全等三角形证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练

题型1：全等+等腰性质

1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .

2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．

题型2：两次全等

1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

F

D

C

B

A

2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分

O C E B

D

A

A B E O F D C

3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG

题型3：直角三角形全等（余角性质）

1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．

2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE

A

F

C

B

D

E

G

A F

D E

4、在△ABC中，?

=

∠90

ACB，BC

AC=，直线MN经过点C，且MN

AD⊥于D，MN

BE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：①ADC

?≌CEB

?；②BE

AD

DE+

=；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出

证明；若不成立，说明理由.

5、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

F

M

N

E

1

2

3

4

题型4：连接法（构造全等三角形）

1、已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。

2、如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．

D

A

F

E

A

O D

C B

3、如图 11-30，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，点F 是CD 的中点.求证：AF ⊥CD.

F

E

B

4、在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且

BE BA =，求BED ∠.

5、如图所示，BD=DC,DE ⊥BC,交∠BAC 的平分线于E ，EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM=CN

6、如图，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．

A

C N

E

M B

D

D

E C

B A

A

D

C

B

题型5：全等+角平分线性质

1、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC

2、已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN

⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

题型6：倍长中线（线段）造全等

前言：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到G，使DG=AD，连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。

1、已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：

AC=BF

A

C

E

F

P

D

A

C

M

N

2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC

于F，求证：AF=EF

3、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

D C

B

A

4、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( )

A、1

B、4

C、5

D、9

5、已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD，求证：AE=

2

1

AC

C

E

6、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

E

D C

B

A

7、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

A

B C

E

8、如图23，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于

G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

⑴求证：BG=CF

⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

9、如图，AD为ABC

?的中线，DE平分BDA

∠交AB于E，DF平分ADC

∠交AC于F. 求证：EF

CF

BE>

+

第 14 题图

D

F

C

B

E

A

10、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

E

D

F

C

B

A

11、已知：如图，在ABC

?中，AC

AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA

DF//

A D B

C E

交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC

A

B

F

D

E

C

题型7：截长补短

1、已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC ＝AB ＋CD 。

2、如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.

3、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.

D

C

B A 12

4、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°， AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数

D C

B A

5、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD

D

C

B

A

6、已知ABC ?中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

7、如图，已知在ABC V 内，0

60BAC ∠=，0

40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ

分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：

BQ+AQ=AB+BP

C

B

A

D O E

C

B

A

8、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

B

A

9、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作

60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

题型8：角平分线上的点向角两边引垂线段

1、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，求证：∠BAD+∠C=180

°

C

2、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，则∠B 与∠ADC 互补.为什么？

3、如图，在△ABC 中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE 平分∠ACB ，D 是AC 上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE 的度数.

D

B

E

A

C

N

E

B M A D

图十一

43

21

P A B

C

4、已知，AB ＞AD ，∠1＝∠2，CD ＝BC 。求证：∠ADC ＋∠B ＝180°。

图九

2

1C

B

A

D

5、如图，在△ABC 中∠A BC,∠A CB 的外角平分线交P.求证:AP 是∠BAC 的角平分线

6、如图,∠B=∠C=90°,AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC 求证:点M 为BC 的中点

题型9:作平行线

1、已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于

G ．求证：EG=GF ．

A

F

C G

B

E

2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．

求证：CD=

2

1BE

题型10：延长角平分线的垂线段

1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．

A

F D

C

B

E

2、如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE ．

F

E D

C

B A