中考数学二轮复习数学二次根式的专项培优练习题(及答案

一、选择题

1．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >

B ．3x ≥

C ．3x ≤

D ．x 是非负数

2．下列计算正确的是（ ） A ．42=±

B ．

()

2

33-=- C ．()

2

5

5-= D ．()

2

33

-=-

3．下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．12

B ．

23

C ．18

D ．

29

4．下列各式计算正确的是（ ）

A ．6

23

212

6()b a b a b a

---?=

B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy

C ．23a a a +=

D ．2x ?3x 5=6x 6

5．下列各式是二次根式的是（ ） A ．3

B ．1-

C ．35

D ．4π-

6．设a 为3535+--的小数部分，b 为633633+--的小数部分，则

21

b a

-的值为（ ） A ．621+- B ．621-+

C ．621--

D ．621++

7．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8．若化简2816x x -+的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数

B ．1≤x ≤4

C ．x ≥1

D ． x ≤4

9．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A 23a B 13

C 2.5

D 22a b -

10．23a -2a a 的值是（ ） A ．2

B ．-1

C ．3

D ．-1或3

二、填空题

11．已知a ，b 是正整数，且满足15152()a b

是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．

12．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ，

即：当n 为非负整数时，如果11

22

n x n -<+≤，则()f x n =z ．

如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，

试解决下列问题：

①f =z __________；

②f =z __________；

+

=__________．

13．设a ﹣b=2

b ﹣c=2

a 2+

b 2+

c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 14．当x

x 2﹣4x +2017=________．

15．

+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.

16．

10=，则22

2516

x y +=______.

17．

÷

=________________ .

18．

，则x+y=_______．

19．若a 、b

为实数，且b

＝

7

a ++4，则a+

b ＝_____

． 20

_____．

三、解答题

21．计算及解方程组：

（1

-1-）

（2

)

2

+

（3）解方程组：25103

2x y x y x y -=??

+-?=??

【答案】（1）

2）7；（3）102x y =??=?

．

【分析】

（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】

（1

1-

1+（

1

1

=1

（2

2

+）

=34-

=7-

=7-

（3）2510

32x y x y x y

-=??

?+-=??

①②

由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2

∴原方程组的解是：10

2x y =??=?

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．

22．计算：

（1

（2

）

)(

(

2

22+-+． 【答案】

(1) 【分析】

（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】

（1

=

=

（2

）

)(

(

2

22+-+

=2

2

23--+ =5-4-3+2 =0

23．阅读材料，回答问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式

a =

，

)

1

11=

1

1互为有理化因式．

（1

）1的有理化因式是 ；

（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

==

2

4

==

==

进行分母有理化． （3）利用所需知识判断：若a =

，2b =a

b ，的关系是 ． （4

）直接写结果：)

1

=

．

【答案】（1）1；（2

）7-；（3）互为相反数；（4）2019 【分析】

（1

）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出； （2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可； （3

）将a =

（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】

解：（1）∵()()

1111=，

∴1

的有理化因式是1；

（2

2

243

7

43

--

==-

-

（3

）∵2

a===，2

b=

-，

∴a和b互为相反数；

（4

）)1 ++

?

=)

1

1

?

=)

11

=20201

-

=2019，

故原式的值为

2019.

【点睛】

本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．

24．像

2)＝1

＝a

(a≥0)、

﹣1)＝b﹣1(

b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因

+1

﹣1，

﹣

因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)

；

(2)

+；

(3)

的大小，并说明理由．

【答案】（1

（2）

（3）＜

【解析】

分析：（1

=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；

（2）确定分母的有理化因式为2

与2+

然后分母有理化后计算即可；

（3

与

20172016+，得到

20182017+与

20172016

+，然后比较即可. 详解：(1) 原式=

23333

?=23； （2）原式=2332+++=2223++； （3）根据题意，

2018201720182017-=

+，2017201620172016-=+，

∵2018201720172016+>

+，

∴2018201720172016

<++，

即2018201720172016->

-.

点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.

25．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．

（1） 的解法是错误的；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】

试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；

（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()

2

3a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.

26．1

524-45-65

【分析】

先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【详解】

．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．

27．计算

（1+（2+-

（3÷（4）(

【答案】（1）234）7．

【分析】

（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（3）根据二次根式的乘除法则运算；

（4）利用平方差公式计算；

【详解】

（1+

=+

22

=；

（2

=

=；

（3÷

=

=；

（4）(

(22

=-

=7

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．

28．计算：（1）-

（2）

【答案】（1）21

【分析】

（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可．

【详解】

解：（1）原式==

（2）原式3+21

==．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．

【详解】

有意义的x的取值范围是：x≥3．

故选：B．

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．2．C

解析：C

【分析】

直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．

【详解】

解：A，故A选项错误；

B，故B选项错误；

C选项：2=5，故C选项正确；

D选项：2=3，故D选项错误，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．

3．A

解析：A

【分析】

根据二次根式的性质把每一项都化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．

【详解】

解：A＝

B

C不是同类二次根式，不合题意；

D

3

故选：A．

【点睛】

本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．

4．D

【分析】

依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果． 【详解】

A. 23

215

2

6()b a b a b a

---?=，故选项A 错误；

B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；

C 错误； D. 2x ?3x 5=6x 6，正确． 故选：

D ． 【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．A

解析：A 【分析】

根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断． 【详解】

解：A 、符合二次根式有意义条件，符合题意；

B 、-1＜0B 选项不符合题意；

C 、是三次根式，所以C 选项不符合题意；

D 、π-4＜0D 选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】

a ≥0．

6．B

解析：B 【分析】

首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a 、b 对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】

∴a 的小数部分为2-1，

633633+--

12631263=

22

+--

3+33-3

=

-22

=6

∴b 的小数部分为6-2， ∴

21=-=6+2-2-1=6-2+1b 6-22-1

a -， 故选：B ． 【点睛】

该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用分母有理化进行计算即可. 【详解】 由原式得：

所以，因为

，

,

所以.

故选：C 【点睛】

此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.

8．B

解析：B 【分析】

根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可． 【详解】

原式可化简为|1-x|-|x-4|，

当1-x ≥0，x-4≥0时，可得x 无解，不符合题意； 当1-x ≥0，x-4≤0时，可得x ≤1时，原式=1-x-4+x=-3； 当1-x ≤0，x-4≥0时，可得x ≥4时，原式=x-1-x+4=3；

当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，

据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，

故选B．

【点睛】

本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．

9．A

解析：A

【解析】

试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.

考点：最简二次根式

10．C

解析：C

【分析】

根据同类二次根式的性质即可求出答案．

【详解】

由题意可知：a2-3=2a

∴解得：a=3或a=-1

当a=-1时，该二次根式无意义，

故a=3

故选C．

【点睛】

本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.

二、填空题

11．7

【解析】

解：∵=+，∴a、b的值为15，60，135，240，540．

①当a=15，b=15时，即=4；

②当a=60，b=60时，即=2；

③当a=15，b=60时，即=3；

④当a=60

解析：7

【解析】

解：∵

1515

2

a b

（）

60

a

60

b

，∴a、b的值为15，60，135，240，540．

①当a =15，b =15时，即2

=4；

②当a =60，b =60时，即2

=2；

③当a =15，b =60时，即2=3；

④当a =60，b =15时，即2

=3；

⑤当a =240，b =240时，即2

=1；

⑥当a =135，b =540时，即2

=1；

⑦当a =540，b =135时，即2

=1； 故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．

所有满足条件的有序数对（a ，b ）共有 7对．故答案为：7．

点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a 、b 可能的取值．

12．3 【解析】 1、；

2、根据题意，先推导出等于什么， （1）∵， ∴，

（2）再比较与的大小关系， ①当n=0时，； ②当为正整数时，∵， ∴， ∴，

综合（1）、（2）可得：，

解析：3 2017

2018

【解析】

1、(1.732)2z z f f ==；

2、根据题意，先推导出f等于什么，

（1）∵

2

22

11

42

n n n n n

??

+<++=+

?

??

，

1

2

n

<+，

（2）

1

2

n-的大小关系，

①当n=0

1

2

n

>-；

②当n为正整数时，∵

2

2

1

2

n n n

??

+--

?

??

1

20

4

n

=->，

∴

2

2

1

2

n n n

??

+>-

?

??

，

1

2

n

>-，

综合（1）、（2）可得：

11

22

n n

-<+，

∴f n

=

z

，

∴3

f=

z

．

3、∵f n

=

z

，

∴

(

2017

z

f

+

1111

12233420172018

=++++

??-?

1111111

1

2233420172018

=-+-+-++-

1

1

2018

=-

2017

2018

=．

故答案为（1）2；（2）3；（3）

2017

2018

.

点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当

n为非负整数时，

11

22

n n

-<+，从而得到f n

=

z

；（2）解题③的要点是：当n为正整数时，

111

(1)1

n n n n

=-

++

.

13．15 【解析】

根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15. 故答案为：15.

解析：15 【解析】

根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2

+b 2

+c 2

﹣ab ﹣bc ﹣

ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=

222

()()()2a b b c a c -+-+-=222

(2(242

++=15.

故答案为：15.

14．2016 【解析】

把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016． 故答案是：2016．

解析：2016 【解析】

把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：

x 2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016． 故答案是：2016．

点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因.

15．【解析】 【分析】

根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可. 【详解】 ∵= ∴， 即． 解得

． 【点睛】 本题考查了

解析：【解析】 【分析】

a ，

b ，

c 的三元方程组，解方程组即可. 【详解】

∴(2

2118=，

即2222118235a b c =+++++．

2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ?++=?

=?∴?=??=? 解得15,4,18.a b c =??

=??=?

154181080abc ∴=??=． 【点睛】

本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左

、

.

16．【解析】 【分析】

把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解. 【详解】 移项得， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 所以，

两边除以400得，1. 故答案为1.

【点睛】

解析：【解析】 【分析】

把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解. 【详解】

10=-

两边平方得，(

)()2

2

223=1003x y x y ++--+

整理得，253x =-

两边平方得，222

25150225256251509x x y x x -++=-+

所以，2

2

1625400x y +=

两边除以400得，22

2516

x y +=1.

故答案为1. 【点睛】

本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.

17．【解析】 =，

故答案为.

解析：

【解析】

÷

=

=

=

=-，

故答案为

18．8+2 【解析】

根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（

+）2-2（-

）=5+3+2-2+2=8+2. 故答案为：8+2.

解析：

【解析】

根据配方法，由完全平方公式可知

x+y=2222

+=

+-）2

整体代入可得原式=2-2

）

故答案为：

19．5或3 【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】

由被开方数是非负数，得 ，

解得a ＝1，或a ＝﹣

解析：5或3 【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】

由被开方数是非负数，得

22

10

10

a a ?-≥?-≥?， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，

b ＝4， 当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5， 当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3， 故答案为5或3． 【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

20．6 【分析】

利用二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】 ＝ ＝ ＝6，

故答案为6．

【点睛】

本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．

解析：6

【分析】

==进行计算即可．

【详解】

＝6，

故答案为6．

【点睛】

本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．

三、解答题

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无