高中必修数学公式含经典解题技巧

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??

2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n

-个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠；

(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠；（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设

为此式）

（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+；（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的

横坐标为0x 时，设为此式）

4 真值表：同真且真，同假或假 5

6

充要条件： (1)、p q ?，则p

是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；

(2)、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件；

(3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；

（4）、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增+增=增；（2）、减+减=减； (3)、增-减=增；(4)、减-增=减；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：

等价关系：

(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：

定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：(1)、奇·偶=奇；（2）、奇·奇=偶；(3)、偶·偶=偶；(4)、奇±奇=奇（例外是偶）

(5)、偶±偶=偶；(6)、奇±偶=非奇非偶

9函数的周期性： 对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n -

；

(3)、1()()

f x m f x +=-，此时周期为2m 。

10常见函数的图像：

11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b a x +=

;两个

函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a x -=对称.

12 分数指数幂与根式的性质：

(1)m

n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2

）1

1

m n

m

n

a

a

-=

=

（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

（3

）n a =.

（4）当n

a =；当n

,0||,0

a a a a a ≥?==?

-

13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)、1p

p

a

a

-=

（2）、01a =（0a ≠）(3)、()m n m n a a =

(4)、(0,,)r s

r s

a a a

a r s Q +?=>∈ (5)

、m

n a =

指数函数：指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N M N +=（2）、 log log log a a a

M M N N

-=

(3)、 log log m

a a

b m b =? (4)、 log log m

n

a a n

b b m

=

? (5)、 log a b

a

b =

对数函数：对数函数图象都恒过点（1，0）

(1)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或

(2)、 log 0(0,1)(1,)a x a x

14 对数的换底公式 :log log log m a m N N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

a

N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m

n

a a n

b b m

=

(0a >,且1a ≠, 0N >).

15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log a a a M M N N

=-; (3)log log ()n

a a M

n M n R =∈; (4) log log (,)m n

a a n N

N n m R m

=∈。

16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 17 数列： 等差数列：

通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和： （1）1()

2

n n n a a S +=

；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。

（2）1(1)

2

n n n S na d -=+

（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；

注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。 （4）、,,0p q p q a q a p a +===则 ； （5） 1+2+3+…+n=

2

)

1(+n n

等比数列：

通项公式：（1） 1*

11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。

（2）推广：n k

n k a a q -=?

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）

（2）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）

（3）11(1)(1)

(1)

1n n na q S a q q q =?

?

=-?≠?-?

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则 m n p q a a a a ?=? ；

注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。 （2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。

（3）k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列

错位相减求和： S n =1+2x+3x 2+4x 3+ ┄ +nx n-1

①

xS n =0+ x+2x 2+3x 3+4x 3+ ┄ +nx n ② ①－②得（1-x ）S n = 1+x+x 2+x 3+ ┄ +x n-1-nx n

⑴当x=1时，在原式中S n =1+2+3+4 + ┄ +n=

2

)

1(+n n

⑵当x 1≠时，

2

2

)

1()1(11)

1(111)1(x nx

x

n x

nx

x x

S nx x

x

S x n

n n

n n n

n

n -++-=

--

--=

∴---=

-

裂项相消求和：

)

1

211

21

(

21

)12)(12(1

111)

1(1

+-

-=+-+-

=

+n n n n n n

n n

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)

(1)1

n

n

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).

19三角不等式：

（1）若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x <<.

(2) 若(0,

)2

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤

(3) |sin ||cos |1x x +≥.

20 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θcos sin ，

21 正弦、余弦的诱导公式（函数名不变，符号看象限；函数名改变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

sin cos a b αα+

)α?+ (辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a

?=

).

23 二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα=2

2tan 1tan αα

=

+.

2

2

2

2

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-2

2

1tan 1tan αα

-=+.

2

2tan tan 21tan ααα

=

-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αααα

α

-=

=

+

24 三角函数的周期公式

n

n n

n -+=+

+111)

2

11(21)

2(1

+-

=+n n

n n []

)1()1()2)(1(3

1)1(+--++=

+n n n n n n n n

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||

T π

ω=

；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||

T πω=

.

三角函数的图像：

25 正弦定理 ：

2sin sin sin a

b

c

R A B C

=

=

=（R 为A B C ?外接圆的半径）.

2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

26余弦定理：

2

2

2

2cos a b c bc A =+-; 2

2

2

2cos b c a ca B =+-; 2

2

2

2cos c a b ab C =+-.

27面积定理：

（1

）111222

a b c S ah bh ch ==

=（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.

（2）11

1

sin sin sin 22

2

S ab C bc A ca B =

==

. (3)O A B S ?=

2,2

a b c S r r a b c

???+=

=

++斜边

内切圆直角内切圆－

28三角形内角和定理 ：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+2

2

2

C A B π

+?=

-

222()C A B π?=-+.

29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a

;

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa

;

(3)第二分配律：λ(a +b )=λa

+λb .

（4）c b a c b a )()(?≠?

30 a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a

||b |cos θ。 31平面向量的坐标运算：

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b

=1212(,)x x y y ++.

(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b

=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--

.

(4)设a =(,),x y R λ

∈，则λa

=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a

·b =1212()x x y y +. 32 两向量的夹角公式：

cos ||||

x x y y a b

a b θ+?==?

a

=11(,)x y ,b =22(,)x y ).

33 平面两点间的距离公式：

,A B d

=||AB =

=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

34 向量的平行与垂直 ：设a

=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：

a ||

b ?b =λa

12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）

a ⊥

b (a ≠0 )? a

·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）

35 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12P P PP λ=

，

则1212

11x x x y y y λλ

λλ+?=??+?+?=?+?

?121O P O P O P λλ+=+ ?12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=

+）. 36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC

的重心的坐标是123

123

(

,

)3

3

x x x y y y G ++++.

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O 为A B C ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为A B C ?的外心222

O A O B O C ?== .

（2）O 为A B C ?的重心0OA OB OC ?++=

.

（3）O 为A B C ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?

.

（4）O 为A B C

?的内心0aOA bOB cOC ?++=

.

（5）O 为A B C ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+

.

38常用不等式：（解题最后：综上所述，原不等式的解集是……）

（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈

?

2

a b +≥

(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）b a b a b a +≤+≤-. （5

）

22

ab a b a b

+≤

≤

≤

+(当且仅当a ＝b 时取“=”号)。

（6） a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）

（7）柯西不等式22222

()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ 39极值定理:已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；

（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2

4

1s .

（3）已知,,,a b x y R +

∈，若1ax by +=则有

2

1111()(

)by ax ax by a b a b x y

x

y

x

y

+=++

=+++

≥++=。

（4）已知,,,a b x y R +∈，若

1a b x y

+=则有

2

()(

)a b ay bx x y x y a b a b x

y

x y

+=++

=+++≥++=

40 一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2

ax bx c ++同号，则

其解集在两根之外；如果a 与2

ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异

号两根之间.即：

121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.

41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

22

x a x a a x a

22

x a x a x a >?>?>或x a <-.

42 斜率公式 ：

2121

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

43 直线的五种方程：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k ，不适用于斜率不存在的直线)

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式

112121

y y x x y y x x --=

--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).

两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件）

(4) 截距式

1x

y

a b

+

=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

44共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为

111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．

45夹角公式：

(1)2121

tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)12211212

tan |

|A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是

2

π

.

46 1l 到2l 的角公式：

(1)2121

tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)12211212

tan A B A B A A B B α-=

+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是

2

π

.

47 点到直线的距离

：d =点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

48 圆的方程：

（1）圆的标准方程 2

22

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

2

0x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

当 224D E F +-=0 时，方程表示一个点(,)2

2

D E -

-

当2

2

40D E F +-<时，方程不表示任何图形。

当2240D E F +->时，方程表示一个圆。圆心(,)2

2

D E -

-

，R =

49点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-

的位置关系：

d =d r >?点P 在圆外

d r =?点P 在圆上

d r

50直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(2

2

B

A C Bb Aa d +++=

):

0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .

51 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

52二次函数2

2

2

4()24b ac b y ax bx c a x a

a

-=++=+

+

(0)a ≠的图象是抛物线：

（1）顶点坐标为2

4(,

)24b ac b a a

--

；（2）焦点的坐标为2

41

(,

)24b ac b a

a

-+-；

（3）准线方程是2

41

4ac b y a

--=

.

53 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

或1212||||AB x x y y =

=-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程??

?=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax

0?>,α为直线A B 的倾斜角，k

为直线的斜率，12||x x -=

.

54证明直线与平面的平行的思考途径: （1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 55证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 56证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。 57向量的直角坐标运算：

设a

＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：

(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2) a

－b ＝112233(,,)a b a b a b ---；

(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a

·b ＝112233a b a b a b ++； 58 夹角公式：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b

，则cos ,a b <>=

.

59 异面直线间的距离 ：

||

||

C D n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 60立体几何

圆柱表面积 圆锥表面积 圆台表面积

台体体积

椎体体积 台体体积

球的半径是R ， 3

43

V R π=

,24S R π=．

61 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++ .

分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =??? . 62 方差：])(...)()[(12

2

22

12x x x x x x n

S n -++-+-=

标准差：方差的算术平方根

63实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程20ax bx c ++=， ①若2

40b ac ?=->,则1,22b x a

-±=

;②若240b ac ?=-=,则122b x x a

==-

;

③若240b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根

2

40)2x b ac a

=

-<.

64函数的几个重要性质：

①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()

x f y =的图象关于直线a x =对称.

②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. 65钩函数()0>+

=a x

a x y

函数在(]a -∞-,和

[)+∞,a 上单调递增；在[

)0,a -

和(

]

a ,

0上单调递减

66在三角的恒等变形中，角的各种变换

,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ??

?

??--??

? ?

?-=+βαβαβα2

22

“1”代换；切化弦，弦化切

67弧度制下弧长公式和扇形面积公式 lr S r l 21,=

=扇形α

68概率统计

（1）若事件A 、B 为互斥事件,则P （A+B ）=P （A ）+P （B ） （2）若事件A 、B 为相互独立事件,则P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

（3）若事件A 、B 为对立事件,则P （A ）+P （B ）=1一般地,()

()A P A p -=1

（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率： ()()

k

n k

k

n n p p C K P --=1

69抽样方法：

简单随机抽样(抽签法、随机样数表法),常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取； 系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个； 分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。

()S r r l π=+2()S r r l π=+22()

S r r r l rl π''=+++

V S h

=1

3V Sh =