抽象函数单调性证明及两个技巧
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
(江西师大附中使用)高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。 1.回归教材,注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。 2.适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。 3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察
在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1.【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点,且满足AB AC →
→
=,则A BA C →→
?的最小值为( )
A .1
4- B .12-
C .34-
D .1-
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识,是向量与三角的典型综合题。解法较多,属于较难题,得分率较低。
【易错点】1.不能正确用OA ,OB
,OC 表示其它向量。
2.找不出OB 与OA 的夹角和OB
与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1.把向量用OA ,OB
,OC 表示出来。
2.把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ,由AB AC →
→
=得,22
()()OB OA OC OA -=- ,因为
1OA OB OC ===
,所以有,OB OA OC OA ?=? 则()()AB AC OB OA OC OA ?=-?-
2OB OC OB OA OA OC OA =?-?-?+
21OB OC OB OA =?-?+
设OB 与OA 的夹角为α,则OB
与OC 的夹角为2α
所以,cos22cos 1AB AC αα?=-+ 211
2(cos )22
α=--
即,AB AC ? 的最小值为1
2
-,故选B 。
【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD 中,已知
//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ
== 则AE AF ? 的最小值为.
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何
运算求,AE AF ,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算AE AF ? ,体
现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】
2918
【解析】因为1,9DF DC λ= 12
DC AB =
,
119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ
--=-=-== ,
AE AB BE AB BC λ=+=+ ,19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ
-+=++=++=+ ,
()
221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC
λλλλλλλλλ+++?????=+?+=+++?? ? ?????
19199421cos1201818
λλ
λλ++=
?++???
?2117172992181818λλ=
++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ? 的最小值为
29
18
. 2.【试卷原题】20. (本小题满分12分)已知抛物线C 的焦点()1,0F ,其准线与x 轴的
交点为K ,过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设8
9
FA FB →
→
?=
,求BDK ?内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法,是直线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。
【易错点】1.设直线l 的方程为(1)y m x =+,致使解法不严密。
2.不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。 【解题思路】1.设出点的坐标,列出方程。 2.利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。 3.根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】(Ⅰ)由题可知()1,0K -,抛物线的方程为24y x =
则可设直线l 的方程为1x my =-,()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -, 故2
14x my y x =-??
=?整理得2
440y my -+=,故121244
y y m y y +=??=? 则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2
222144y y y x y y ?
?-=- ?-??
令0y =,得1214
y y
x ==,所以()1,0F 在直线BD 上.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知121244
y y m y y +=??=?,所以()()2
12121142x x my my m +=-+-=-,
()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-,()221,FB x y →
=-
故()()()2
1212121211584FA FB x x y y x x x x m →→
?=--+=-++=-,
则2
84
84,93
m m -=
∴=±,故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=
21y y -==
故直线BD 的方程330x -=或330x -=,又KF 为BKD ∠的平分线,
故可设圆心()(),011M t t -<<,(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131
,54t t +--------------10分 由
31315
4t t +-=
得1
9t =或9t =(舍去).故圆M 的半径为31253
t r +=
= 所以圆M 的方程为2
21499x y ?
?-+= ??
?
【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国,22】 已知抛物线C :y 2=2px(p>0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=5
4|PQ|.
(1)求C 的方程;
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】(1)y 2=4x.
(2)x -y -1=0或x +y -1=0. 【解析】(1)设Q(x 0,4),代入
y 2=2px ,得
x 0=8
p
,
所以|PQ|=8p ,|QF|=p 2+x 0=p 2+8
p
.
由题设得p 2+8p =54×8
p ,解得p =-2(舍去)或p =2,
所以C 的方程为y 2=4x.
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x =my +1(m≠0). 代入y 2=4x ,得y 2-4my -4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.
故线段的AB 的中点为D(2m 2+1,2m), |AB|=
m 2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).
又直线l ′的斜率为-m ,
所以l ′的方程为x =-1
m y +2m 2+3.
将上式代入y 2=4x ,
并整理得y 2+4
m y -4(2m 2+3)=0.
设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),
则y 3+y 4=-4
m
,y 3y 4=-4(2m 2+3).
故线段MN 的中点为E ? ????
2m
2+2m 2+3,-2m ,
|MN|=
1+1
m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)2m 2+1
m 2
.
由于线段MN 垂直平分线段AB ,
故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=1
2|MN|,
从而14|AB|2+|DE|2=1
4|MN|2,即 4(m 2+1)2+
? ????2m +2m 2+? ??
??2
m 2+22=
4(m 2+1)2(2m 2+1)
m 4
,
化简得m 2-1=0,解得m =1或m =-1, 故所求直线l 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较,基本相似,具体表现在以下方面: 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养,既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平,符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则. 2. 试题结构形式大体相同,即选择题12个,每题5分,填空题4 个,每题5分,解答题8个(必做题5个),其中第22,23,24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点,大部分属于常规题型,是学生在平时训练中常见的类型.解答题中仍涵盖了数列,三角函数,立体何,解析几何,导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同,如本试卷第3题,是一个积分题,尽管简单,但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表(考点/知识点,难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题)
(完整版)高中抽象函数的单调性习题总结,推荐文档
10月2日 抽象函数的单调性 1、对任意都有:,当,又知 ()f x ,x y R ∈()()()f x y f x f y +=+0,()0x f x ><时,求在上的值域. (1)2f =-()f x []3,3x ∈-2、f(x)对任意实数x 与y 都有,当x>0时,f(x)>2 ()()()2f x f y f x y -=--(1)求证:f(x)在R 上是增函数; (2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3. 3、已知函数对任意有,当时,f x ()x y R ,∈f x f y f x y ()()()+=++2x >0,,求不等式的解集. f x ()>2f ()35=f a a ()2223--<4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1)求f(1)和f(1/9)的值;(2)证明f(x)在x>0上是减函数; (3)解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 5、定义在上函数对任意的正数均有:,且当(0,)+∞()y f x =,a b (()() a f f a f b b =-时,,(I )求的值;(II )判断的单调性, 1x <()0f x >(1)f ()f x 6、若非零函数对任意实数均有,且当时,)(x f b a ,()()()f a b f a f b +=?0
函数的单调性 知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1
高中一年级函数单调性完整版
函数的单调性 学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应 用函数的基本性质解决一些问题。 (2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(,2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的, 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的,2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上,f (x )随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上,f (x )随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上,f (x )随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知f x ()的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足f xy f x f y ()()()=+,求 证:f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (2 1)=-1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2) 求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得 .又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -用函数单调性定义证明