【精准解析】山东省菏泽市第一中学八一路校区2019-2020学年高一6月月考数学试题

菏泽一中八一路校区高一下学期第一次月考数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题

1.下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（ ） A. 12(1,2),(0,0)e e =-= B. 1213(2,3),(,)24

e e =-=- C. 12(3,1),(6,2)e e == D. 12(0,2),(4,0)e e ==-

【答案】D 【解析】 【分析】

已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，再根据平面向量共线的坐标表示即可求出答案．

【详解】解：已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底， 选项A 中，20e =，则12//e e ，故A 错； 选项B 中，由于()3123042??

?

--?-= ???

，则12//e e ，故B 错； 选项C 中，由于32160?-?=，则12//e e ，故C 错；

选项D 中，()002480?-?-=≠，则12e e ，不共线，可作为基底，故D 对； 故选：D ．

【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题． 2.如图所示的正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A. 8cm

B. 16cm

C. (482cm +

D.

()

442cm

+

【答案】B

【解析】

【分析】

根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．

【详解】直观图正方形O A B C

''''的边长为2cm，22

O B cm

''

∴=，

原图形为平行四边形OABC，其中2

OA cm

=，高42

OB cm

=，

()2

2

2426

AB CO cm

∴==+=，∴原图形的周长()

22616

L cm

=?+=.

故选：B.

【点睛】本题考查斜二测直观图的相关计算，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

3.已知向量,a b满足||1,||3

a b

==,且a与b的夹角为

6

π

,则()(2)

a b a b

+?-=( )

A.

1

2

B.

3

2

- C.

1

2

- D.

3

2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.

【详解】22

31

()(2)22313

22

a b a b a b a b

+?-=-+?=-+=.

故选：A.

【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

4.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -的高为3，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）

A. 20

B. 312

C. 16

D. 438

【答案】A 【解析】 【

分析】

该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可. 【详解】由题意，正四棱锥P EFGH -的斜高为

312+=，该组合体的表面积为

1

22421422202

?+??+???=.

故选：A

【点睛】本题考查了组合体的表面积，求四棱锥的斜高是关键，考查了运算能力和空间想象

能力，属于中档题.

5.己知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为( ) A. 若//m β，n α⊥，αβ⊥，则m n ⊥

B. 若m α⊥，n β⊥，则//αβ

C. 若//m α，//n β，//αβ ，则//m n

D. 若αβ⊥，m αβ=，n β?，m n ⊥，则n α⊥

【答案】D 【解析】 【分析】

利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案

【详解】对于A 当//m β，n α⊥，αβ⊥时，m ，n 有可能平行，所以不正确； 对于B 当m α⊥，n β⊥时，因为直线m ，n 的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；

对于C 当//m α，//n β，//αβ时，m ，n 有可能异面，所以不正确； 对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确 故选：D

【点睛】此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.

6.同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上” B. “至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上” C. “恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上” D. “至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上” 【答案】C 【解析】 【

分析】

根据对互斥事件、对立事件的概念直接判断即可.

【详解】在A 中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A 中的两个事件是对立事件； 在B 中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B 中的两个事件不是互斥事件；

在C 中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立事件；

在D 中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D 中的两个事件不是互斥事件. 故选：C.

【点睛】本题主要考查的是对互斥事件、对立事件的概念理解，要求学生熟练掌握对互斥事件、对立事件的概念并能简单应用，是基础题.

7.高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为( ) A. 168 B. 175

C. 172

D. 176

【答案】B 【解析】 【分析】

将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可. 【详解】将7人的身高从低到高排列：168,170,172,172,175,176,180

760% 4.2?=

∴第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为175

故选：B

【点睛】本题主要考查了求百分位数，属于基础题. 8.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A

=，则ABC ?形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】D 【解析】 【分析】

由

cos cos a B b A

=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵cos cos a B

b A

=，

∴由正弦定理可得 sin cos sin cos A B

B A

=， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π， ∴A ＝B 或A +B ＝

2

π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D ．

【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，

属于基础题.

9.甲?乙?丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别15,13,1

4

,则此密码能被译出的概率是( ) A.

160

B.

25

C. 35

D.

5960

【答案】C 【解析】 【分析】

先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.

【详解】用事件A ,B ,C 分别表示甲?乙?丙三人能破译出密码,则

1()5P A =

,1

()3P B =,1()4P C =,且4232()()()()5345

P ABC P A P B P C =?=??=. ∴此密码能被译出的概率为23

155

-=. 故选：C

【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.

二、多选题

10.给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的为( ) A. (3,1) B. (2,0)-

C. (0,4)

D. (1,5)--

【答案】ACD 【解析】 【分析】

先求得选项对应的复数，由此确定为虚数的选项.

【详解】易知选项A ?B ?C ?D 中的点对应的复数分别为3i +?2-?4i ?15i --,因此A ?C ?D 中的点对应的复数为虚数. 故选：ACD

【点睛】本小题主要考查复数的分类，考查复数对应点的坐标，属于基础题. 11.下列概率模型是古典概型的为( )

A. 从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小

B. 同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率

C. 近三天中有一天降雨的概率

D. 10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率 【答案】ABD 【解析】 【分析】

根据古典概型的特点，即可判断出结果.

【详解】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.

显然A ?B ?D 符合古典概型的特征，所以A ?B ?D 是古典概型；

C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型. 故选：AB

D .

【点睛】本题主要考查古典概型的判定，熟记古典概型的特点即可，属于基础题型.

12.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（ ）

A. 异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为2

5

B. 异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35

C. 1//A B 平面11B D C

D. 点1B 到平面11BD A 的距离为125

【答案】ACD 【解析】 【分析】

由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.利用余弦定理计算可

得；根据线面平行的判定定理判断C ；利用等体积法求点到面的距离；

【详解】解：依题意115CB CD ==，11B D =

由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.在三角形11CB D 中，

2

2

2

1155cos B D C +-∠=

=

所以异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为5.故A 选项正确，B 选项错误.

由于11//A B CD ，1A B ?平面11B D C ，1CD ?平面11B D C ，所以1//A B 平面11B D C ，故C 选项正确.

设点1B 到平面11BD A 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=， 所以11

11454433232h ????=????，解得125

h =，故D 选项正确. 故选：ACD

【点睛】本题考查线面平行的证明，异面直线所成的角以及等体积法求点到面的距离，属于中档题.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题

13.ABC ?为边长为2的正三角形，则AB BC ?=__________． 【答案】-2 【解析】

分析：利用向量数量积定义即可求出AB BC ?.

详解：由向量数量积定义可知，cos1202AB BC AB BC ?=???=- 故答案为-2

点睛：平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ?=?；二是坐标公式

1212a b x x y y ?=+；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

14.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____． 【答案】14π

【解析】 【分析】

求出圆柱的底面圆半径和高，利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积. 【详解】依题意可得，圆柱的高为1，底面周长为1，则底面半径为12π

， 所以圆柱体积为2111()24πππ

?=. 故答案为：

14π

. 【点睛】本题考查圆柱体积的计算，考查计算能力，属于基础题.

15.某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为__________． 【答案】180 【解析】 【分析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】设该单位的女职工人数为n ，则1550600

n =，解得180n =，即该单位的女职工人数为180. 故答案为：180.

【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．

16.已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________. 【答案】96 【解析】

【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2

2

11(10)(10)10x y ++-+-=，

22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=

四、解答题

17.已知复数()()11z m m m i =-+-.

（1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数； （2）当2m =时，计算1z z i -

-. 【答案】（1）0m =；（2）3122

i -. 【解析】 【分析】

（1）由复数z 为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数m 的值； （2）当2m =时，由复数的四则运算法则可计算得出1z

z i

-

-的值. 【详解】（1）复数()()11z m m m i =-+-为纯虚数，则()10

10m m m ?-=?-≠?

，解得0m =；

（2）当2m =时，2z i =+，

()()()()()222121331222111222

i i z i

i z i i i i i i i ++++∴-

=+-=+-=+-=----. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算能力，属于基础题.

18.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成

[)50,75，[)75,100，[)100,125，[]125,150四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，

图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，且第一小组(从左向右数)的人数为5人．

()1求第四小组的频率；

()2求参加两分钟跳绳测试的学生人数；

()3若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，

试估计该校二年级学生体能的达标率.(用百分数表示)

【答案】（1）0.2；（2）50；（3）60% 【解析】 【分析】

（1）结合频率之和为1，计算第四小组的频率，即可．（2）利用频率计算公式，计算总体个数，即可．（3）计算样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率，即可． 【详解】()1第四小组的频率为：10.10.30.40.2---=．

()2设参加两分钟跳绳测试的学生有x 人，

则0.15x =， 解得50x =，

∴参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．

()3由题意及频率分布直方图知：

样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：

0.40.20.6+=，

∴估计该校二年级学生体能的达标率为60%．

【点睛】考查了频率直方图的运用，关键抓住频率计算公式和频率之和为1，计算，即可，属于基础题．

19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c 、、，且3

2,cos 5

a B ==. （1）若4

b =，求sin A 的值； （2）若ABC 的面积4ABC

S =，求b ，c 的值.

【答案】（1）25

；（2）17b =5c = 【解析】 【分析】

（1）由平方关系以及正弦定理，即可得出sin A 的值； （2）由三角形面积公式以及余弦定理，即可得出b ，c 的值.

【详解】（1）∵3cos 05

B =

>，且0B π<<，∴24

sin 1cos 5B B =-=.

由正弦定理得

sin sin a b A B

=，∴sin 242

sin 455a B A b =

=?=. （2）∵114

sin 24225

ABC S ac B c =

=??=△， ∴5c =.由余弦定理得2

2

2

2

2

3

2cos 25225175

b a

c ac B =+-=+-???= ∴17b =.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 20.如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．

(1)求证：DE ∥平面P AC (2)求证：AB ⊥PB

【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】

【详解】(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点， 所以DE ∥P A ． 因为P A

平面P AC ，且DE

平面P AC ，

所以DE ∥平面P AC ． (2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB

平面ABC ，

所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB

平面PBC ，

所以AB ⊥PB ．

21.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若3

xy≤，则奖励玩具一个；

②若8

xy≥，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

【答案】（Ⅰ）

5

16

.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

【解析】

【详解】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．

满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为

5 16

．

（Ⅱ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得

水杯的概率为

6 16

；

小亮获得饮料的概率为

565

1

161616

--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点.

（1）求证：AM ⊥平面PCD ；

（2）求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）7

7

【解析】 【分析】

（1）在正方形ABCD 中，证得CD AM ⊥，再在PAD △中得到AM PD ⊥，利用线面垂直的判定，即可得到AM ⊥平面PCD ；

（2）取AD ，BC 的中点分别为E ，F ，连接EF ，PE ，PF ，证得PFE ∠是侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角，再直角PFE ?中，即可求得侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.

【详解】（1）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，

所以CD ⊥平面P AD ，

AM ?平面P AD ，所以CD AM ⊥，

PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，所以AM PD ⊥，

又CD

PD D =，所以AM ⊥平面PCD .

（2）取AD ，BC 的中点分别为E ，F ，连接EF ，PE ，PF ， 则,//EF CD EF CD =，所以EF AD ⊥， 又

正PAD ?中，PE AD ⊥，

,EF PE E AD ?=∴⊥平面PEF ，

∵正方形ABCD 中，//,AD BC BC ∴⊥平面PEF ，

PFE ∴∠是侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角，

由CD ⊥平面P AD ，//EF CD ，EF ∴⊥平面PEF ，

PE ?平面P AD ，

EF PE ∴⊥.设正方形ABCD 的边长2AD a =，则2,3EF a PE a ==，

所以227PF PE EF a =

+=，所以27

cos EF PFE PF ∠=

=

, 即侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为

27.

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及两个平面所成角的求解，其中解答中熟练应用线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟记二面角的平面角的概念，确定出二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.