全国中学生高中物理竞赛预赛试题

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）物块（1全国中学生高中物理竞赛预赛试题A B发生碰与撞；力学）物块（2A B发生碰与第16届预赛（设为弹性碰撞B撞）后，物块v M沿水平的

平顶小车，以速度1.（15分）一质量为0P与挡板发生碰撞；PB m发生碰撞（设为弹性碰撞）与挡板（的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为的小物3）物块C AB与后，物块块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的上再发生碰撞；在木板?。动摩擦系数为C A（4）物块上掉下来；从木板C B 1. 5）物块上掉下来．从木板若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该

车顶最（少要多长？18届预赛第整个过程中摩问中的要求，2. 若车顶长度符合1ML、长为所示，一质量为－5如图预1.（擦力共做了多少功？25分）18P的木板，静止在水平的地面上，设木板与2.带薄挡板（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，?质地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为．?????L、它们的密度分别为和（现让一长为。）2211m的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加量为速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然抓住挡板1??)(?的均匀木棍，竖直地放在上面的液密度为21P而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够2大，人在木板上不滑动．问：在什么条件下，最后可3L，由静止体内，其下端离两液体分界面的距离为使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？4235作燃料的核反应堆中，235铀开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定2.（1 8分）在用铀

eV后，的热中子由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两（慢中子）核吸收一个动能约为0.025而快中～3个快中子，液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未可发生裂变反应，放出能量和2为了能使裂变反应继续下去，露出液面，也未与容器相碰。235的裂

变．子不利于铀需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法第届预赛17）作减速剂．设中子与碳原子的碰是使用石墨（碳12在水平桌面上放有长木17-8分）（1.20如图预所示，MeV?1.75E的快撞是对心弹性碰撞，问一个动能为0CCC P上左端和中点处板，上右端是固定挡板，在PABAB中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为的厚度皆和，、的尺寸以及各放有小物块LBBPA eV之间的距离皆为。0.025的热中子？、可忽略不计，之间和、CCC BA

之之间和、设木板与桌面之间无摩擦，、届预赛第19?C BA（连、、间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为；C ABP年来最同挡板）的质量相同．开始时，10分）今年3月我国北方地区遭遇了近以和静止，（15严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如某一初速度向右运

动．试问下列情况是否能发生？要v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬下情景：v A应满求定量求出能发生这些情况时物块的初速度0．这时风对沙尘的作用力相当于空气浮在空中（不动）v竖直向下运动时所受的阻力．此足的条件，或定量说明不能发生的理由．不动而沙尘以

速度阻力可用下式表达

2??Av?f

??A为空气为沙尘颗粒的截面积，其中为一系数，密度．3－3?m?2.8?10?kg，沙尘颗粒（）1若沙粒的密度S

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24－Mvm?10r?2.5，地球表面处空气密度为球形，半径0l?

?g(m?M2)－3??mkg??1.25?0.45，试估算在地面附近，，0（5）

2vv的最小值上述．Mv10l?。即车顶的长度至少应为?g(m?M2)?h为随高度系密度的变化关（2）假定空气2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动???)(1??ChC0h?为为，其中处的空气密度，00量的增量，即

1111－?4－22s9.0mm?C?1.18?10v?Mv?m?M)vW?(一常量，，试估算当

022（6）时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变

由（1）、（6化））式可得

2第16届预赛mMv0?W?

)M2(m?参考解答1. ）（71. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度参考解答2.Sv表示木棍的横截面积，从静止开始到其下1令恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。．用端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守1???LSgLSg?()?。由牛顿和向上的浮力的重力121恒，即2第二定律可知，其下落的加速度v)MMv?(m?0???12ga?

（1）1???21从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩（1）擦力对物块所做的功，即

12t s用表示所需的时间，则?mgmv?

1122（）132ta?L1124s为物块移动的距离。小车动能的增

量等于摩擦其中1 2（）由此解得力对小车所做的功，即1122?

mgs????)?3L(mvMv?2120?t

221??g2()?12（3））（3sl表示车顶的最小长度，为小车移动的距离。用其中2'L表示木．木棍下端开始进入下面液体后，用2棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍则

1sl??s??LSg??)(为浮，但力

变为12212（）4????SgL?(SgL?L)'?LL时，浮力小于重力；．当21由以上四式，可解得0'L?可见有一个合力为零的平浮力大于重力，时，当

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?1111L??木棍在上面液体用表示在此平衡位置时，衡位置．222??0)SLv?kz?(kA???21 2222??中的长度，则此时有（10）11??????L?zSg?)((L??)?LSg?LLSg

为此时木棍中心距坐标原点的距离，由式中00221122vv）式）、（9）式可求得和（，再将6（4）（1）、（3k 10由此可得中的）式得代人（L??L

0LA?）（11 2从木（5）由此可知，棍下端开始进入下即木棍的中点处于两液体交界处时，

木棍处于平衡状z面液体到棍中心到竖直方向为态，取一坐标系，其原点位于交界面上，0z?达坐标原点所走的轴，向上为正，则当木棍中点的坐标时，木棍所z距离是振幅的一半，时，所受合力为受合力为零．当中点坐标为

（如图预解从参考圆对应16-9）上可知，

??111??????????kz?)L?zSg??(?(Sgz??)?LSg?L?zSg???，对应的30的?为?????? 112221222??????/12T。因此时间为木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所LL??Sg?k?()式中?z??z用的时间，即棍

中心从所用的时间为到1222 6）（???L?()T21??2t这时木棍的运动方程为2??g1232()?121??LSa?)?kz?(z21）（122受力情况的分从木棍全部浸入下面液体开始，3．az度为沿方向加速z所以做匀减速运动，只是浮力大于重力，析和1中类似，??agz?()中情况相反地对一样，其过程和1加速度的数值与2112?z2??a??z??L?()21称，所用时间??tt?g?()

21312?2???L()?21 13）（．总时间为4（7）

动由此可知为简谐振，其周期

??????L?((?))L2662?2121??tt??2t??Tt?（8）312?????g?)g(2(6?)1122为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动14（）

A的振幅．木棍下端刚进入下面液体时，其速度第届预赛17t?av

11 1.参考解答（9）

BA C当物块的质量，和木板、表示物块m由机械能守恒可知以1.

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1122v?AA C施加的大受到木板向右运动时，物块以初速?mg(s?Lmv??)mv（3）0 11022?mgA C则受到物块小为的滑动摩擦力而减速，木板12?mgs?v(2m)（4）11?mgB施加的大施加的大小为的滑动摩擦力和物块2fC施小为的摩擦力而做加速运动，物块则因受木板或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内BA fC三者的加速、加的摩擦力、作用而加速，设））与（4部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（（3 式等号两边相加），即aaa度分别为和、，则由牛顿第二定律，有CAB1122??mgL)v?mv?(3m

0122?mamg?A（5）

LA C运动的路程．解（2相对木板式中）、就是物块?mamg?f?C（5）式，得 ?ma?f gL3v?B0 6）（a?a B C之间无相对运动，事实上在此题中，、，即BC?BAA gL3v?发生时，即物块的初速度刚好不与0a?a这是因为当时，由上式可得BC?AAB gL?3v与将与故若发生碰撞，，则碰撞，01?mg?f B发生碰撞的条件是2）（1?gLv?3

0?mgB、它小于最大静摩擦力．可见静摩擦力使物块BA C）之间不发生相对运动。若物块（刚好与物块7木板ABA与运动到物块所在处时，不发生碰撞，则物块v BAA将2. 当物块与的初速度（满足7）式时，0BB C的速度相的速度大小相等．因为物块与木板BA C三者的速度分发生碰撞，设碰撞的瞬间，、、v，由动量守等，所以此时三者的速度均相同，设为1vvv别为、，则有和ACB恒定律得vvvmv?mv3?v?

BBC1A0 2（8（））BA C对它们在物块发生碰撞的极短时间内，木板、的摩擦力的冲量非常小，

可忽略不计。故在碰撞过程

BA C的速度与中，构成的系统的动量守恒，而木板A B间的碰撞是弹性的，系统、保持不变．因为物块的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械BA交换能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后、B CA三者的速度分别速度，若碰撞刚结束时，、、???v vv和、为，则有BCA??sC，则物块运动的路程为在此过程中，设木板vvv?v?1BBAA?Ls?A所示．由动能，如图预解运动的路程为17-8vv?1CC A C速度相等，）式可知，物块与木板9）、（8由（定理有AB C 向右运动，以后发、相对于保持相对静止，而

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B替换问中所进行的延续，由物块生的过程相当于第1?????????v vv，则仍类似于第2和问解答中（、9）的BCA A继续向右运动。BBP道理，有刚好与挡板以不发生碰撞，则物块若物块 ???????????v?v?vv vBP C与速度所在处时，板的中点运动到挡板从板BBCCB AA CC的速度相等．与、的速度大小是相等的，因故?????v?v（15）AA v B C．根三者的速度相等，设此时三者的速度为、2BPA与）式可知刚碰撞后，物块与由（14）、（15B C的速度，即据动量守恒定律有的速度相等，都小于木板

?????????mvmv?3v?vv?

20BAC（10）（16）

C以较大的加速度向右做在以后的运动过程中，木板v BA发生完全弹性以初速度开始运动，接着与0AB以相同的较小的加速度向右和减速运动，而物块PBA C做加速运动，加速度的大小分别为碰撞，碰撞后物块到达相对木板静止，所在LA C，相对运动的路程为处这一整个过程中，先是??g?a?a?2ag BAC LB C，整个系统动能的改接着是运动的路程为相对17）5）式的说法．等于系（变，类似于上面第1问解答中（BA C的速度相同，三者和加速过程将持续到或者与统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和，即

11122?Lmg?2???vmv(3m)v A从木板向右做匀速运动，或者木块以相同速度002322AB CC上不可能再上掉了下来。因此物块在木板（11）与发生碰撞。）两式得解（10）、（11AA CC的上掉下来，即到达4. 若恰好没从木板?gL?v6

0C这时三者的速度皆相同，左端时的速度变为与相同，（12）v以表示，由动量守恒有3

?BAAB gLv?6但与碰撞，即物块时，的初速度0mvmv?3

03?PPB gLv6?与就能使与刚好不发生碰撞，，若0 18）（PBAB发生碰发生碰撞，故与与挡板碰撞后，物块v BA C与的左端开始运动，经过以初速度在木板从0撞的条件是AP C的左

端掉下来，这一整相碰，直到刚没从木板?gL?v6

0BAL C接着的路程为；相对系统内部先是个过程中，APLB C刚没从（13；碰后直到相对运动的路程也是与）BA CC运动的路程也皆为与木板相对上掉下来，v A则在式，13满足条件的初速度3. 若物块（）0L．整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩PBAB擦力做功的代数和，即发生碰撞，设在碰、发生碰撞后，将与挡板1122?????L?4???mg mvv)(3m

vBA vC和、、撞前瞬间，、三者的速度分别为03BA22）19（??v，则有C 18由（）、（19）两式，得???????gL12?v vvv??

0BCA））14（20（BPAB C三者的速度分别为与、碰撞后的瞬间，、

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??AA gv12g4v时，即的初速度刚好不会从即当物块00B刚好不时，物块?A gLv?12CC上木板，则将从木板上掉下．若0C掉板木上能从BA C将从掉下，故从下。若，则上掉下的条件是B CC木板从木板上掉下，故物块上掉下来的条件是

?gL?12v0?gL4v?

0）（21 （28）v AA则5. 若物块）的初速度式，满足条件（210

A CC上掉下来上掉下来，设刚要从木板将从木板第18届预赛????????????vBA vvC，三者的速度分别为时，、、、和BCA 1. 参考解答在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨则有t表示人开始运动到刚论木板发生向后运动的情形，以????????????v?v?v

BCA x抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以1（22）f以表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．18这时（）式应改写为F表示地面作用于木表示人与木板间的静摩擦力，以????????mvmv?mv?2CA0aa分别表示人和木板的加速度，和板的摩擦力，以21）（23 19（）式应改写为则af?m 1）

（111122????????2?L4mg????mv?mv(2m)v B0C12222ta?L?x）（2 11（24）2BA C刚好不会从上掉下来后，若物块从木板当物块MaF?f?）（3 2BB CCC 的速木板与上掉下，即当的左端赶上时，12v B C这一系统来说，度相等．设此速度为、，则对t?xa

（4）4212解以上四式，得由动量守恒定律，有 ????????LMm2mv?2mv?mv B?t4C）

（5)m(f?FMf? 25）（对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停在此过程中，对这一系统来说，滑动摩擦力做功的代?mgL?数和为，由动能定理可得下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有vFt?(M?m) 111??22????????2??mgLmv?v)m(2mv??）6（??BC4222??v速为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的度．设人在木板另一端停下后两者一起向前移动的距）26（26）、

（2524）、（23由（）、（）式可得?x，地面的滑动摩擦系数为离为，则有2?gLv?4

012?gx?Mm)vmM(?)?(2）27（2）7（

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木板向前移动的净距离为111222??Mvmvmv?

0222x?X?x12（2）8）解上两式得（由以上各式得Mm?vv?0

Mm?（3）2????LmFLMm1??)f?FX??(mM?12因??????

?MFF)?(M?m)(fg?Mf?m(f?F)M?m??????）式得代入（3 11vv??

0X为最大，应由此式可知，欲使木板向前移动的距离13（4 有）

Ff?v方向相反，即与碳核碰撞后中负号表示的方向与v0）（9 子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为?gFf??)(M?m 即max21111??22vmE?mv??（10）??011322??即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木于是板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力．

移动的最大距离211??E?E m??01L?X 13??max mM?）11）（5（F?f的情况由上可见，在设木板发生向后运动，即E，经过2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次为n2X F?ft～下，0时，有极大值，也就是说，在时间X内，木板刚刚不动的条件下有极大值．EEE，有，…，，43n F?f的情况，那时，因为再来讨论木板不动即Ff?所以人积累的动能和碰后的总动能都将变小，，421111????E??EE

????021Xx也变小，即小于上述的。从而前进的距离1313????max评分标准：本题分25611??EE? 1（）、（561432）、（）、（）式各分；（）式分；??0313??3）式分；（）式分；（）式（728392）式分；（10Ff?时木板向前移动的距离511分；（）式分；说明……Ff?时的给小于1分。nn2??E11??1E?EE? 2.参考解答????n 0013E????0M m碰撞前中子设中子和碳核的质量分别为和，（6）?v v v，和，碰撞后中子和碳核的速度分别为的速度为0)/lgE(E1n0?n因此因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械112lg(1/?v v v和沿同一直线，故有、能均守恒，又因0（7）?Mvmvmv??E10.0257－n010???已知67E101.75?0 1（））式即得7代入（

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???gr41s1h????12??7－Cv3)10lg(???07.8451lg7?7? 754?n???110.14510.07255)2(?⑧)2lg(

13代入数据得（8）3m10h?6.8?

MeV1.75E?次碰撞54故初能量的快中子经过近0⑨

eV评分标准：本题15分。后，才成为能量为0.025 的热中子。

1. 第一小题8分。其中①式3分，②式1分，③式评分标准：本题18分1分，④式2分，⑤式1分。7）、（8）式5）（1、（2）、（4）、（6）式各3分；（）、（

2. 第二小题7分。其中⑥式1分，⑦式各2分。1分，⑧式3 分，⑨式2分。

届预赛19第参考解答）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气1（阻力至少应与重力平衡，即2??mg?Av10①m式中为沙尘颗粒的质量，而2?rA?