高中数学参数方程大题(带答案)
参数方程极坐标系
解答题
1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.
专题:坐标系和参数方程.
分析:(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以
sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的X围求得|PA|的最大值与最小值.
解答:
解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,
故曲线C的参数方程为,(θ为参数).
对于直线l:,
由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).
P到直线l的距离为.
则,其中α为锐角.
当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.
2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:
,曲线C的参数方程为:(α为参数).
(I)写出直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
考点:参数方程化成普通方程.
专题:坐标系和参数方程.
分析:(1)首先,将直线的极坐标方程中消去参数,化为直角坐标方程即可;
(2)首先,化简曲线C的参数方程,然后,根据直线与圆的位置关系进行转化求解.
解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,
∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,
∴,
∴x﹣y+1=0.
(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).
得
(x﹣2)2+y2=4,
它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,
圆心到直线的距离为:
d=,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.
点评:本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识,属于中档题.
3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程.
专题:计算题;压轴题;转化思想.
分析:
(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个椭圆;
(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标,利用中点坐标公式表示出M的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.
解答:
解:(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y﹣3)2=1,
所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;
把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,
焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;
(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(﹣4,4),
把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,
设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)
所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)
从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.
点评:此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题.
4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(Ⅰ)求圆心的极坐标;
(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.
考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题:坐标系和参数方程.
分析:
(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入即可得出.
(II)把直线的参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再利用弦长公式可得|AB|=2,利用三角形的面积计算公式即可得出.
解答:
解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.
∴圆心坐标为(1,﹣1),
∴圆心极坐标为;
(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程:
,
∴圆心到直线l的距离,
∴|AB|=2==,
点P直线AB距离的最大值为,
.
点评:本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.
考点:椭圆的参数方程;椭圆的应用.
专题:计算题;压轴题.
分析:由题意椭圆的参数方程为为参数),直线的极坐标方程为.将椭
圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.
解答:解:将化为普通方程为(4分)
点到直线的距离
(6分)
所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)
点评:此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.
6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极
坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).
(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
考点:参数方程化成普通方程.
专题:计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.
分析:(1)将曲线C化为普通方程,将直线的参数方程化为标准形式,利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理,即可求弦长.
(2)运用圆的参数方程,设出M,再由两角和的正弦公式化简,运用正弦函数的值域即可得到最大值.
解答:
解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,
可得,3x+4y+1=0;
由于ρ=cos(θ+)=(),
即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,
圆心到直线的距离d==,
故弦长为2=2=;
(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),
则设M(,),
则x+y==sin(),
由于θ∈R,则x+y的最大值为1.
点评:本题考查参数方程化为标准方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查参数的几何意义及运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
7.选修4﹣4:参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线
C的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;
(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.
考
点:
参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专
题:
坐标系和参数方程.
分析:(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出;
(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,
解
答:
解(1)∵P点的极坐标为,
∴=3,=.
∴点P的直角坐标
把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得,即
∴曲线C的直角坐标方程为.
(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0
设,则线段PQ的中点.
那么点M到直线l的距离
.,∴点M到直线l的最小距离为.
点评:本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档题.
8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.
专题:直线与圆.
分析:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化
简即可得到此圆的极坐标方程.
(II)由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,
射线OM.分别与圆的方程联立解得交点,再利用两点间的距离公式即可得出.
解答:解:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.
(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.
可得普通方程:直线l,射线OM.
联立,解得,即Q.