远不变?求
抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写岀其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
X 轴交点情况）：
2 2
一元二次方程ax ? bx ? c =O 是二次函数y =ax bx C 当函数值y = 0时的特殊情况. 图象与X 轴的交点个数:
3. 关于原点对称
5. 关于点 m,n 对称
2
y = -ax 一 bx - c ；
2
y_-ax_h - k ;
2. 关于y 轴对称
2
y = ax bx C ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）
2
y = -ax bx -
c ；
2
y = -a X 亠 h ：
2
b 2
y = —ax —bx 亠 c —
2a
2
y = -a X - h I 亠 k ?
① 当厶=b? —4ac . 0时，图象与X轴交于两点A X , 0 , B x2, O (XHX2),其中的x , X2是一
2 yf b 4 ac
元二次方程ax bX c =O ^-0的两根?这两点间的距离AB = x? -X i .
I a l
②当=0时，图象与X轴只有一个交点；
③当二.；：0时，图象与X轴没有交点.
1'当a . 0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y .0 ;
2'当a ：：：0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y ：：：0 ?
2
2. 抛物线y =ax bX C的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，C)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y = aχ2bx c中a，b，C的符号，或由二次函数中a，b，C的
符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一
个交点坐标，可由对称性求岀另一个交点坐标
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⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax bx c(a=0)本身就是所含字母X的二次函
刹车距离
二次函数应用』何时获得最大利润
最大面积是多少
2
y =a X-M 亠k关于顶点对称后，得到的解析式是