浙江省重点中学2021届高三12月期末热身联考数学试题

【校级联考】浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联

考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知{}{}21,280M x x N x x x =>=--≤，则M

N =（ ）

A ．[)42,-

B ．(]1,4

C ．1,

D ．()4,+∞ 2．已知i 为虚数单位，复数12i z i -+=

，||z =（ ）

A ．1

B ．2

C

D ．5

3．已知双曲线2

221y x a

-=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是（ ）

A ．3

B

C ．2

D 4．已知,,,m n l αβαβαβ⊥??=，则“m⊥n”是“m⊥l ”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．函数2||

sin x x x y e =的大致图像是 A ．

B ．

C ．

D ．

6

．5

1???展开式中，21x 的系数是 A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 7．已知实数,x y 满足约束条件101020x y x y x y -+≥??+-≥??-≤?

，则4z x y =+的取值范围是（）

A ．[]6,4-

B ．[]2,4

C ．[)2,+∞

D ．[)4,+∞ 8．已知函数1()4sin cos 2

f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ）

A ．2π

B ．π

C ．2π

D ．4

π 9．已知方程cos (0)x

k k x =>有且仅有两个不同的实数解θ，()?θ?>，则以下有关

两根关系的结论正确的是（ ）

A ．cos sin ??θ=

B ．sin cos ??θ=-

C ．cos cos θθ?=

D ．sin sin θθ?=-

10．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿PD 、PC 翻折至A 、B 两点重合，其中P 是AB 中点，在折成的三棱锥()A B PDC -中，点Q 在平面PDC 内运动，且直线AQ 与棱AP 所成角为60，则点Q 运动的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

二、双空题 11．已知随机变量的分布列为：

若1()3

E ξ=，则x y +=__________；()D ξ=___________. 12．若23a b =＝6，则4a -＝___；11a b

+＝___ 13．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________；表面积是____________.

14．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为____；动直线l 被圆22

2240x x y ++-=截得弦长的最小值为______．

三、填空题

15．向量a ，b 满足：｜a ｜＝2，｜a +b ｜＝1，则a ·b 的最大值为__ 16．如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 ________ 种

17．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为矩形，113A AB A AD π

∠=∠=，其中，AB a =，AD b =，1AA c =，体对角线11AC

=，则c 的最大值是_____.

四、解答题

18．已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，

且满足sin cos 0a B A =，4a =.

（1）求A ∠；

（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ABC ?面积.

19．如图，等腰直角ABC ?中B 是直角，平面ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=，AF BE .

（1）求证BC BF ⊥；

（2）求直线BF 与平面CEF 所成角的正弦值.

20．已知数列｛n a ｝满足：12121222n n n n a a a a n ---++++=，*n N ∈。

（1）求12,a a 及数列｛n a ｝的通项公式；

（2）若数列｛n b ｝满足：11b =，12n n n n

b b a +-=，求数列｛n b ｝的通项公式。 21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>

，以椭圆的2个焦点与1个短轴

端点为顶点的三角形的面积为

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =

l 的方程．

22．已知0a >，()()ln 21244x

f x x ax ae =++-+． （1）当1a =时，求f （x ）的最大值．

（2）若函数f （x ）的零点个数为2个，求a 的取值范围．

参考答案

1．B

【分析】

解二次不等式得集合N ，根据集合的交集运算即可得解.

【详解】 利用一元二次不等式的解法化简集合{}

[]22802,4N x x x =--≤=-， 因为{}1M x x =>，所以M

N =(]1,4.

故选：B.

【点睛】 此题考查集合的交集运算，关键在于准确求解一元二次不等式，根据交集运算法则求解. 2．C

【分析】

根据复数模长的定义直接进行计算即可．

【详解】

12

2i z i i

-+==+，所以z == 故选C ．

【点睛】

本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础．

3．D

【解析】

【分析】

利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．

【详解】

双曲2

221y x a

-=的渐近线方程为：y ax =±，由题可知：a =2224c a b =+=，

即：2c =，所以双曲线的离心率为：

c e a ===， 故选D ．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

4．B

【解析】

【分析】

构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．

【详解】

如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线AD=直线l。

若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于l

ADD A可知，直线m垂直于平面β，所以m 若m⊥l，由平面ABCD 平面11

垂直于平面β内的任意一条直线n

∴m⊥n是m⊥l的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n?m⊥l？和m⊥l?m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．

5．A

【解析】

【分析】

通过函数的变化趋势，推出结果即可．

【详解】

当x <0，且无限趋近于0时，f （x ）<0，排除B,C ，

当x →+∞时， 222sin sin x e x x x x x >>>，且指数幂x e 变化较快，故()0f x →，

排除D 。

故选：A

【点睛】

本题考查函数的图象的判断，考查计算能力．

6．B

【解析】

【分析】

由二项式定理的通项公式列方程，求出r ，求出

21x 项的系数即可。 【详解】

由二项式定理的通项公式得

：()5151r r r r T C -+=-

，令52r x -=，解得：

1r =，所以

2

1x 的系数为：()115152180C --=- 故选：B 。

【点睛】 本题考查二项展开式中2

1x 的项的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

7．C

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

【详解】

如图，作出不等式组表示的平面区域，

由z ＝x+4y 可得：

144z y x =-+，平移直线144z y x =-+，由图像可知：当直线144z y x =-+过点B 时，直线144z y x =-+的截距最小，此时z 最小．将21,33B ?? ???

代入目标函数得：min 2144233

z x y =+=

+?=， 故选C ．

【点睛】 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

8．D

【分析】

先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值．

【详解】 由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22

f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是

4

π，故答案选D 【点睛】 本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期 9．A

【分析】 方程cos (0)x

k k x =>有且仅有两个不同的实数解，等价于()cos ,,0y x y kx k ==>的图象有且仅有两个不同的交点（原点除外），数形结合可得y kx =与cos y x =-相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果.

【详解】

方程cos (0)x

k k x =>有且仅有两个不同的实数解， 等价于()cos ,0x kx k =>有且仅有两个不同的实数解， 即()cos ,,0y x y kx k ==>，有且仅有两个不同的交点（原点除外）. 画图cos y x =，y kx =的图象.

由图可知，y kx =与cos y x =-相切时符合题意，

设()cos f x x =-， ()'sin ,f x x =

因为θ?>，所以θ为切点横坐标，且?是直线y kx =与cos y x =的交点横坐标， 因为切线过原点，所以切线斜率k cos cos sin θ?θθ?-==

=，

所以cos sin ?θ?=，故选A.

【点睛】

本题主要考查利用导数求曲线切线斜率以及直线的斜率公式的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究

角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

10．D

【分析】

建立空间坐标系，设(),,0Q x y ,求出点,A P 的坐标，由直线AQ 与棱AP 所成角为60，利用空间向量夹角余弦公式列方程，得到关于,x y 的方程，从方程的形式可判断Q 点的轨迹.

【详解】

如图，过点A 引平面PDC 的垂线,垂足为O ,

以O 为坐标原点建立空间直角坐标系,

其中y 轴与直线DC 平行,点P 在x 轴的负半轴上.

由题可知PA ⊥平面ADC ,

设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PCD P ACD V V --=,

所以21112221323h ????=?，可得h =

1,,0,02A P ???∴- ? ?

???,

设(),,0Q x y ，31,,,,0,222AQ x y AP ????∴=-=-- ? ? ? ?????

， 又直线AQ 与棱AP 所成角为60,cos60AP AQ AP AQ ?∴=

?， 整理得233,2

y x =-+

∴点Q 的轨迹为抛物线,故选D. 【点睛】

本题主要考查利用“等积变换”求点到平面的距离、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化思想以及空间想象能力，属于难题. 11．23 149

【分析】 由分布列的性质以及期望公式可得，11023113x y x y ?-?++=????++=??

解得,x y ，再利用方差计算公式

即可得结果.

【详解】 由分布列的性质以及期望公式可得，11023113x y x y ?-?++=????++=??

， 解得13x y ==，23

x y +=， ()222111111141023333339D ξ??????∴=--?+-?+-?= ? ? ??

?????， 故答案为

214,39. 【点睛】

本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

12．136

1 【分析】

利用对数知识将,a b 表示出来，再利用对数运算求解．

【详解】

由题可得：2log 6a =，3log 6b =，所以2log 644a --==2222log 62log 61

1112636

2===， 66231111log 2log 3log 6log 6

a b +=+=+=()6log 231?=．

【点睛】

本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题．

13．163

16+ 【分析】

由三视图可得该几何体是四棱锥，根据三视图中数据，求出底面积与高可得棱锥的体积，再求出四个侧面的面积，与底面积求和可得四棱锥的表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥11C AA B B -，图中直三棱柱的底面是直角边长为2 的等腰直角三角形，棱柱的高为4，四棱锥11C AA B B -的底面是矩形，面积为

4=四个侧面中，三个直角三角形面积分别为2,4,4,一个等腰三角形，面积为

62

1?=，所以该四棱锥的体积为11633?=，表面积为

244616++++=+163

，16+【点睛】 本题利用空间几何体的三视图重点考查体积、表面积以及空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

14．-1. .

【解析】

分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m 值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.

详解：由题得1, 1.1m m m

-=-∴=±-- 当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.

因为圆的方程为22

2240x x y ++-=，

所以22125x y ++=()，

所以它表示圆心为C （-1,0）半径为5的圆.

由于直线l ：mx+y-1=0过定点P(0，-1),

所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短.

且最短弦长为=

故答案为-1，.

点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到1,m =±实际上是错误的.因为12k k = 是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据12k k =求出m 的值后，要

注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去m=1.

15．2-

【分析】

设出,a a b +的坐标，从而表示出b 的坐标，然后将a b ?表示成函数关系，把问题转化成函数的最大值问题解决．

【详解】

由题可设()2sin ,2cos a θθ=，()sin ,cos a b αα+=，则

(sin 2sin ,cos 2cos )b αθαθ=--，所以

()222sin sin 4sin 2cos cos 4cos 42cos 2a b θαθθαθθα?=-+-=-+-≤- 当2k θαπ-=时，等号成立．所以a ·b 的最大值为2-.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想．

16．14

【分析】

用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数．

【详解】

由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有3620C =种涂法，满足从左

往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，

（2）第3,4,5格涂白色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法．

所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有

3641114C ---=种．

【点睛】

本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

17【解析】

【分析】

利用结论11cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠?∠，求出线面角1A AC ∠,再利用正弦定理列方程，把问题转化成三角函数最值问题来解决.

【详解】

如图，由113A AB A AD π

∠=∠=，

可知点1A 在底面的射影点在直线AC 上，

则1A AC ∠是直线1A A 与底面所成的角，

则11cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠?∠，

111cos cos cos cos 34A AC A AC sin A AC π

π

∴=∠?∠=∴∠=， 在1A AC ?中，由正弦定理可知:1

11

AC c sin A AC sin ACA =∠∠，

1c sin A CA =∠

1

c ACA ∴=∠≤当1

2ACA π∠=时，c

,

.

【点睛】

本题考查了线面角的结论：当11A AB A AD ∠=∠时，（点1A 在平面ABD 外 ) , cos cos cos θα?=? (其中α为直线1AA 与平面ABD 所成的角,θ为直线1AA 与直线AB 的夹角，?为直线AB 与直线1AA 在平面ABD 的射影的夹角),还考查了正弦定理及转化思想,属于难题.

18．（1）3A π=

；（2

. 【分析】

（1）

由正弦定理化简sin cos 0a B A =即可求得tan A ，从而可求A 的值． （2）在ABC 中由余弦定理列方程，在ABD 中利用余弦定理列方程，在ACD 中利用余弦定理列方程，联立可得10bc =的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

【详解】

： （1

）sin cos 0a B A = ，

2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =

则sin 0A A =

，tan A =3A π

∴=

（2）方法一：在ABC 中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+-

即2216b c bc +=+ .

在ABD 中22222

9413cos 223212

AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===???， 同理ACD 中22222

9413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===

???，

而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=， 即22

2213130261212b c b c --+=?+=.

联立得162610bc bc +=?=，

11=sin 102222ABC S bc BAC ∠=??=. 方法二：又222

221

cos 1622b c a A b c bc bc +-==?+-=① 2AB AC

AD +=

2

22294AB AC AB AC

AD ++?==

22222cos 9364c b bc A

b c bc ++=?++=②

②-①得10bc =

1

1=sin 102222ABC S bc A =??=

方法三：（极化式）

()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ?==+?-=-= 5

10cos AB AC A ∴==

15

3

=sin 22ABC S AB AC A ∴=

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19．（1）详见解析；（2）

5

. 【分析】

（1）由ABC ABEF ⊥平面平面及B 为直角可得到BC ABEF ⊥平面，结合已知条件命题得证．

（2）作BG EF ⊥，连结CG .由（1）得： BC ABEF ⊥平面，作BH CG ⊥，再证得：BH ⊥平面CEF ，则BFH ∠即为所求线面角. 解三角形BFH 即可．

【详解】

解：（1）证明：直角ABC 中∠B 是直角，即BC AB ⊥， ABC ABEF ⊥平面平面， ABC ABEF AB ?=平面平面，

BC ABC ?平面，BC ABEF ∴⊥平面，

又BF ABEF ?平面，BC BF ∴⊥.

（2）方法一：作BG EF ⊥，连结CG .

由（1）知BC ⊥平面ABEF ，

得到BC EF ⊥，又BG EF ⊥，所以EF ⊥平面BCG .

又因为EF ?平面CEF ，所以平面BCG ⊥平面CEF .

作BH CG ⊥于点H ，易得BH ⊥平面CEF ，

则BFH ∠即为所求线面角.

设1AF =，由已知得2AB BE ==，BF =

BG =，BH =

sin

BH BFH BF ∠===

则直线BF 与平面CEF .

方法二：建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，

因为1AF =.

由已知()0,0,0B ，()0,2,0C ，3,0,22F ?? ? ???，(E -，

3,0,22BF ?= ??

，

(

1,2,EC =，5,0,2EF ?= ??， 设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =，则有