2019年重庆市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的 1. 在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C. 第三象限

D.第四象限

[核心考点]考查复数的运算，复数的几何意义。

[解析] (12)2i i i -=+，其在复平面上对应的点为(2,1)Z ，位于第一象限。 [答案]A

2. 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）

A.1a 、3a 、9a 成等比数列

B.2a 、3a 、6a 成等比数列

C.2a 、4a 、8a 成等比数列

D.3a 、6a 、9a 成等比数列

[核心考点]考查等比数列的性质应用。

[解析]根据等比数列的性质，2

639a a a =，故3a 、6a 、9a 成等比数列。

[答案]D

3. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程

可能为（ ） A.0.4 2.3y x =+

B.2 2.4y x =-

C.29.5y x =-+

D.0.3 4.4y x =-+

[核心考点]考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。

[解析]由变量x 与y 正相关可排除选项C 、D ，由样本中心点()2.5,3.5在回归直线方程上可得回归直线方程可能为0.4 2.3y x =+。 [答案]A

4. 已知向量(,3)k =a ，(1,4)=b ，(2,1)=c ，且(23)-⊥a b c ，

则实数k =（ ）

A.9

2

-

B.0

C.3

D.

15

2

[核心考点]考查向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示。

1

k s

k + 题5图

[解析]由题知，23(23,6)k -=--a b ，因为(23)-⊥a b c ，所以(23)0-=a b c ，所以

(23)2(23)(6)4120k k -=-+-=-=a b c ，解得3k =。

[答案]C

5. 执行如题5所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）

A.1

2

s >

B.35

s >

C.710

s >

D.45

s >

[核心考点]考查程序框图的相关知识。 [解析]由98771109810s ==，故当判断框内填入7

10

s >时，输入k 的值为6。

[答案]C 6. 已知命题

p ：对任意x R ∈，总有20x >；

q ：

“1x >”是“2x >”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是（ ）

A.p q ∧

B.p q ?∧?

C.p q ?∧

D.p q ∧?

[核心考点]考查复合命题的真值表的应用，全称命题真假的判定以及充要条

件的判定。

则

[解析]由题知，命题p 为真命题，命题q 为假命题， q ?为真命题，p q ∧?为真命题。

[答案]D

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.54

B.60

C.66

D.72 [核心考点]根据几何体的三视图求该几何体的表面积。 [解析]根据三视图可得该几何体如右图所示，

则其表面积11111

1

1

1

1

ABC A B C ACC A B BAA B BCC S S S S S S ??=++++矩形梯形梯形

1111

3435(25)4(25)535602222

=??+??+?+?+?+?+?=。 [答案]B

8. 设1F 、2F 分别为双曲线22

221(0x y

a a b

-=>，0)b

>的左、右焦点，双曲线上存

在一

正视图

侧视图

俯视图

1

1A

点P 使得123PF PF b +=，129

4

PF PF ab =，则该双曲线的离心率为（ ） A.

43

B. 5

3

C.9

4

D.3

[核心考点]考查双曲线的定义与相关性质的应用。

[解析]因为点P 是双曲线22

221x y a b

-=上一点，所以122PF PF a -=，

又123PF PF b +=，所以2222

1212124()()499a PF PF PF PF PF PF b ab =-=+-=-， 即229940b ab a --=，即29()9

40b

b a a --=，解得43b a =或13b

a

=-（舍）

， 所以222

222519c b e a a ==+=，所以5

3

e =。

[答案]B

9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排

法种数是（ ）

A.72

B.120

C.144

D.3 [核心考点]考查分类计数原理和排列组合相关的知识。 [解析]分两类：

第一类：歌舞类节目中间没有相声类节目，有312

32224A C A =；

第二类：歌舞类节目中间有相声类节目，有3111

322496A C C C =；

所以一共有2496120+=种不同的排法。 [答案]B

10. 已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足1

sin 2sin()sin()2

A A

B

C C A B +-+=--+

，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、

c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.()8bc b c +>

B.()ab a b +>

C.612abc ≤≤

D.1224abc ≤≤

[核心考点]考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理，三角形的面积等知识。

[解析]由题知，1sin 2sin(2)sin(2)2A B C ππ+-=-+

，所以1sin 2sin 2sin 22

A B C ++=， 所以1sin(222)sin 2sin 22B C B C π--++=，所以1

sin(22)sin 2sin 22

B C B C -+++=，

化简得1

sin sin sin 8

A B C =，设ABC ?的外接圆半径为R ，

由1sin 2S ab C =及正弦定理得：2

1sin sin sin 28

S A B C R ==，所以2

4R S =， 因为12

S ≤≤，所以2

48R ≤≤，由1sin sin sin 8

A B C =可得3abc R =∈，显然选项C 、D 均不

一定正确。

对于A ：()8bc b c abc +>≥，故A 选项是正确的； 对于B ：()8ab a b abc +>≥，故B 选项不一定正确；

[答案]A

二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上 11. 设全集{}110U n N n =∈≤≤，{1A =，2，3，5，8}，{1B =，3，5，7，9}，则()

U C A

B =________.

[核心考点]考查集合的交集、补集等运算。

[解析] {1U =，2，…，10}，则{4U C A =，6，7，9，10}，故(){7U C A B =，9}。

[答案] {7，9}

12.

函数2

2()log log (2)f x x =的最小值为________.

[核心考点]考查对数的运算以及配方法求二次函数的最值。

[解析]

由题知，2

22

222

1

111

()l o l o g (2)l o g

(2l o g 2)l o g 2

244

f x x x x x ?

?==+=+-≥-

?

??，故22

()l o l o g (2)f x x

x =的最小值为1

4

-。 [答案] 1

4

-

13. 已知直线20ax y +-

=与圆心为C 的圆2

2

(1)()4x

y a -+-

=相交于A 、B 两点，且ABC ?为等边三角形，

则实数a =________.

[

核心考点]考查点到直线的距离，圆的弦长等知识。 [解析]由题知，圆心C 到直线20ax y +-

=，

=4a =±

[答案]4考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分

14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 依次交圆于B ，C ，若6PA =，8AC =，

9BC =，则AB =________.

[核心考点]考查切割线定理以及相似三角形的相关知识。

[解析]设PB x =，由切割线定理2

PA PB PC =，即2

6(9)x x =+，解得3x =或12x =-（舍），

又PA 是圆的切线，所以PAB PCA ∠=∠，所以PAB PCA ??，

所以

PA AB PC AC =，所以68

439PA AC AB PC ?===+。

[答案]4

15. 已知直线l 的参数方程为23x t

y t =+??

=+?

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴建立极坐标系，曲线C 的极

坐标方程为2

sin 4cos 0ρθθ-=（0ρ≥，02θπ≤<），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________. [核心考点]极坐标与参数方程。

[解析]由题知，直线l 的一般方程为10x y -+=，

由2

sin 4cos 0ρθθ-=得()2

sin 4cos 0ρθρθ-=，故曲线C 的普通方程为2

4y x =，

由2

104x y y x

-+=??

=?解得直线l 与曲线C 的公共点的坐标为(2,1)

，其极径为ρ== [答案

16. 若不等式21

21222

x x a a -++≥+

+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________. [核心考点]考查含绝对值的不等式，含绝对值的函数以及恒成立等综合问题。

[解析]令31,21()2123,22131,2x x f x x x x x x x ?

?--<-?

?

=-++=-+-≤≤??

?

+>??，结合其图像得min 15()()22f x f ==，

所以215222a a +

+≤，解得1

12a -≤≤。 [答案] 1

[1,]2

-

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 17. （本小题13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

已知函数())(0f x x ω?ω=+>，)2

2

π

π

?-≤<

的图像关于直线3

x π

=

对称，且图像上相邻两个最

高点的距离为π.

（Ⅰ）求ω和?的值；

（Ⅱ）若2()()2

63f α

ππα=

<<，求3cos()2

πα+的值. [核心考点]考查三角函数的图像与性质，三角函数公式的综合应用以及解决三角函数求值问题的方法。

[答案]

18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.

（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列.

≤≤，则称b为这三个数的中位数）.

（注：若三个数a、b、c满足a b c

[核心考点]考查排列组合，互斥事件、独立事件的概念与相关的计算公式以及求离散型随机变量的分布列与数学期望的方法。

[答案]

19.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问8分）

如题19图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱

形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，3

BAD π

∠=，M 为BC

上一点，且1

2

BM =

，MP AP ⊥. （Ⅰ）求PO 的长；

（Ⅱ）求二面角A PM C --的正弦值.

[核心考点]考查四棱锥背景下对空间的线面垂直、线线垂直的综合应用，利用空间向量求线段的长度和二面角的正弦值。 [答案

]

A

B

题19图

20.（本小题满分12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问3分，（Ⅲ）问5分）

已知函数22()(x

x f x ae

be cx a -=--，b ，)c R ∈的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))

f 处的切线的斜率为4c -.

（Ⅰ）确定a ，b 的值；

（Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.

[核心考点]考查函数与导数的综合应用，利用导数的集合意义求参数的值，利用函数的导数求单调区间以及利用导数求函数的极值，涉及到对参数的讨论。 [答案

]

21. （本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（21）图，设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别

为

1F 、2F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥

，121

F F DF =12

DF F ?的面

积为2

.

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.

[核心考点]考查椭圆的定义与性质，直线与圆的相切问题，利用向量解决有关直线的垂直问题，考查对问题的分析能力，计算能力等。 [答案

]

题21图

22.（本小题满分12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问8分）

设11a =，1n a b +=

（*n N ∈）.

（Ⅰ）若1b =，求2a ，3a 及数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*

n N ∈成立？证明你的结论.

[核心考点]考查根据数列递推公式求数列的通项公式，数学归纳法的应用，合理猜想和逻辑推理的能力，有关不等式的存在性等问题，综合性较强，对数学归纳法的考查较深。 [答案]