第九章综合测试卷

第九章综合测试卷

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

1．如果A C<0且B C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过() A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【解析】D2＋E2－4F＝(4m)2＋(－2)2－4(－m)＞0，

垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()

A．抛物线B．椭圆

C．双曲线的一支D．直线

【答案】A

【解析】

由垂直平分线性质知|PM |＝|PB |，又|PB |为P 到直线x ＝－1的距离．

∴由抛物线定义知，

点P 的轨迹为以M 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线． 4．已知两条不重合的直线ax ＋y －b ＝0与x ＋ay ＋1＝0平行，那么( )

A ．a ＝1

B ．a ＝－1

C ．a ＝±1

D ．a ＝1，b ≠－1或a ＝－1，b ≠1 【答案】D

【解析】A ＝0时，不符合条件．又ax ＋y －b ＝0，得y ＝－ax ＋b ， x ＋ay ＋1＝0，得y ＝－1a x －1a . ∵平行，∴?????

－a ＝－1a ，

b ≠－1

a ，

???

?

a ＝1，

b ≠－1，

或?????

a ＝－1，

b ≠1.

5．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的

距离等于焦距的1

4，则该双曲线的渐近线方程是( )

A ．x ±2y ＝0

B ．2x ±y ＝0

C ．x ±3y ＝0 D.3x ±y ＝0

7．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系是()

A．相交B．相离C．相切D．不确定

则这辆卡车的平顶车棚棚顶距地面高度不得超过()

A．3.6米B．3.5米C．2.0米D．1.4米

【答案】B

【解析】建立如图的直角坐标系则半圆方程x2＋y2＝3.62 (y≥0)．

设卡车刚好通过时与圆交A、B两点，则A(0.8，y)代入，∴y＝ 3.62－0.82＝40.77，40.64＜40.77＜40.81，∴3.2＜40.77＜3.6，选B.

9．椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正

三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则它的离心率是()

A.3－1 B．4－2 3

C.

3

2 D.

1

2

【答案】A

【解析】如下图正三角形AF1F2，D是AF1中点，连F1D则F1D ⊥AF2，

设|F1F2|＝2c，则|DF2|＝c，|DF1|＝3c，

依定义|DF2|＋|DF1|＝2a，

∴c＋3c＝2a，∴e＝2

3＋1

＝3－1.

10．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →

11．若直线x ＋y ＋a ＝0(a >0)与圆(x －1)2＋y 2＝2相切，则a 的值为________．

【答案】1

12．方程x 2cos θ＋(2cos θ－1)y 2＝1，θ∈[0，π)表示椭圆，则θ的

【解析】

椭圆方程标准化为x 21cos θ＋y 2

1

2cos θ－1

＝1， ∴??

?

??

cos θ≠2cos θ－1，cos θ＞0，2cos θ－1＞0，0≤θ＜π，

即?????

cos θ≠2cos θ－1，cos θ＞12，0≤θ＜π，

得0＜θ＜π

3.

13．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为3的直

线交C 于A ，B 两点．设|F A |＞|FB |，则|F A |

|FB |的值等于________．

【答案】3

【解析】由题意知，直线的方程为y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，求得交点的横坐标为x ＝3或x ＝1

3，∴|F A |＞|FB |，又根据抛物线的定义得|F A |＝4，|FB |＝43，∴|F A |

|FB |＝3.

14．过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．

【答案】2

【解析】如图|MF 1|＝b 2

a |F 1A |＝a ＋c,

∴b 2

a ＝a ＋c ，

三、解答题(共6小题，共80分)

(2)如果F1为左焦点，F2为右焦点，并且|PF1|－|PF2|＝2，求tan

(2)由已知得

??

?

|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|－|PF 2|＝2，

∴??

?

|PF 1|＝6.|PF 2|＝4.

又|F 1F 2|＝2c ＝6，

∴△F 1PF 2是等腰三角形．

(1)求直线x ＋y －2＝0与圆C 相交的弦长；

(2)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．

【解析】(1)把圆方程配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，

所以此时切线方程为x ＋y －3＝0或x ＋y ＋1＝0. ②若截距相反时，可设切线方程为x －y ＝b ， 则|－1－2－b |2＝2，解得b ＝－1或－5.

所以此时切线方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.

18．(14分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦长AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

【解析】圆C 化为标准方程：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b ) 由于CM ⊥l ，∴k CM ·k l ＝－1， k CM ＝b ＋2a －1·(＋1)＝－1，∴a ＋b ＋1＝0.

得：b ＝－a －1. ①

直线l 的方程为：y －b ＝x －a ，即x －y ＋b －a ＝0. |CM |＝|b －a ＋3|2

，

∵以AB 为直径的圆过原点，∴|MA |＝|MB |＝|OM |， |MB |2

＝|CB |2

－|CM |2

＝9－|－a ＋b ＋3|

2

＝|OM |2＝a 2＋b 2

. 即：9－|b －a ＋3|

2＝a 2＋b 2

. ② 由①②解得：a ＝3

2或a ＝－1.

故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4＝0或x－y＋1＝0.

19．(14分)一束光线从点F1(－1,0)出发，经直线l：2x－y＋3＝0上一点P反射点，恰好穿过点F2(1,0)．

(1)求点F1关于直线l的对称点F1′的坐标；

(2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；

(3)设过点F1的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在

上．∴直线AB的方程是y＝0或x－2y＋1＝0.

20．(14分)已知曲线C n：y＝nx2，点P n(x n，y n)(x n＞0，y n＞0)是曲线C n上的点(n＝1,2，…)．

(1)试写出曲线C n在P n点处的切线l n的方程，并求出l n与y轴的交点Q n的坐标；

(2)若原点O(0,0)到l n的距离与线段P n Q n的长度之比取得最大值，试求点P n的坐标(x n，y n)；

(3)设m与k为两个给定的不同的正整数，x n与y n是满足(2)中条

切线l n的方程：y－y n＝2nx n(x－x n)，

令x＝0得y＝－2nx2n＋y n＝－2nx2n＋nx2n＝－nx2n，

即Q n(0，－nx2n)．