指数函数经典例题(答案)
指数函数
1．指数函数的定义：
函数y a x（a 0且a 1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：
xx 在同一坐标系中分别作出函数y=2x，y= 1，y=10 x，y= 1的图象.
我们观察y=2x，y= 1，y=10x，y= 1图象特征，就可以得到 2 10
y a x（a 0且a 1）的图象和性质。
2 10
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
1．比较大小
例 1 已知函数f（x） x2 bx c满足f（1 x） f （1 x），且f（0） 3，则f（b x）与
f ( c ) 的大小关系是___ ．
分析：先求b，c的值再比较大小，要注意b x，c x的取值是否在同一单调区间内．
解：∵ f (1 x) f (1 x) ，
∴函数 f (x) 的对称轴是x 1．
故b 2，又f(0) 3，∴ c 3．
∴函数f(x)在∞，1 上递减，在1，∞ 上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，∴ f(3x)≥f(2x)；
若x 0，则3x 2x 1，∴ f(3x) f(2x)．
综上可得f(3x)≥f(2x)，即f(c x)≥f(b x)．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式
例 2 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则x 的取值范围是_________________ ．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
解：∵ a2 2a 5 (a 1)2 4≥ 4 1 ，
∴函数y (a2 2a 5)x在( ∞，∞) 上是增函数，
∴3x 1 x，解得x 1．∴x的取值范围是1，∞ ．
44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题
例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域．
解：由题意可得 1 6x 2≥0，即6x 2≤1，
∴x 2≤0，故x≤2．∴函数 f (x)的定义域是∞，2 ．
令t 6x 2，则y 1 t ，
又∵x≤2，∴x 2≤0．∴0 6x 2≤1，即0 t≤1．
∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即0 ≤y 1 ．
∴函数的值域是0，1 ．
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题
例 4 函数y a2x 2a x 1（a 0且a 1）在区间[ 1，1] 上有最大值14，则a 的值是．分析：令t a x可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．
解：令t a x，则t 0 ，函数y a2x 2a x 1可化为y （t 1）2 2 ，其对称轴为
t 1 ．
∴当 a 1 时，∵ x 1，1 ，
∴ 1≤a x≤a，即1≤t≤a．
aa
∴当t a 时，y max （a 1）2 2 14．
解得 a 3 或 a 5 （舍去）；
当0 a 1时，∵ x 1，1 ，
∴ a≤a x≤1，即a≤t≤1，
aa
2
11
∴ t 时，y max 1 2 14 ，
aa
解得a 1或a 1（舍去），∴ a 的值是3或1．
3 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，
整体代入等．5．解指数方程
例 5 解方程3x 2 32 x 80 ．
解：原方程可化为9 （3x）2 80 3x 9 0，令t 3x（t 0），上述方程可化为
9t2 80t 9 0，解得t 9或t 1（舍去），∴ 3x 9，∴ x 2 ，经检验原方程的9
解是x 2 ．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题
例 6 为了得到函数y 9 3x 5 的图象，可以把函数y 3x的图象（）．A．向左平移9 个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移 5 个单位长度
行判断．
5 的图象，故选（ C ）． 评注：
用函数图象解决问题是中学数学的重
要方法， 利用其直观性实现数形 结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、 伸缩、对称等． 习题
1、比较下列各组数的大小：
1） 若， 比较 与； 2） 若 ，比较 与； 3） 若 ，比较 与； 4） 若
，
且 ，比较 a 与 b ； 5）
若
，且 ，比较 a 与 b ．
D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平
移 分析：注意先将函数 y 9 3x 5转化为 t
5 个单位长度
x2
5 ，再利用图象的平移规律进
解：∵ y 9 3x 5 3x 2 5 ，∴把函数 y
3x
的图象向左平移 2 个单位长度，
3x
再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9
解：（1）由 ，故
，此时函数 为减函数． 由 ，
2）由 ，故
．又 ，故
（3） 而
，因 ，故
．又
．从
而
，故
．从
（4）
应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 ，这样 矛盾． （5）应有
．因若 ，则 ．又因
，且
，故
矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． ．又 ，故
．从而 ，这与已知
，这样有
2，曲线分别是指数函数, 和的图象,则与1 的大小关系是( ).
(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定
,在轴右侧令,对应的函数值由
小到大依次为,故应选.
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
求最值
3，求下列函数的定义域与值域
1
(1)y＝2 x 3; (2)y＝4x+2x+1+1.
1
解：(1)∵x-3≠ 0，∴ y＝2 x 3的定义域为{ x｜x∈R且x≠3}.又∵ 1≠0，x3
1
∴2x 3≠1，
1
∴y＝2 x 3的值域为{ y｜y>0 且y≠1} .
(2)y＝4x+2x+1+1 的定义域为R.∵ 2x>0,∴ y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝
(2x+1)2>1.
∴y＝4x+2x+1+1 的值域为{ y｜y>1}. 4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2 3x·+1-9x 的最大值和最小值
1
解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以t 9 ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，
3
f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设 ，求函数 的最大值和最小值．
分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最
值． 解：设 ，由 知，
轴 远，故函数的最大值为 ．
的值.
1|的图象，并利用图象回答： k 为何值时， 方程|3
Ｘ
，故函数最小值为
，函数成为 ，
，因端点 较 距对称
，对称轴
6．（9 分）已知函数 y a
2x
2a x
1（a 1）在区间 ［－1,1］上的最大值是 14，求 a
．解： y 2x
a
2a
x
1(a 当a 解得 a ， 1，t a=3 (a= －5舍
去 )
1） ， 换元为 y t 2
2t 即 x=1 时取最大值，略 7．已知函数 （ 且
（1）求 的最小值； （2）若 求 的取值范围． ．解：（ 1） 时， 有最小值为
（2） 当 时， ； 当 时， ．
8（10分）（1）已知 f （x ） ，解得
2
3x
1
m 是奇函数，求常数 m 的值；
2）画出函数 y |3x
k
无
解有一解有两解
）
1
1( t a) ，对称轴为 t 1. a
当即