【数学】安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试(文)

安徽省六安市舒城中学2019-2020学年

高二上学期期末考试（文）

（总分：150分 时间：120分钟）

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)

1．命题“x R ?∈，210x ” 的否定是

（ ）

A ．0x R ?∈，2

010x +<

B ．0x R ?∈，2

010x +≤

C ．x R ?∈，210x +<

D ．x R ?∈，210x +≤

2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

（ ） A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

3．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其

是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），

得到回归直线?13.7433095.7y x =+，给出下列结论，其中正确的个数是（ ）

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）

A ．642+

B ．842+ B ．

C ．643+

D ．843+

5.已知双曲线2

2

21y x b

-=的一个焦点到它的一条渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率

为

（ ） A ．3

B ．2

C ．3

D ．4

6．直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为23，则直线l 的斜率为

（ ） A ．3

B ．3-

C ．

3 D ．3±

7．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算

某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 （ ） A ．2

B ．3

C ．10

D ．15

8．若,x y 满足约束条件0

3020x x y x y ≥??

+-≥??-≤?

，则2z x y =+的取值范围是 （ ）

A ．[0,6]

B ．[0, 4]

C ．[6, +∞）

D ．[4, +∞）

9．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是

一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6102,2016a b ==时，输出的a = （ ） A ．54

B ．9

C ．12

D ．18

10．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，

3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）

A ．

34

B ．1

C ．

54

D ．

74

11．已知A ，B 分别是椭圆22

22:1y x C a b

+=（0a b >>）的左顶点和上顶点，线段AB 的

垂直平分线过右顶点.若椭圆C 的焦距为2，则椭圆C 的长轴长为

（ ） A

B

．

2

C

D

12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是

（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)

(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13．某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．

14．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为__________．

15．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为__________．

16．已知函数ln(1),0

()11,02

x x f x x x +>??

=?+≤??，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围

为__________．

三．解答题(本大题共6小题,共70分)

17．（本题满分12分）已知函数2

ln )(x x x f +=.

（1）求函数x x f x g 3)()(-=的极值；

（2）若函数ax x f x h -=)()(在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围.

18．（本题满分12分）2019年8月8日是我国第十一个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。

（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；

（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人 中至少有1人年龄不低于60岁的概率；

19．（本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，

4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求 点C 到平面POM 的距离．

20．（本题满分12分）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

倍，

且经过点

)

.

（1）求C 的标准方程；

（2）C 的右顶点为A ，过C 右焦点的直线l 与C 交于不同的两点M ，N ，求AMN ?面积的最大值.

21．（本题满分12分）已知函数()ln f x x =，()1g x x =-． （1）求函数()y f x =图像在1x =处的切线方程；

（2）若不等式()()f x ag x ≤对于任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本题满分10分）[选修4?4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy

中，已知直线12:(3x t l t y ?

=-??

?

?=+??

为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin()3

π

ρθ=+

.

（1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点M 的直角坐标为(0,3)，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值.

23．（本题满分10分）[选修4?5：不等式选讲] 已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；

（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且

14

m a b

+=，求a b +的最小值．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．

13.47； 14. 43 ； 15. 3 ； 16. [)2,2ln 23-

三．解答题(本大题共6小题,共70分)

17. 答案：（1）2)1()(-==g x g 极小值，2ln 4

5

)21

()(--==g x g 极大值（2）22≤a 18. 【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) 93()155

P A ==; 【解析】（1）平均数

()150.15250.2350.3450.15550.165750.0537x =?+?+?+?+?++?=．

前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x ， 则（x －30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x ＝35，即中位数为35．

（2）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，年龄在[60，70）的有2人，设为x ，y ．

则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，x ），（a ，y ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，d ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：

（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率()93

155

P A =

=．

19. 【答案】（1）详见解析（2）

5

．

【解析】（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =

连结OB ．因为AB =BC =2

AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC

=2．

由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．

（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥ CH ，所以CH ⊥平面POM ．

故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC =

12AC =2，CM =23BC =423

，∠ACB =45°． 所以OM 25

CH =sin OC MC ACB OM ??∠45

所以点C 到平面POM 45

20. 【答案】（1）22

142

x y +=；

（2）22- 【解析】（1）解：由题意222,

21

1,a b a b ?=?

?+=??解得2a =，2b = 所以椭圆的标准方程为22

142

x y +=．

（2）点(2,0)A ，右焦点)

2,0F

，由题意知直线l 的斜率不为0，

故设l 的方程为2x my =+()11,M x y ，()22,N x y ，

联立方程得22

1422x y x my ?+=???=?

，，消去x ，整理得22(2)2220m y my ++-=，

∴2

16(1)0m ?=+>，122

222

m

y y m +=-

+，12222y y m =-+， ()

()()

21212122222

2

22

22)224281m m y y y y y y m m m ??∴--=+ ? ?+=+=++?+?16（ 212212

m y y m +∴-=

+

(12122AMN

S y y ?∴=??-

(

22=-

(

()122221

=-，

当且仅当0m =

时等号成立，此时l ：x = 所以AMN 面积的最大值为2- 21. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

．

【解析】 (1)∵()1

'f x x

=

，∴()'11f =. 又由()10f =，得所求切线l ：()()()1'11y f f x -=-， 即所求切线为1y x =-.

（2）()1,+x ?∈∞，()0f x >，()0g x > （i ）当1a ≥时，()()()f x g x ag x ≤≤； （ii ）当0a ≤时，()0f x >，()0g x <；

（iii ）当01a <<时，设()()()()ln 1e x f x ag x x a x =-=--，()1

'e x a x

=-， 令()'0e x =，得下表：

∴()()max 110e x e e a ??

=>= ???

，即不满足等式. 综上，1a ≥.

22. 【答案】(1) 2220x y y +--= (2)3

【解析】（1）把4sin 3πρθ?

?

=+

??

?

，展开得2sin ρθθ=+， 两边同乘ρ

得22sin cos ρρθθ=+①． 将ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y 代入①，

即得曲线C

的直角坐标方程为2220x y y +--=②．

（2

）将123x t y ?=-??

??=+??

代入②式，得230t ++=，

点M 的直角坐标为（0，3）．

设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=-

t 1.t 2=3∴t 1＜0， t 2＜0 则由参数t

的几何意义即得12MA MB t t +=+= 23. 【答案】（Ⅰ）[]

1,1-； （Ⅱ）

9

2

. 【解析】（Ⅰ） ()2121121x x f x x x x -≤-??

=-<≤??>?

，，

， ∴ 122x x ≤-??

-≤? 或 11

22x -<≤??≤? 或 1

22

x x >??

≤? ∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.

（Ⅱ）

()()11112x x x x -++≥--+=,∴ 2m =,又

14

2a b

+=,0,0a b >>, ∴

1212a b +=,∴ ()12525

922222

2a b a b a b a b b a ??+=++=++≥+=

???, 当且仅当1422a b b a ?+=???=?

即323a b ?

=

???=?时取等号,所以()min 92a b +=.