学而思初一数学寒假班第2讲.二元一次方程组的特殊解法.教师版
方程7级
二元一次方程的实际应用
方程6级 方程组巅峰突破含参方程组 方程5级
二元一次方程组的特殊解法
五百只鸭子
漫画释义
满分晋级阶梯
2
二元一次方程组的
特殊解法
题型切片（两个） 对应题目
题型目标
方程组的基本解法
例1；例2；例3；例4； 解复杂、特殊的方程组 例5；例6；例7；例8；
考点一:知道代入、加减消元法的意义
1、解方程组：4316x y x y -=????????+=?????
①
②．
【解析】①+②得，420x =，解得5x =，
把5x =代入①得，54y -=，解得1y =， 故此方程组的解为：5
1x y =??=?
．
考点二:选择适当方法解方程组
2、已知24
328a b a b +=??+=?
，则a b +等于（ ）
A 、3
B 、8
3
C 、2
D 、1
考点剖析
知识互联网
题型切片
【解析】24328a b a b +=??+=?
①
②∵①＋②得：4412a b +=，∴3a b +=故选A
【点评】本题考察了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目
比较典型，是一道比较好的题目.
【例1】二元一次方程及二元一次方程的解概念
【例2】基本的代入、加减消元法解二元一次方程组 【例3】解复杂的二元一次方程组
【例4】含有字母系数的二元一次方程组，先理解题意再进行计算 【例5】叠加叠减法 【例6】换元法 【例7】倒数法
【例8】探索方程组中未知数满足的关系式.
定 义
示例剖析
二元一次方程定义：通过化简后，只有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，系数都不是0的整式方程.
23x y =，5x y +=，
1a b -=，35
m n
=；
二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
1
4x y =??=?
是方程5x y +=的一个解； 二元一次方程组定义：一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组．
4
1x y x y +=??
-=?
二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．
31x y =??=?是二元一次方程组4
1
x y x y +=??-=?的解.
基本方法：
⑴ 代入消元法：把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数x （或y ）
编写思路
模块一 方程组的基本解法
知识导航
表示另一个未知数y （或x ）的代数式，然后把它代入另一个方程中，消去未知数y （或x ），得到关于x （或y ）的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一次方程组的解．我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法．
⑵ 加减消元法：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，可以把方程的两边分别相加（当某个未知数的系数互为相反数时）或相减（当某个未知数的系数相等时）来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．像上面这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
易错点：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组只有唯一一组解或无数组解.
【例1】 ⑴ 已知关于x 、y 的方程()12m
m x y ++=是二元一次方程，则m =______.
⑵ 当m =_____时，方程220x my +=是关于x 的一元一次方程. ⑶ 写出方程342x y -=的三组解.
【解析】 ⑴1；⑵ 0；⑶ 2610
147，，x x x y y y ===??????===???
等.
【例2】 解方程组 ⑴21
27y x x y =-??+=-?
（北京五中期中）
⑵233511x y x y +=??-=?
【解析】 ⑴ 1
3x y =-??=-?
；⑵21x y =??=-?
【例3】 ⑴ 解方程组12
123
213
2x y y x -+?-=????+=??
⑵ 若关于x ，y 的方程组18mx ny nx my -=??+=?的解是2
1x y =??=?，则m n -为 ．
【解析】 ⑴ 3
2x y =??=-?
；⑵ 1.
夯实基础
能力提升
【例4】 ⑴ m 为何值时，方程组522312x y m
x y m -=??+=-?
的解x y 、互为相反数？
⑵ 已知方程组2420x my x y +=??-=?有解1x n
y n =??=+?
，求m n 、的值.
【解析】 ⑴ 9m =；
⑵ 将1
x n y n =??=+?代入20x y -=中，即2(1)0n n -+=，解得2n =-，
故有21x y =-??=-?
，代入24x my +=中，即44m --=，解得8m =-.
定 义
示例剖析
当二元一次方程组比较复杂时，应先化简，利用去分母、去括号、合并同类项等将其变为简单的二元一次方程组后再选择合适的消元法求解.
方程组()110.514
2335x y x y +?
--=???++?=??
化简得25
531x y x y +=??-=-?
易错点：含绝对值的方程组要分类讨论.
【例5】 解方程组：⑴ 199519975989
199719955987x y x y +=??+=?
⑵ 361463102463361102x y x y +=-??+=?
⑶ 201020092008200820072006
x y x y -=??-=?
（北京四中期中）
【解析】 ⑴ 12x y =??=?
；⑵ 11x y =??=-?；⑶ 1
2x y =-??=-?.
【点评】 本题尽管可以用常规方法求解，但未知数的系数较大，无论是代入法还是加减法，运算量都
很大.选择方法时要根据方程的特点，具体问题具体分析.仔细观察本题系数的特殊规律，大胆地将两个方程分别相加、相减形成新的方程组，进而求得方程组的解.
【例6】 运用适当的方法解下列方程组
夯实基础
知识导航
模块二 解复杂、特殊的方程组
⑴
()()
()()
4513
453
x y x y
x y x y
?++-=
?
?
+--=
??
（北京十一学校期中）
⑵解关于x、y的二元一次方程组
32
232
32
232
x a y b a
x a y b a
+-
?
+=
??
?
+-
?-=
??
（北京十二中期中）
【解析】⑴
3
2
1
2
x
y
?
=
??
?
?=
??
；提示：令x y u x y v
+=-=
，
⑵
2
2
x a
y b
=-
?
?
=
?
；提示：令32
23
x a y b
u v
+-
==
，
【点评】此题为整体换元法求解. 【例7】解下列方程组
⑴
1
2
1
5
b a
ab
b a
ab
+
?
=
??
?
-
?=
??
⑵
1
328
1
237
xy
x y
xy
x y
?
=
?+
?
?
?=
?+
?
【解析】⑴原式可化简为
111
2
111
5
a b
a b
?
+=
??
?
?-=
??
，所以
20
7
20
3
a
b
?
=
??
?
?=
??
⑵取倒数得
32
8
23
7
x y
xy
x y
xy
+
?
=
??
?
+
?=
??
，化简得
23
8
32
7
x y
x y
?
+=
??
?
?+=
??
得
1
1
1
2
x
y
?
=
??
?
?=
??
解得
1
1
2
x
y
=
?
?
?
=
??
.
【点评】此题为倒数法求解.
【例8】 1.（2011年人大附中期中）
已知x、y满足方程组
25
24
x y
x y
+=
?
?
+=
?
，则x y
-的值为 .
能力提升真题赏析
2.（2013年一六一中学期中）
由方程组21
3x m y m
+=??-=?可得出x 与y 的关系是 .
3.（2013年首师大附中期中）
已知关于x 、y 的方程组343x y a
x y a +=-??-=?，给出下列结论：
①5
1x y =??=-?
是方程组的解；
②当2a =-时，x ，y 的值互为相反数；
③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解； ④,x y 满足的关系式是23x y +=
其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③④
D ．②③④
【解析】
1. 1x y -=
2. 24x y +=
3. D.
训练1. 如果2223n m n x y ---=是关于x y 、的二元一次方程，那么m = ，n = ． 【解析】 根据定义得2121n m n -=??-=?，解得73m n =??=?
.
训练2. 解方程组233119,253323.x y x y -=??-=?
①
②
【解析】 ②-①，得224x y -=，即2x y =+。③ 把③代入①，得23(2)3119y y +-= 解得338y =，把338y =代入③，得3
58
x =
∴原方程的解为358
338x y ?=????=??
训练3. 解方程组：()()623452x y x y x y x y +-?+=?
??+--=?
思 维 拓 展 训 练（选讲题）
【解析】 71x y =??=?
.运用整体法考虑.令x y u
x y v +=??
-=?
训练4. 解方程组：
1328
1237xy
x y xy x y ?=?+?
??=?+?
【解析】 112x y =??
?=??（提示：∵328
237y x y x
?+=???
?+=??）
知识模块一 方程组的基本解法 课后演练
【演练1】 若311
13
n mx y x ++=-是二元一次方程，则m ≠ ，n = .
【解析】 1,0m n ≠=
【演练2】 ⑴ 当k = 时，方程组()431
13x y kx k y +=???+-=??
的解中x 与y 的值相等．
⑵ 关于x y 、的方程组6293x y x y a =-??-=-?
的解中x 与y 的值互为相反数，求a 的值.
⑶ 已知x y 、满足方程组35
31x y x y +=??+=-?
，求代数式x y -的值.
【解析】 ⑴ 11k =．
⑵ 7a =. 解方程组得821x a
y a =-??=-?
，由82170x y a a a +=-+-=-=，得7a =.
⑶ 两式相减得226x y -=-，所以3x y -=-.
【演练3】 解方程组：361463102
463361102x y x y +=??+=-?
【解析】 1
1x y =-??=?
知识模块二 解复杂、特殊的方程组 课后演练
【演练4】 解方程组：
实战演练
⑴ 23()34()3153x y x y x y x y +-=??++=+?
（）- ① ②
⑵ 2323743
232383
2x y x y
x y x y +-?+=???+-?+=??
（北京师大附中期中）
【解析】 ⑴ 观察方程组，发现它的特点是可以把x y +和x y -整体看作两个未知数来解，这样运算会
简便一些.
由②得4()3()15x y x y ++-= ③
设x y u x y v +=-=，，则2334315u v u v =??
+=?-，，解得31u v =??=?
. 也就是31x y x y +=??-=?，所以方程组的解是2
1x y =??=?
.
⑵ 9
14x y =??=?
；令2323x y u x y v +=-=，
【演练5】 解方程组694xy
x y xy x y ??+?
???+?＝＝１
【解析】 取倒数得1116491x y x y
?+=????+=??，解得1110
1115x y ?=????=
??，故方程组的解是1015x y =??=?.
第十四种品格：信念
凡事竭尽全力
在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒．有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事．
那年冬天，猎人带着猎狗去打猎．猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍．可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了．猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边．猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不到！”
猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！”再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？”兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！”
泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会．
《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度．尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了．
几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵．泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子．泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？”这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力.” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板．他就是比尔·盖茨．
泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能．正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8%左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12%左右．一个人如果开发了50%的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言．这就是说，我们还有