专题17：定积分求值(解析版)
专题17：定积分求值（解析版）
1．定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则
()
1
()lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑?
2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点
[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1
()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑? 3.曲边图形面积：()()0,b
a
f x S f x dx ≥=
?
；()()0,b
a f x S f x dx <=-?
在x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程2
1
()t t S v t dt =
?
； 变力做功 ()b
a
W F r dr =?
4．定积分的性质 性质1 ??
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±?
??
性质3 ()()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<
性）
5.定理 函数()F x 是[,]a b 上()f x 的一个原函数，即()()f x F x '=则
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-?
一、单选题
1．函数()2x
f x x e =+在[]01，
上的定积分为（ ） A ．e +2 B ．e +1 C ．e D ．e -1
【答案】C 【分析】
根据微积分基本定理进行计算可得结果. 【详解】
1
(2)x
x e
dx +?21220
0()(1)(0)11x x e e e e e =+=+-+=+-=,
故选：C
2．曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．π
【答案】C 【分析】
根据积分的几何意义化为求20
sin (sin )S xdx x dx π
π
π
=+-?
?可得结果.
【详解】
曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积
20
sin (sin )S xdx x dx ππ
π
=+-??20cos cos x x
π
π
π
=-+
(cos cos0)cos 2cos πππ=--+-
(11)1(1)=---+-- 4=.
故选：C 【点睛】
结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x 与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所
围成的平面图形的面积为[]21()()b
a
S f x f x dx =-?.
3．
()3
2
4x
dx +=? （ ）
A ．9
B ．12
C ．21
D ．25
【答案】C 【分析】
直接利用定积分的运算求解. 【详解】
()3
32
333001114434304021333|??+=+=?+?-?+?= ???
?x dx x x 故选:C 【点睛】
本题主要考查定积分的计算，属于基础题.
4．计算2
cos xdx π
?
的值为（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．π
【答案】C 【分析】
利用微积分基本定理即可得答案. 【详解】
220
cos =sin x |=sin
-sin 0=12
xdx π
π
π
?
,
故选：C 【点睛】
本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题.
5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
17
【答案】C 【解析】
试题分析：由三角形面积为1
2，3
120
22|33xdx x ==?
，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为
1
1616
P ==
考点：定积分及几何概型概率
6．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）
A ．()2
2
1x
dx -?
B ．()2
2
1x
dx -?
C ．
2
2
1x dx -?
D ．
()()1
2
2
20
1
11x
dx x dx ---??
【答案】C 【分析】
微积分基本定理的几何意义可得答案. 【详解】
由微积分基本定理的几何意义可得图中阴影部分的面积为
1
2220
1
(1)(1)x dx x dx -+-?
?2
20
|1|x dx =-?.
故选：C 【点睛】
本题考查了微积分基本定理的几何意义，属于基础题. 7．如图，阴影部分的面积是（ ）
A ．3
B ．23
C ．
323
D ．
353
【答案】C 【分析】
运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积. 【详解】
设阴影部分的面积为S，则
1
232132
3
3
11132 [(3)2](3)(31)[3(3)(3)(3)]
3333 S x x dx x x x
-
-
=--=--=---?--?---=?
.选C
【点睛】
考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.
8．
2
2
4x dx
-
?
＝（）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】A
【分析】
利用定积分的几何意义即可求解．
【详解】
令2
4
y x
=-
1
4
圆的面积，故所求定积分的值为2
1
2
4
ππ
??=
【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属基础题．
二、填空题
9．()
12
1
x dx
-+=
?__________.
【答案】
2
3
【分析】
直接利用微积分的基本定理求解. 【详解】
()1
12
300
12
133
|x
dx x x ??-+=-+= ????，
故答案为：
23
10．正弦函数sin y x =在0,3π??
????
上的图象与x 轴所围成曲边梯形的面积为______. 【答案】1
2
【分析】
由题意可知，30
sin S xdx π
=?
，再根据定积分的运算法则求解即可．
【详解】
解：3300
1
sin cos |cos cos 032
S xdx x π
π
π??=
=-=--= ????
．
故答案为：1
2
． 【点睛】
本题考查定积分在求不规则图形面积上的应用，熟练掌握定积分的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．
11．
1
1
e
dx x
?
2-+?＝________.
【答案】21π+ 【分析】
根据1(ln )x x
'=以及定积分的几何意义可得答案. 【详解】
1
1
e
dx x
?
=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，
因为2
-?表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，
所以
2
-?
21
222
ππ=??=，
所以
1
1
e
dx x
?
22
24x dx -+-?＝12π+.
故答案为：21π+. 【点睛】
本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
12．设2101
()cos 0x x f x x x ??-≤≤=?
2
()f x dx π
-=?________.
【答案】14
π+ 【解析】 【分析】
由题意得，1
1
20
2
2
()cos 1f x dx xdx x dx ππ
--
=+-???，根据定积分的几何意义可知，可得
1
20
1x dx -?
表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求
2
cos xdx π-
?，最
后相加即可得到结果. 【详解】
由题意得，
1
1
20
2
2
()cos 1f x dx xdx x dx π
π
-
-
=
+-???，
根据定积分的几何意义可知，1
20
1x dx -?
表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的
面积，如图（阴影部分）：
故
1
4π
=，又0
22
cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ
--
==--=?，
所以
100
2
2
()cos 14f x dx xdx π
π
π
-
-
=
+=+
??.
所以本题答案为14
π+. 【点睛】
本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.
三、解答题
13．计算下列定积分： （1）5
02d x x ?
； （2）1
20(2)d x x x -?； （3）
2
20(42)(4)d x x x --?；
（4）
22
1
23
d x x x x
+-?
． 【答案】（1）25；（2）23-；（3）40
3；（4）73ln 22
- 【分析】
(1)直接得出其原函数计算定积分可得答案； (2)直接得出其原函数计算定积分可得答案；
(3)将积分中的括号展开，可求得其原函数，进而计算定积分可得答案； (4)将积分中分式整理为3
2x x
+-，求出其原函数计算定积分可得答案. 【详解】
（1）5
250
0225025x dx x
==-=?
．
（2）()1
1
1
2
2
312
1
00
000
112221333
x x dx x dx x dx x x -=-=-=-=-???． （3）
()()()2
2
2
2
3234200
0414042416842164323x x
dx x x
x dx x x x x ?
?--=--+=--+= ???
??．
（4）2
2
22211123317
223ln 3ln222x x dx x dx x x x x x +-????=+-=+-=- ? ??
?????． 【点睛】
本题主要考查的是定积分的简单计算，题型较为简单，在平时的学习中应熟练掌握. 14．（1）求曲线3
2
31y x x =-+在(2,3)-处的切线方程； （2）计算定积分
2
21
x e x dx -?
.
【答案】（1）3y =-；（2）2
7
3
e e --． 【分析】
（1）求导后根据导数的几何意义求解即可； （2）直接根据定积分的定义求解． 【详解】
解：（1）∵3
2
31y x x =-+， ∴236y x x '=-， ∴212120x y ==-='， ∴切线平行于x 轴，
∴曲线3
231y x x =-+在点(2,3)-处的切线方程为3y =-；
（2）2
2
2
31
113x x e x dx e x ??-=- ????22817333e e e e ??=---=-- ???．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义与定积分的求法，属于基础题．
15．求由抛物线243y x x =-+-与它在点A （0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。 【答案】9
4
． 【详解】
先求切线斜率，再由切线方程求交点，积分.
解：因为
22m ??
+ ???
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)
有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分： （1） ( ) 1 3 31x x dx -+? （2） 4 1dx ? （3） ? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。 评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2 所围成的图形面积。 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()??-=b a b a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 2 2 -?=（ ） A.233 B.31 C.34 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分
【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(1 22 -?=123 153 x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭 图形的面积为（ ） A 、22 B 、42 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的
函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由 ???==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 8103412 9 942 30 3 =??? ? ?-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.22 -? 2 412x x -+dx =（ ） A.π4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A
【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y=2 4 x- +,即(x-2)2+y2=16(y≥0). 12x ∵22-?2 x- +dx表示以4为半径的圆的四分之一12x 4 面积.∴22-?2 x- +dx=π4. 12x 4 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( )
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限
1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上
不定积分 计算题
计算题（共 200 小题） 1、 ??+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、 ?'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、 .d x x ?求 4、 .)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ? ??>≤= 5、 已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、 .d x x ?求 7、 ? -233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ? 9、 .0,,d >?a a x e a x x 是常数其中求 10、 .d tan csc 22x x x ??求 11、 ? ?x x x d cot sec 22求 12、 ?+22d x x 求 13、 ? +82d 2x x 求
14、 ?-9d 2x x 求 15、 ? -.63d 2x x 求 16、 ?+232d x x 求 17、 .d 2432x x x x ?-求 18、 x x x d ??求 19、 .d )1(23 x x x ?+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ?+ 21、 ?x x d cot 2求 22、 .d 11)(3x x x ?++求 23、 .d x x x x ?求 24、 ?+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、 [].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ?+++求 26、 ??.d 2 sin 22x x 求 27、
定积分练习题
题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分 内容 一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分 题型 题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小 题型III利用积分估值定理解题 题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V定积分的计算
题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算 自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题 基础题： 一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）
A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （ ） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?． 则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是 ． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
定积分计算应当注意的几个问题
定积分计算中应当注意的几个问题 辛 开 远 定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题，通过求解例题，让读者掌握解题技巧。 一、利用函数奇偶性简化计算 若)(x f 在],[a a -上连续并且为偶函数，则有 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( ， （)(x f 是偶函数） 若)(x f 在],[a a -上连续并且为奇函数，则有 0)(=? -a a dx x f ， （)(x f 是奇函数） 例1：计算 ? - 2 2 10sin π π xdx x 解 ：因为x x x f sin )(10 =是奇函数，积分区间对称于原点，所以，原式＝0。 例2：计算 ?---a a dx x a x a 2 2 解：原式＝ ? ? -----a a a a dx x a x dx x a a 2 2 2 2 右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而 原式＝a a x a dx x a a a a π=??? ?? =-? 00 2 2arcsin 22 例3：计算 () dx x x x x ?-++-1 1 341cos sin 95200 解：原式＝() 5 1212 10 4 = +?dx x 二、利用函数的周期性简化计算 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则有 ??=+T T a a dx x f dx x f 0 )()( ?? =+T nT a a dx x f n dx x f 0 )()( （n 为整数） 例4：计算 ? +- 2 1002 100222sin π π xdx x tg
专项练习题集定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） B.3 1 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。
【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由???==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()481034129 9423 3=??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D.
3.22-?2412x x -+dx =（ ） A.π4 B.π2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵22 -?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴22 -?2412x x -+dx =π4. 遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后赛车A 追上赛车B 所用的时间t (s)为( )
定积分典型例题
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10 ()x dx xdx --+??＝220210[][]22 x x --+＝5 2． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=? ≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=??? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板
专题14 定积分求值问题 【高考地位】 定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等. 【方法点评】 类型一 利用微积分基本定理求定积分 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数' ()f x ； 第二步 求方程' ()0f x =的根； 第三步 判断' ()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 0 sin xdx π ? 的值为（ ） A ． 2 π B ．π C ．1 D ．2 【答案】D 【变式演练1】下列计算错误的是 （ ） A ．π πsin 0xdx -=? B ．2 3xdx = ? C ．ππ22π0 2 cos 2cos xdx xdx -=?? D ．π 2π sin 0xdx -=? 【答案】D 【解析】
试题分析：A 选项， () sin cos 0xdx x πππ π-- =-= ?，所以A 正确；B 选项，1 31 20 022 33 xdx x ??== ???? ，所以B 正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C 正确；D 选项错误。 考点：定积分的计算。 【变式演练2】若2 2 221231 1 11 ,,,x S x dx S dx S e dx x ===? ? ?则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 【答案】B 【解析】 试题分析：3222 211213117|,ln |ln 2,|33 x S x S x S e e e = =====-∴213S S S << 考点：定积分运算 【变式演练3】 2 231 111dx x x x ?? ++= ???? （ ） A ．7ln 28+ B ．7ln 22- C ．5ln 28- D ．17 ln 28 - 【答案】A 考点：定积分的应用. 【变式演练4】若1 1 (2)3ln 2(1)a x dx a x +=+>? ，则a 的值是___________． 【答案】2a = 【解析】 试题分析：由 22 11 1(2)(ln )|ln 13ln 2a a x dx x x a a x +=+=+-=+? ，得213ln ln 2 a a ?-=? =?，所以2a =． 考点：定积分的运算． 【变式演练5】 ? -=+2 2 1)(sin dx x _____________．
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 07-2x （2）( ) d x ?+2 12x 3 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() d x x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 3 1 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() d x x x ?-+1 1 -352x （12）() d x e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π -- cosx sin ）（ （14） dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
专题17：定积分求值(解析版)
专题17：定积分求值（解析版） 1．定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则 () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 3.曲边图形面积：()()0,b a f x S f x dx ≥= ? ；()()0,b a f x S f x dx <=-? 在x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt = ? ； 变力做功 ()b a W F r dr =? 4．定积分的性质 性质1 ?? =b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） 性质2 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ?? 性质3 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<
计算不定积分应该注意的几个问题
arccos求导目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1 基本概念、定理及公式 2 2 直接积分法易犯错误举例剖析 3 2.1 运算中漏掉“”、“” 3 2.2 自创运算法则致误 3 2.3 对公式的错误运用 4 2.4 对公式的错误运用 4 3 第一换元积分法应注意问题 5 3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 注意解的不同表示方法 6 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6 5 分部积分法应注意事项 8 6 计算某类特殊积分注意事项 9 6.1 有理函数的不定积分 9 6.2 分段函数的不定积分 10 参考文献 12 致谢 13
计算不定积分应该注意的几个问题 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution 引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识. 定义1 设函数与在区间上有定义.若 则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作 其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. 注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视. 定理2 设是在区间上的一个原函数，则 也是在上的原函数，其中为任意常量函数； 在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则 上也存在原函数，且
定积分的计算方法
定积分的计算方法 摘要 定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1） 定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分 法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系 统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。 关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method