江苏省扬州中学2019届高三数学上学期12月月考试题
2018~2019扬州中学高三上学期12月月考数学
一.填空题： 1 .函数v =3sin 2x + ? |的最小正周期是 ▲ . I 4丿 ------------- 2.设z =(2 -i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 3.若角:-的终边经过点 A -2,3 ,则tan 〉值为 ▲ _________________ 4.已知集合 A ={-1,1,2,3}, B ={x|x R,x 2 ：：
3},则 B = ▲ ____
2 5.双曲线? 16 2 y 9 =1的两条渐近线的方程为 6.若函数f (x ) =1 ?攀 是奇函数，则 m 为
______
a —1 _ - - 3 7 已知 a E （O ,—）, 0 € （一，
x ）,sin （a +P ） = ——,cos 2 2 5
▲ . 5
13
8.在三棱柱
ABQ1-ABC 中，D , E , F 分别为AB ,
AC , AA 1的中点，设三棱锥 F - ADE 体积为V ，三棱柱 A^G - ABC 的体积为 V ，则 V 1 72= ▲ ____ . 9 .抛物线y =x 2
在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角 ，贝V sin 的值等于
形区域为D (包含三角形内部和边界)?若点P(x, y)是区域D 内任意一点，贝U x 2y 的
取值范围是 ______ ▲ ______ . 1
2 10.设D 、E 分别是 ABC 的边AB , BC 上的点，AD = —AB , BE =—BC .若
2
3
T T T
DE h^AB 々AC （ '1,鼻为实数），^U ‘1 ‘2 的值是 ___________ ▲ _____
11.若函数f X在定义域D内某区间H上是增函数，且丄上在H上是减函数，则称
X
y = f x的在H上是“弱增函数” ?已知函数g x ]=x2 4i4-mx m 的0,2 1 上是
“弱增函数”，则实数m的值为▲
12.已知实数a >b K0满足—+ — =1，贝y 3a +2b的
' a +b a —b
最小值为▲
2 2
13.如图，已知椭圆扌+蒼=1(a>b>0)，点A, B1, B, F依次
为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB与直线BF X 的交点M恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为
x — x+a x ‘ 一a
14.已知函数f(x)= 2 ' '记A二｛x|f(x)=0｝，若,2) = ._ ,
￡ +x + 3a, x < -a ?
则实数a的取值范围为▲?
二.解答题：
15. (本小题满分14分)
已知a= (cos : ,sin ) ,b #cos ,Sin ) - , 0 ：：：-：：:-:::二.
呻呻I —
(1)若a — b，求|a -b |的值；
(2)设c =(0,1)，若a ? b =c，求〉，1的值.
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥P - ABCD中，PC_平面ABCD,
AB // CD , CD — AC，过CD的平面分别与PA, PB交于
点E, F ?
(1) 求证：CD —平面PAC ;
(2) 求证：AB//EF ?
B A
17. （本小题满分14分） 如图，某生态园将一三角形地块
ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角 A 为
120 , AB, AC 的长度均大于200米，现在边界 AP, AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.
（1）若围墙AP,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块
APQ 的面积最大?
（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米 100元.若围围墙用 了 20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省?
18. （本小题满分16分）
（? e '0— b 的动直线I 交椭圆C 于代B I
‘2」
两点，交圆O 于P,Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）.当:时，弦PQ 的长为,14.
4
（1） 求圆O 与椭圆C 的方程；
（2） 若AF 2,BF 2, AB 依次成等差数列，求直线PQ 的方程?
19. （本小题满分16分）
已知椭圆C : 2 2
x
y 1 2
, 2
a
b
（a b 0）和圆 O :
2 2 2
x y 二 a ，F 1（-1,0）, F 2（1,0）分别
是椭圆的左、 右两焦点，过F 1且倾斜角为：■
A
已知函数 f(x) =xlnx ax 2.
(1) 若曲线y = f(x)在x=1处的切线过点 A(2, - 2).
① 求实数a 的值；
f (x)
1 ② 设函数g(x)
，当s 0时，试比较g(s)与g(—)的大小；
x
s
1
(2) 若函数f (x)有两个极值点x 1， x 2 ( % V X 2)，求证：f (xj A -一 .
2
20. (本小题满分16分)
已知数列｛aj 的前n 项和为S n ,且满足S n = 2a n -2 ；数列｛b n ｝的前n 项和为「，且满 足 b 1
=1 , b 2 =2 ,卫 d .
T
n + b
n 七
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛b n ｝的通项公式；
a +
b +1
(3) ------------------------------------------------ 是否存在正整数 n ，使得 恰为数列｛b n ｝中的一项？若存在，求满足要求
a n _ b
n 寺 的那几项；若不存在，说明理由.
答案
cos t * cos - - 0
(2) a b = (cosa +cosP,sin a +sin P) =(0,1) 2
sin a +sin P =1
cos「- cos(二--)，由0 ：：：-：：：二，得0 ：：：二--：：：二，又
0 ：：：「：：：二，故 /
1
代入sin 鳥" sin ：=1 得sin 匚-sin ，而：…『■:
2
16.证：(1)因为PC _平面ABCD，所以PC _ CD , 又因为CD _ AC，所以CD _
平面PAC ?
(2)因为AB // CD，AB 二平面CDEF，CD 二平面CDEF，所以AB//平面CDEF，
又因为平面PABp］平面CDEF二EF，AB二平面CDEF，所以AB//EF ?
17.本题使用二次函数亦可
试题解析：解设肿厂米起=F米.
(1)SPJx-Fj=200,丄妒Q 的面积
(注:不写成立条件扣1分)
⑵由题意得100X(1-T+1.5 1)=20000, gpx+1.5j = 200.
1.
_ 2 . 5 3.
2
4. {-1,1}
5.y= ± 3/4x.
&19. [-2丄] 10111.412.6
2422
13.114.，
丄
2\ 4-
15.(1) 由题意la -b|2=2，
2 2
即(a - b) = a --2aLb+ b2 = 2
6.2
7.
63
65
由此得
..... E井
S = sin 120°= —.
2 ' -'
当且仅当兀=y = 100时取.
要使甘篱笆用料最省，只需其长度PQ製短，所以