一元二次方程的定义及一般形式提高练习
一元二次方程的定义及一般形式提高练习
一．选择题（共8小题）
1．（2012汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（）
A．
x2﹣1=y B．
（x+2）（x+1）=x2
C．
6x2=5
D．
2．（2007滨州）关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（）
A．
x1=1，x2=﹣1B．
x1=x2=1
C．
x1=x2=﹣1
D．无解
3．（2002甘肃）方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）
A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±2
4．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，则k的取值范围是（）
A．k≠0B．k≠1C．k≠0且k≠1D．k=0
5．关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=（）
A．±2B．2C．﹣2D．不确定
6．方程①；②3y2﹣2y=﹣1；③2x2﹣5xy+3y2=0；④中，是一元二次方程的
为（）
A．①B．②C．③D．④
7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）
A．1，﹣4，B．0，﹣4，﹣C．0，﹣4，D．1，﹣4，﹣
8．关于x的方程（a2﹣a﹣2）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）
A．a≠﹣1B．a≠2C．a≠﹣1且a≠2D．a≠﹣1或a≠2
二．填空题（共8小题）
9．关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是_________．
10．若关于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，则m=_________．
11．关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2=0中，a的取值范围是_________．
12．若是关于x 的一元二次方程，则a= _________ ． 13．当k= _________ 时，（k ﹣1）
﹣（2k ﹣1）x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程． 14．当m= _________ 时，方程（m 2﹣1）x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．
15．方程（m+4）x |m|﹣2+5x+3=0是关于x 的一元二次方程，则m= _________ ．
16．关于x 的方程（m+3）
+（m ﹣3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为 _________ ．
三．解答题（共4小题）
17．方程（m+1）x +（m ﹣3）x ﹣1=0；
（1）m 取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m 取何值时是一元一次方程．
18．x 2a+b ﹣2x a+b +3=0是关于x 的一元二次方程，求a 与b 的值．
19．已知关于x 的方程（m 2﹣8m+20）x 2+2mx+3=0，求证：无论m 为任何实数，该方程都是一元二次方程．
20．若（m+1）x |m|+1+6﹣2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．
1．下列方程中的一元二次方程是( )．
A ．3(x +1)2=2(x －1)
B ．21x
+x 1－2=0 C ．ax 2+bx +c =0 D ．x 2+2x =(x +1)(x －1)
2．把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为( )．
A ．x 2+
56x +5
3=0 B ．x 2－6x －3=0 C ．x 2－56x －53=0 D ．x 2－56x +53=0
3．将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项 系数和常数项系数可以是( ) ．
A ． 3，2，－1
B ．3，－2，－1
C ．3，－2，1
D ． －3，－2，1
4．把一元二次方程（x +2）（x －3）= 4化成一般形式，得（ ）．
A ．x 2+x －10=0
B ．x 2－x －6=4
C ．x 2－x －10=0
D ．x 2－x －6=0
5. 方程x 2+3x －x +1=0的一次项系数是（ ）． A ．3 B ．－1 C ．3－1 D ．3x －x
6．若2530ax x -+=是关于x 的一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 （ ）．
A ．2a >-
B ．2a <-
C ．2a >-且0a ≠
D ．12
a > 7.已知方程(m +2)x 2+(m +1)x －m =0，当m 满足__________时，它是一元一次方程； 当m 满足___________时，它是一元二次方程.
8．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ．
9．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件
10．已知关于x 的方程(m －3)72-m
x －x=5是一元二次方程，求m 的值．
B 组练习： 把方程2226332kx x k x kx -+=--整理为20ax bx c ++=的形式，并指出各项的系数.
一元二次方程提高培优题
1 一元二次方程提高题 一、选择题 1．已知a 是方程x 2 +x ﹣1=0的一个根，则 的值为（ ） A ． B ． C ．﹣1 D ．1 2．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（ ） =1 =0 =1和x=2 =-1和x=2 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ． 289（1﹣x ）2=256 B ． 256（1﹣x ）2 =289 C ． 289（1﹣2x ）=256 D ． 256（1﹣2x ）=289 4．岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在20XX 年12月27日试业了．在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次．小曾想知道景区每月游客的平均增长率x 的值，应该用下列哪一个方程来求出（ ） A ．20（1+x ）2=50 B ．20（1﹣x ）2=50 C ．50（1+x ）2 =20 D ．50（1 ﹣x ）2 =20 5．某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为（ ） A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 2070x x x -= 6．若关于x 的方程x 2 ﹣4x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 7．已知实数a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，则 b a a b +的值是【 】 A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11 8．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A.当k 0=时，方程无解 B.当k 1=时，方程有一个实数解 C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解 D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解 9．若22 4x Mxy y -+是一个完全平方式，那么M 的值是（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D.±4 二、填空题 10．已知方程x 2 +（1﹣ ）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 12+x 22 = 11．已知m 和n 是方程2x 2 －5x －3＝0的两个根，则 1m ＋1 n ＝________． 12．若将方程2 67x x +=，化为()2 16x m +=，则m ＝________. 13．已知（x 2 ＋y 2 ）（x 2 －1＋y 2 ）－12=0，则x 2 ＋y 2 的值是_________? 14．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为 ． 15a 4+b 10--=，且一元二次方程2kx ax b 0++=有实数根，则k 的取值范围是 . 三、计算题 16．解方程：（x+3）2 ﹣x （x+3）=0． 按要求解方程：
一元二次方程练习题(难度较高)
元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1，求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7，求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点，且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时，求k 的值。 (1) k 为何值时，方程有两个实数根; x 1、x 2
5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后，且两直角边i 和C 是方程的两根时，求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ，方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ，求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数，且满足1< x X 2 <2 （其中 X 1 > X 2），
一元二次方程概念和解法测试题
一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 1． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念 知识点： 一、一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。
最新一元二次方程培优提高例题
考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方 程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以 讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
《一元二次方程》能力提高训练题
《一元二次方程》能力提高训练题 1、已知x 2+ 21x =3,求1242++x x x = 2、如果m 、n 是两个不相等于的实数，且满足122=-m m ,122=-n n ,那么代数式=+-+199944222n n m 3、已知a 、b 、c 是ABC ?三条边的长，那么方程()042=+++c x b a cx 的根的情况是 4、方程0132=--x x 与032=+-x x 的所有实数根的和是 5、将代数式2x 2+3x+5配方得 6、某工厂计划在长24m ，宽20m 的空地中间划出一块322m 的长方形建一住房，并且使剩余的地为正方形，则这个宽度是 m 7、下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ） A 1562-+x x B 3732++y y C 2242y xy x -- D 22542y xy x +- 8、已知0534222=+++ +-+c b a b a ,求a,b,c 的值。 9、解下列方程：(x+1)2+9=0 10、已知()3123132±=± b a ，求整数a,b 的值。 11、挖土机原计划在若干小时挖土220m 3，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3，
因此提前2小时超额20m 3完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3 ？ 12、设ａ、ｂ、ｃ是ABC ?的三边，关于ｘ的一元二次方程0222 =-+-a c x b x 有两个相等的是数根，方程a b cx 223=+得根为０ ⑴求证：ABC ?是等边三角形 ⑵若ａ、ｂ为方程 032=-+m mx x 的两根，求ｍ的值 13、已知方程()()221k x x =--,其中k 为实数且0≠k ,不解方程证明 （1） 这个方程有两个不相等的实数根； 这个方程的一个根大于1，另一个根小于是。
一元二次方程概念题组
一元二次方程的概念题组 说明： 构建知识框架，复习整式、分式概念、方程的概念（方程的解、一元一次方程） 知识点：一元二次方程的概念、一般形式 题组1：列方程（不解） （1）如图，要使一个边长为8的正方形花坛的面积增加80平方米后仍为正方形，边长应延长多少米？ m2+16m-80=0 （2）用80米长的篱笆在墙边围一个矩形的草坪，当面积是75平方米是，它的长和宽应是多少米？ x2-40x+375=0 （3）给木质器具表面刷油漆时，每平方米需用油漆100克，当我们把一个正方体表面刷满油漆时，恰好用掉油漆2400克，那么这个正方体的棱长是多少呢？a2-4=0 （4）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。 （5）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。 （6）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。 （7）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。 （8）有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? （9）要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? （10）绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并且长比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少? x2+10x-900=0
（11）学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 5x2+10x-2.2=0 （12）一个直角三角形的两条直角边相差3cm ，面积是9cm 2 ，求较长的直角边的长。 （13）用一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长。x2-70x+825＝0． （14）剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应怎样剪？ x2+5x-150＝0 （15）要设计一座高2m 的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米? 题组2：下列方程哪些是一元二次方程 1常数方程 （1）x 3 －2x 2 ＋5＝0； （2）x 2 ＝1； ； （3） (x+3)(x-4)=－6 （4）2（x ＋1）2 ＝3（x ＋1）； （5）x 2 －2x ＝x 2 ＋1； （6）2x+1=0（7）5x ＋3＝0，（8）2x ＋ｙ＝3，（9）3122 =+x ， （10）3 2 51 )2(= -x ；（11）x 2 －2x ＋１＝0 (12) y 2 －x+3=7 (1)x2+y+5=0 (2)x2+2x -7=0 (3)x2+2=1/x (4)x2+6x (5)x(2x-3)=6 (6)3m2=2（2m ＋1） (7)x (3＋x2)＋1＝5 （8）3y －5＝4（2－y ） （9）（2k-3）（k+5）＝7k （10）2x （x+3）=6x x2+3x+2=0 （11） 3 x 2 =5x+2 (1) x 2 =0 (2) 1-x 2=0
一元二次方程定义及其解法
班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是 一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举 例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配 方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2
一元二次方程专题能力培优含答案
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领
《一元二次方程的解法》提高训练
《一元二次方程的解法》提高训练 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）用配方法解一元一次方程x2﹣8x﹣4＝0，经配方后得到的方程是（）A．（x﹣4）2＝20B．（x﹣4）2＝16C．（x﹣4）2＝12D．（x﹣4）2＝4 2．（5分）用配方法解方程时，下列配方错误的是（） A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0 B．x2﹣5x﹣4＝0化为 C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为 3．（5分）方程x2﹣4x﹣12＝0的解为（） A．x1＝2，x2＝6B．x1＝2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6 4．（5分）若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（） A．13B．16C．12或13D．11或16 5．（5分）一元二次方程x2﹣8x＝32可表示成（x﹣a）2＝32+b的形式，其中a、b为整数，则a+b的值为（） A．20B．12C．﹣12D．﹣20 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）若方程x2﹣4x+3＝0的两根是等腰三角形的底和腰，则它的周长为． 7．（5分）关于x的一元二次方程（x+3）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是． 8．（5分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x ﹣3）﹣3＝0的解是． 9．（5分）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2﹣13x+40＝0的根，则此三角形的周长为． 10．（5分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大
一元二次方程及根的定义
一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，
， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，
所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得
一元二次方程培优提高题.doc
学习必备 欢迎下载 第一节 求根公式 【例题求解 】 【例 1】满足 (n 2 n 1) n 2 1的整数 n 有 个． 【例 2】设 x 1 、 x 2 是二次方程 x 2 x 3 0 的两个根，那么 x 1 3 4x 2 2 19 的值等于（ ） A ． 一 4 B ．8 C ． 6 D ． 0 【例 3】 解关于 x 的方程 (a 1) x 2 2ax a 0 ． 【例 4】 设方程 x 2 2 x 1 4 0 ，求满足该方程的所有根之和． 【练习题 】 1. 已知 a 、 b 是实数，且 2a 6 b 2 0 ，那么关于 x 的方程 (a 2)x 2 b 2 x a 1 的根 为 ． 2. 已知 x 2 3x 2 0 ，那么代数式 (x 1)3 x 2 1 的值是 ． x 1 3. 若两个方程 x 2 ax b 0 和 x 2 bx a 0 只有一个公共根，则 ( ) A ． a b B ． a b 0 C ． a b 1 D ． a b 1 4. 若 x 2 5x 1 0 ，则 2x 2 9 x 3 5 1 ＝ ． x 2 5. 已知 m 、 n 是有理数，方程 x 2 mx n 0 有一个根是 5 2 ，则 m n 的值为 ． 6. 已知 a 、 b 都是负实数，且 1 1 1 b 0 ，那么 b 的值是 ( ) a b a a A ． 5 1 B ． 1 5 C ． 1 5 D ． 1 5 2 2 2 2 7. 已知 x 2 2x 2 0 ，求代数式 (x 1)2 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 1) 的值． 8. 已知 x 19 8 3 ，求 x 4 6x 3 2x 2 18 x 23 的值． x 2 8x 15 9. 已知 m 、n 是一元二次方程 x 2 2001 7 0 的两个根，求 ( m 2 2000m 6)(m 2 2002n 8) x 的值． 10. 已知方程 x 2 3x 1 0 的两根 、 也是方程 x 4 px 2 q 0 的根，求 p 、 q 的值．
一元二次方程拓展训练试题
北京十一学校初二数学培优讲义——一元二次方程 班级____________姓名____________ 一、解法综合 1．关于x 的方程02=++q px x 与02=++p qx x 有一个公共根，则()2 q p +的值是____________． 2．若方程0622=+-kx x 的两个根为素数，则=k ____________． 3．设a b c 、、为ΔABC 的三边，且两个方程：2220x ax b ++=和2220x cx b +-=有一个公共根，证明ΔABC 一定是直角三角形． 4．解方程：16252736 x x x x x x x x +++++=+++++. 5．设x a y b =??=?是方程组223515x y y mx ?+=?=?的解；x c y d =??=?是方程组223515350x y x my ?+=?-=? 的解，求证：2222d c b a +++是与m 无关的定值． 6．对于任意实数k ，方程()()2 2221240k x a k x k k b +-++++=总有一个根是1，试求实数a b ，的值及另一个根的范围． 7．解方程：()2 22160x x --= 8．解方程：((2130x x +-++= 9．解方程：()()() 2222223211x x a x b ab x --+-=+ 10．解方程：()210abx a b x ---= 11．解方程：222320x bx a ab b --++= 12．02)1(3122=-+-+x x x x 13．135322+=+--x x x x 14．23152x x ++= 151= 16．已知关于x 的方程0483222=-+--m m mx x ． （1）求证：当2m >时，原方程总有两实数根． （2）若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围． 二、判别式的应用 1．已知方程2 20x x m --=没有实数根（m 为实数），则关于x 的二次方程
一元二次方程及解法经典习题及解析
┃知识归纳┃ 1．一元二次方程的概念 只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 2．一元二次方程的解法 一元二次方程有四种解法：法、法、法和法． [注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0. 3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝. [注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法 一、开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)
二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解 三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧： 先考虑开平方法,
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
一元二次方程提高训练
飞跃文化培训 一元二次方程提高训练 一 填空题（本题20分，每小题4分）： 1．方程4x 2 ＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ； 2．方程 kx 2 ＋1 ＝ x －x 2 无实数根，则k ； 3．如果 x 2 －2（m ＋1）x ＋m 2 ＋5 是一个完全平方式，则m ＝ ； 4．若方程 x 2 ＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝ ； 5．若方程 x 2－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p ＝ . 二 选择题（本题24分，每小题4分）： 1．若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2 ＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是……（ ） （A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．若c 为实数，方程x 2 －3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2 ＋3x －3＝0的一个根， 那么方程x 2 －3x ＋c ＝0的根是……………………………………………………（ ） （A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3 3．方程x 2－3|x |－2＝0的最小一根的负倒数是…………………………………………（ ） （A ）－1 （B ）)173(41-- （C ）21（3－17） （D ）2 1 4．对于任意的实数x ，代数式x 2 －5x ＋10的值是一个…………………………………（ ） （A ）非负数 （B ）正数 （C ）整数 （D ）不能确定的数 5．若一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关 系应当是……………………………………………………………………………（ ） （A ）3b 2 ＝8ac （B ） a c a b 232592 2 = （C ）6b 2 ＝25ac （D ）不能确定 6．已知方程3x 2 ＋2x －6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是……………（ ） （A ）6x 2 －2x ＋1＝0 （B ）6x 2 ＋2x ＋3＝0 （C ）6x 2 ＋2x ＋1＝0 （D ）6x 2 ＋2x －3＝0 三 解下列方程（本题24分，每小题6分）： 1．0223422 =-+x x ； 2．1 415112-=--+-x x x x ； 3．4x 2 ＋19x －5＝0； 4．06)1 (5)1( 2=+---x x x x . 四（本题10分） 若方程2x 2 －3x －1＝0的两根为x 1和x 2，不解方程求x 4 1＋x 4 2的值； 五（本题10分） 两列火车分别从A 、B 两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km ，两车在距A 、B 中点28 km 处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在A 、B 中点相遇，求A 、B 距离及两车的速度． 六（本题12分） 挖土机原计划在若干小时挖土220m 3 ，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3 ，因此提前2小时超额20m 3 完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3 ？
最新一元二次方程概念练习题资料
精品文档 一．填空题： 22-mx+2是一元二次方程,则m___________x的方程mx．-3x= x 1．关于2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____, 常数项是______. 2=1的解为______________. 3．方程x2=27的解为．方程3 x______________. 412222 ____ )=(a a ±x±+6x+____=(x+____)____+ , 422- 9=0有一个解为0 , 则x的一元二次方程(m+3) xm=______. +4x+ m．关于5二．选择题： 6．在下列各式中 12222+2 x=-–5 ; 2 x③- 3x=2x(x- 1) –1 ; 3 x④①x- 4x +3=x; ②x7．是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．一元二次方程的一般形式是( ) 22+c=0 (a≠0 ) B a x A x +bx+c=0 22+bx+c=0 (a≠0) D a x C a x +bx+c=0 2+27=0的解是( 9．方程3 x ) A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对 2- 5=0的一次项系数是( ．方程6 x ) 10A 6 B 5 C -5 D 0 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( 11．将方程x) 2222=4 (x- 1) D (x- 2)C =5 (x- 2)=1 B (x- 4)=1 A ??22?1?0?x?a?1ax ax值为（12.关于的一元二次方程，则）的一个根是0 121?1?11、 B A、、C或 D 、精品文档． 精品文档 三.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
九年级数学上册一元二次方程,二次函数的概念练习题
2012届九年级上学期第四周周测 （内容：一元二次方程，二次函数的概念，y ax 2 的图像性质）姓名：_______________学号：________成绩：______________一、选择题（该题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．下列函数中，开口方向向上的是（） A.y ax2 B.y 2x2 C.1 y x 22 D. 1 y x 2 2 2.方程x22x A. x 2的解为（） B.x 2，x 2 12 C.x 2，x 0 12D.x 2，x 0 12 3.二次函数y 2(x 3)24中，当x 3时，y （） A.-4 B.4 C.5 D.6 4.二次函数y x 2 的图像，在y轴左侧，y随x的增大而（） A.增大 B.减小 C.不变 D.无法确定 5.某校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到8万册， 若设这两年的年平均增长率为x，则可列方程为（） A.（51x）28 B.（512x ）8 C.（51-x）28 D.（512x）28 二、填空题（该题共有5个小题，每题4分，共20分） 6.一元二次方程2x23x 20的根的情况是：___________________； 7.写出一个根是-1的一元二次方程：____________________； 8.二次函数2 y x 32 有最________值； 9.函数y 2x 1的取值范围是_____________；
10.矩形的长x与宽的和是14，则矩形面积S与x 的函数关系式为 ___________，自变量的取值范围是______________。 三、解答题（共60分） 11.按要求解一元二次方程：（每题7分，共14分）新课标第一网 （1）用公式法解方程：（2）用配方法解方程：x24x 10x24x 10 12.（本题满分9分）已知关于x的方程x2kx 60的一个解与方程4x 120的解相同 （1）求k的值； （2）求方程x2kx 60的另一个解.
一元二次方程基本概念
一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法： 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． （3）公式法： 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a