高等数学上册第一章心得与分享

第一章函数极限与连续

（一）本章重点（important points ）：

1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。

2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。

3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。

4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。

5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。（二）知识点分析（analysis ）：

常用不等式

1）绝对值不等式： ||x |?|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2）三角不等式： |x ?z |=|x ?y +y ?z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)：

若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）： (∑x i y i ）

n i=12

≤(∑x i

2n i=1)?(∑y i 2n

i=1) 5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x

7) (1+1n )n

<(1+1

n+1

)n+1

&& (1+1n

)

n+1

>(1+1n

)

n+2

即：数列{(1+1n )n } 单调递增，数列{(1+1n )

n+1

} 单调递减。

8）设 x ∈z +, 则 1

x+1

9) 设 x ∈z +

, 则

2√n

1?3?5?...?(2n?1)2?4?6?.. (2)

√2n+1

二．不等式的运用案例

eg1. 证明柯西不等式 (∑x i y i ）

n i=12

≤(∑x i 2n i=1)?(∑y i 2

n i=1)

证法一：（构造一个关于t 的二次方程，并利用其判别式）

因为 x i, y i ∈R, i =1,2,3…..,n. 所以 ?t ∈R ，有(x i +ty i )2≥0.

→f (t )=∑(x i +ty i )2n i=1=∑x i 2+(2∑x i y i n i=1)t +(∑y i 2n i=1)n i=1t 2

≥0

若∑y i 2

=0,则。。。。。。n i=1 若∑y i 2

n i=1

,则有判别式?≤0 故 4

（∑x i y i n i=1）

≤

4∑x i

∑y i

2≤0n i=1n i=1

→

(∑x i y i ）

n i=12

≤(∑x i 2

n i=1)?

(∑y i 2n i=1)

三．求极限的方法：

1.利用极限的基本性质与法则。

2.利用数列求和。

3.利用两个重要极限。

4.利用对数恒等式（主要是解有关幂指型函数的题）。

5.利用函数的连续性。

6.利用无穷大与无穷小的关系（无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小；无穷大加无穷大不一定等于无穷大；）

四．数列的极限：

若对0>?ε（不论ε多么小），总?自然数0>N ，使得当N n >时都有ε<-a x n 成立，这是就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）。

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注：1：ε是衡量n x 与a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，ε具有任意性，那么2,2,2

εεε

等也具有

任意性，它们也可代替ε）

2：N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的。在解题中，N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a x n 就行了，而不必求最小的N 。 Eg2.证明1lim

2=+∞

→n

a n n 。证明：对0>?ε，因为ε<=-+n

n n 1

11,因为n a n a n n a n a n 2

22222)

(1<++=-+ （此处不妨设0≠a ，若0=a ，显然有1lim

2=+∞→n

a n n ）所以要使得

ε<-+122n a n ，只须ε

a 2

就行了。即有ε2

a n >. 所以取][2

εa N = ，当N n >时，因为有ε

a 2

ε<-+12

a n ，所以1lim 2

2=+∞→n

a n n 。注：有时找N 比较困难，这时我们可把a x n -适当地变形、放大（千万不可缩小！），若

放大后小于ε，那么必有ε<-a x n 。

Eg3. 设1

→n n q 。

证明：若0=q ，结论是显然的，现设10<?ε，（因为ε越小越好，不妨设1<ε），要使得ε<--01n q ，即ε<-1n q ，只须两边放对数后，εln ln )1(<-q n 成立就行了。因为

10<

n q n ln ln 1ln ln 1ε

ε+>?>

- 。取???

?????+=q N ln ln 1ε，所以当N n >时，有ε<--01

n q 成立。

定理1：（唯一性）数列n

x 不能收敛于两个不同的极限。

证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>?ε，必分别?自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n …(1) 当2N n >时，有ε<-b x n …(2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。现考虑：

εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =?，所以n x 的极限只能有一个。

注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。

若a x n n =∞

→lim ，lim n n x b →∞

=，则a b =

若0()

lim ()x x x f x A →∞→=0()

lim ()x x x f x B →∞

→=，则A B = 定理2. （有界性）若数列n

x 收敛，那么它一定有界，即：对于数列

n x ，若?正数M ，对一切n ，有M x n ≤。

证明：设a x n n =∞

→lim ，由定义对?=,1ε自然数,N 当N n >时，1=<-εa x n ，所以当N n >时，

a a a x x n n +<+-≤1，令}1,,{21a x x x Max M N +=ΛΛ，显然对一切n ，M x n ≤。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列1)1(+-=n n x 是有界的（1≤n x ），但函数收敛。此点希望注意！

（i ）若a x n n =∞

→lim ，则0M ?>使得对,n N +?∈恒有n x M ≤

（ii ）若0

lim ()x

f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ

<-<时，有

()f x M

≤

（iii ）若lim ()x f x A →∞

=，则0,0M X ?>>当x X

>时，有

()f x M

≤

（3）局部保号性

（i ）若a x n n =∞

→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或（ii ）若0

lim ()x x f x A →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ

<-<时，有

()0(()0)f x f x ><或

五．函数的极限：

定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<0

0x x

的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为

A x f n =∞

→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）

注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧

∈x U x 。显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε。一般地，ε越小，δ相应地也小一些。

2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）。

3：几何解释：对0>?ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,。由定义，对此0,>?δε。当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(。即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）。换言之：当),(0δ∧

∈x U x 时，),()(εA U x f ∈。从图中也可见δ不唯一！

定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0

，

（i ）若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0

δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((

（ii ）若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A 。

证明：（i ）先证0>A 的情形。取2

=ε，由定义，对此0,>?δε，当),(0δ∧

∈x U x 时，

2)(A A x f =<-ε，即0)(2

32)(220>?=+<<-=

A A x f A A A 。