中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型五几何图形探究题试题含参考解析

题型五 几何图形探究题

类型一 几何图形静态探究

1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC＝60°，于是BC AB ＝2BD

AB

＝3；

迁移应用：如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE＝120°，D ，E ，C 三点在同一

条直线上，连接BD.

①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；

拓展延伸：如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF.

①证明△CEF 是等边三角形； ②若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长.

2．(2017·许昌模拟)在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在线段BC 上(不含点B)，∠BPE ＝1

2

∠ACB，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF⊥PE，垂足为F ，交AC 于点G.

(1)当点P 与点C 重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE； (2)通过观察、测量、猜想：

BF

PE

＝__________，并结合图②证明你的猜想； (3)把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB＝α，求BF

PE 的值．(用含α的式子

表示)

3．(2014·河南)(1)问题发现

如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.

填空：

①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为__________．

(2) 拓展探究

如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

(3)解决问题

如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP 的距离.

4．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，可以得到：DE∥BC，且DE ＝1

2

BC.(不需要证明)

【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明；

【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？你添加的条件是：__________.(只添加一个条件)

(2)如图③，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ，BD 相交于点O.若AO ＝OC ，四边形ABCD 面积为5，求阴影部分图形的面积.

5．(2016·新乡模拟)问题背景：已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，同时，点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点，求AC

HF

的值．

(1)初步尝试

如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且D ，E 的运动速度相等，小王同学发现可以过点D 做DG∥BC，交AC 于点G ，先证GH ＝AH.再证GF ＝CF ，从而求得AC

HF

的值为__________；

(2)类比探究

如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠BAC＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求AC

HF

的值； (3)延伸拓展

如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠BAC＝36°，记BC

AC ＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试

用含m 的代数式表示AC

HF

的值(直接写出结果，不必写解答过程) .

类型二 几何图形动态探究

点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)问题发现

①当α＝0°时，AE BD ＝__________；②当α＝180°时，AE

BD ＝__________；

(2)拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，AE

BD

的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．

(3)问题解决

当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．

2．已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC.

(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC ＝120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC. ①∠DAO 的度数是__________；

②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明； (2)设∠AOB＝α，∠BOC ＝β.

①当α，β满足什么关系时，OA ＋OB ＋OC 有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由；

②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA ＋OB ＋OC 的最小值.

3．(2013· 河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中∠C＝90°，∠B ＝∠E ＝30°.

(1)操作发现

如图②，固定△ABC，使△DCE 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是__________；

②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是__________； (2) 猜想论证

当△DEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试

(3) 拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)，若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDC，请直接写出相应的BF的长.

4．(2017·郑州模拟)【问题情境】

数学课上，李老师提出了如下问题：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系．

小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况．”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成．

【问题解决】

(1)如图①，当α＝60°时，判断BD与AE之间的数量关系；

解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.

【类比探究】

(2)如图②，当α＝45°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；

(3)如图③，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.(用含

5．(2017·烟台)【操作发现】

(1)如图①，△ABC 为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板斜边上取一点F ，使CF ＝CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE＝30°，连接AF ，EF.

①求∠EAF 的度数；

②DE 与EF 相等吗？请说明理由； 【类比探究】

(2)如图②，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板另一直角边上取一点F ，使CF ＝CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE＝45°，连接AF ，EF ，请直接写出探究结果：

①求∠EAF 的度数；

②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．

题型五 第22题几何图形探究题

类型一 几何图形静态探究

1．迁移应用：①证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝120°， ∴∠DAB ＝∠CAE ，

在△DAB 和△EAC 中，????

?DA ＝EA ∠DAB ＝∠EAC AB ＝AC

，∴△DAB ≌△EAC;

,图②)

②解：结论：CD ＝3AD ＋BD.

理由：如解图①，作AH ⊥CD 于H.

在Rt △ADH 中，DH ＝AD·cos 30°＝3

2

AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，

∵CD ＝DE ＋EC ＝2DH ＋BD ＝3AD ＋BD ；

拓展延伸：①证明：如解图②，作BH ⊥AE 于H ，连接BE.

∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，∴△ABD ，△BDC 是等边三角形，∴BA ＝BD ＝BC ， ∵E 、C 关于BM 对称，

∴BC ＝BE ＝BD ＝BA ，FE ＝FC ，∴A 、D 、E 、C 四点共圆， ∴∠ADC ＝∠AEC ＝120°，∴∠FEC ＝60°， ∴△EFC 是等边三角形，

②解：∵AE ＝5，EC ＝EF ＝2， ∴AH ＝HE ＝2.5，FH ＝4.5，

在Rt △BHF 中，∵∠BFH ＝30°， ∴HF BF ＝cos 30°，∴BF ＝4.5

3

2

＝3 3. 2．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°， ∵PF ⊥BG ，∠PFB ＝90°，

∴∠GBO ＝90°－∠BGO ，∠EPO ＝90°－∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ， 在△BOG 和△POE 中，????

?∠GBO ＝∠EPO OB ＝OP ∠BOG ＝∠POE ，∴△BOG ≌△POE(ASA )；

(2)解：猜想BF PE ＝1

2

.

证明：如解图①，过P 作PM ∥AC 交BG 于M ，交BO 于N ， ∴∠PNE ＝∠BOC ＝90°，∠BPN ＝∠OCB.

∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠NBP ＝∠NPB ，∴NB ＝NP.

∵∠MBN ＝90°－∠BMN ，∠NPE ＝90°－∠BMN ，∴∠MBN ＝∠NPE ， 在△BMN 和△PEN 中，????

?∠MBN ＝∠NPE NB ＝NP ∠MNB ＝∠PNE ，

∴△BMN ≌△PEN(ASA )，∴BM ＝PE.

∵∠BPE ＝1

2∠ACB ，∠BPN ＝∠ACB ，∴∠BPF ＝∠MPF.

∵PF ⊥BM ，∴∠BFP ＝∠MFP ＝90°. 在△BPF 和△MPF 中，

????

?∠BPF ＝∠MPE PF ＝PF

∠PFB ＝∠PFM

，∴△BPF ≌△MPF(ASA ). ∴BF ＝MF. 即BF ＝12BM.∴BF ＝12PE.即BF PE ＝12

；

(3)解：如解图②，过P 作PM ∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ， ∴∠BPN ＝∠ACB ＝α，∠PNE ＝∠BOC ＝90°. 由(2)同理可得BF ＝1

2BM ，∠MBN ＝∠EPN ，

∴△BMN ∽△PEN ，∴BM PE ＝BN

PN .

在Rt △BNP 中，tan α＝BN

PN

，

∴BM PE ＝tan α，即2BF PE ＝tan α，∴BF PE ＝tan α2

. 3．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，

∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ????

?AC ＝BC ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE

， ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴∠ADC ＝∠BEC.

∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.

∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°； ②∴AD ＝BE ；

(2)∠AEB ＝90°，AE ＝BE ＋2CM.

理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，

∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.∴∠ACD ＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ????

?CA ＝CB ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE

， ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC. ∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上，

∴∠ADC ＝135°，∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°. ∵CD ＝CE ，CM ⊥DE ，∴DM ＝ME. ∵∠DCE ＝90°，∴DM ＝ME ＝CM ， ∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM ；

(3)点A 到BP 的距离为

3－12或3＋1

2

. 理由如下：∵PD ＝1，∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上．

①当点P 在如解图①所示位置时，

连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ， 过点A 作AE ⊥AP ，交BP 于点E ， ∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠ADB ＝45°.AB＝AD ＝DC ＝BC ＝2，∠BAD ＝90°.∴BD ＝2. ∵DP ＝1，∴BP ＝ 3.

∵∠BPD ＝∠BAD ＝90°，∴A 、P 、D 、B 在以BD 为直径的圆上， ∴∠APB ＝∠ADB ＝45°.∴△PAE 是等腰直角三角形．

又∵△BAD 是等腰直角三角形，点B 、E 、P 共线，AH ⊥BP ， ∴由(2)中的结论可得：BP ＝2AH ＋PD. ∴3＝2AH ＋1.∴AH ＝

3－1

2

；

②当点P 在如解图②所示位置时，

连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ， 过点A 作AE ⊥AP ，交PB 的延长线于点E ， 同理可得：BP ＝2AH －PD.∴3＝2AH －1.∴AH ＝3＋1

2

. 综上所述：点A 到BP 的距离为3－12或3＋1

2

. 4．解：【探究】平行四边形． 理由：如解图①，连接AC ，

∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝1

2AC ，

同理HG ∥AC ，HG ＝1

2AC ，

综上可得：EF ∥HG ，EF ＝HG ， 故四边形EFGH 是平行四边形． 【应用】(1)添加AC ＝BD ，

理由：连接AC ，BD ，同(1)知，EF ＝1

2AC ，

同【探究】的方法得，FG ＝1

2

BD ，

∵AC ＝BD ，∴EF ＝FG ，

∵四边形EFGH 是平行四边形，∴?EFGH 是菱形；

(2)如解图②，由【探究】得，四边形EFGH 是平行四边形， ∵F ，G 是BC ，CD 的中点，

∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴△CFG ∽△CBD ，∴S △CFG S △BCD ＝1

4，∴S △BCD ＝4S △CFG ，

同理：S △ABD ＝4S △AEH ，

∵四边形ABCD 面积为5，∴S △BCD ＋S △ABD ＝5，∴S △CFG ＋S △AEH ＝54，同理：S △DHG ＋S △BEF ＝5

4，

∴S 四边形EFGH ＝S 四边形ABCD －(S △CFG ＋S △AEH ＋S △DHG ＋S △BEF )＝5－52＝5

2，

设AC 与FG ，EH 相交于M ，N ，EF 与BD 相交于P ，

∵FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴CM ＝OM ＝12OC ，同理：AN ＝ON ＝1

2OA ，

∵OA ＝OC ，∴OM ＝ON ，

易知，四边形ENOP ，FMOP 是平行四边形，S ?EPON ＝S ?FMOP ， ∴S 阴影＝12S 四边形EFGH ＝5

4

.

5．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，∴AD ＝GD ，

由题意知：CE ＝AD ，∴CE ＝GD ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，

在△GDF 与△CEF 中，????

?∠GDF ＝∠CEF ∠GFD ＝∠EFC ，GD ＝CE

∴△GDF ≌△CEF(AAS )，∴CF ＝GF ，

∵DH ⊥AG ，∴AH ＝GH ，

∴AC ＝AG ＋CG ＝2GH ＋2GF ＝2(GH ＋GF)＝2HF ， ∴AC

HF

＝2； (2)如解图①，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ， 则∠ADG ＝∠ABC ＝90°.

∵∠BAC ＝∠ADH ＝30°，∴AH ＝DH ，∠GHD ＝∠BAC ＋∠ADH ＝60°， ∠HDG ＝∠ADG －∠ADH ＝60°，∴△DGH 为等边三角形． ∴GD ＝GH ＝DH ＝AH ，AD ＝GD·tan 60°＝3GD. 由题意可知，AD ＝3CE.∴GD ＝CE. ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF.

在△GDF 与△CEF 中，????

?∠GDF ＝∠CEF ∠GFD ＝∠EFC CE ＝GD ，

∴△GDF ≌△CEF(AAS )，∴GF ＝CF.

GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝AH ＋CF ，∴HF ＝12AC ，即AC

HF ＝2；

(3)AC HF ＝m ＋1

m

.理由如下： 如解图②，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，

在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠ADH ＝36°，AB ＝AC ，

∴AH ＝DH ，∠ACB ＝∠B ＝72°，∠GHD ＝∠HAD ＋∠ADH ＝72°. ∴∠AGD ＝∠GHD ＝72°，

∵∠GHD ＝∠B ＝∠HGD ＝∠ACB ，∴△ABC ∽△DGH.∴GH DH ＝BC

AC ＝m ，∴GH ＝mDH ＝mAH.

由△ADG ∽△ABC 可得DG AD ＝BC AB ＝BC

AC ＝m.

∵DG ∥BC ，∴FG FC ＝GD

EC

＝m.∴FG ＝mFC.

∴GH ＋FG ＝m(AH ＋FC)＝m(AC －HF)，即HF ＝m(AC －HF)．∴AC HF ＝m ＋1

m

.

类型二 几何图形动态探究

1．解：(1)①当α＝0°时， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，

∴AC ＝AB 2

＋BC 2

＝（8÷2）2

＋82

＝45， ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，

∴AE ＝45÷2＝25，BD ＝8÷2＝4，∴AE BD ＝254＝5

2.

②如解图①，当α＝180°时，可得AB ∥DE ， ∵AC AE ＝BC BD ，∴AE BD ＝AC BC ＝458＝5

2

；

(2)当0°≤α＜360°时，AE

BD 的大小没有变化，

∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA ＝∠DCB ， 又∵EC DC ＝AC BC ＝52

，

∴△ECA ∽△DCB ，∴AE BD ＝EC DC ＝5

2

；

(3)①当D 在AE 上时，如解图②，∵AC ＝45，CD ＝4，CD ⊥AD ， 2

2

2

2

∵AD ＝BC ，AB ＝DC ，∠B ＝90°，

∴四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ＝45；

②当D 在AE 延长线上时，如解图③，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，

∵AC ＝45，CD ＝4，CD ⊥AD ，

∴AD ＝AC 2

－CD 2

＝（45）2

－42

＝80－16＝8， ∵原图中点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，

∴DE ＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE ＝AD －DE ＝8－2＝6，由(2)可得AE BD ＝52，∴BD ＝65

2＝1255.

综上所述，BD 的长为45或

125

5

. 2．解：(1)①∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝90°， 由旋转的性质可知，∠OCD ＝60°，∠ADC ＝∠BOC ＝120°， ∴∠DAO ＝360°－60°－90°－120°＝90°；

②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2＋OB 2＝OC 2

.

如解图①，连接OD.∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD ＝60°. ∴CD ＝OC ，

∴△OCD 是等边三角形，

∴OC ＝OD ＝CD ，∠COD ＝∠CDO ＝60°，

∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝90°， ∴∠AOD ＝30°，∠ADO ＝60°.∴∠DAO ＝90°.

在Rt △ADO 中，∠DAO ＝90°，∴OA 2＋AD 2＝OD 2

，

∴OA 2＋OB 2＝OC 2

；

(2)①当α＝β＝120°时，OA ＋OB ＋OC 有最小值．作图如解图②， 将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′. ∴△A ′O ′C ≌△AOC ，∠OCO ′＝∠ACA′＝60°.

∴O′C＝OC ，O ′A ′＝OA ，A ′C ＝AC ，∠A ′O ′C ＝∠AOC.∴△OCO′是等边三角形． ∴OC ＝O′C＝OO′，∠COO ′＝∠CO′O＝60°.

∵∠AOB ＝∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝∠A′O′C＝120°.

∴∠BOO ′＝∠OO′A′＝180°.∴B ，O ，O ′，A ′四点共线． ∴OA ＋OB ＋OC ＝O′A′＋OB ＋OO′＝BA′时值最小；

②当等边△ABC 的边长为1时，OA ＋

OB ＋OC 的最小值为A′B＝ 3.

3．解：(1)①∵△DEC 绕点C 旋转使点D 恰好落在AB 边上，∴AC ＝CD ， ∵∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°， 又∵∠CDE ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝∠CDE ，

②∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴CD ＝AC ＝1

2

AB ，

∴BD ＝AD ＝AC ，

根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC 、AD 上的高相等，

∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 即S 1＝S 2；

(2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD ， ∵∠ACN ＋∠BCN ＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°， ∴∠ACN ＝∠DCM ，

∵在△ACN 和△DCM 中，????

?∠ACN ＝∠DCM ∠CMD ＝∠N ＝90°AC ＝DC

，

∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN ＝DM ，

∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 即S 1＝S 2；

(3)如解图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形， ∴BE ＝DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF 1＝S △BDE ； 过点D 作DF 2⊥BD ，

∵∠ABC ＝60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D ＝∠ABC ＝60°，

∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝1

2∠ABC ＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°，

∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1＝DF 2，

∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点， ∴∠DBC ＝∠DCB ＝1

2

×60°＝30°，

∴∠CDF 1＝180°－∠BCD ＝180°－30°＝150°，

∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2， ∵在△CDF 1和△CDF 2中，????

?DF 1＝DF 2∠CDF 1＝∠CDF 2CD ＝CD ，

∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS )，∴点F 2也是所求的点，

∵∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ， ∴∠DBC ＝∠BDE ＝∠ABD ＝1

2×60°＝30°，

又∵BD ＝4，

1343

∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝83

3，

故BF 的长为433或83

3

.

4．解：(1)当α＝60°时，△ABC 、△DCE 是等边三角形，

∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ， 即∠BCD ＝∠ACE ，

在△BDC 和△AEC 中，????

?EC ＝DC ∠BCD ＝∠ACE AC ＝BC ，

∴△BDC ≌△AEC(SAS )，∴BD ＝AE ；

(2)BD ＝2AE ；

理由如下：如解图①，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F. ∵DF ∥AC ，∴∠ACB ＝∠DFB.

∵∠ABC ＝∠ACB ＝α，α＝45°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠DFB ＝45°. ∴△DFB 是等腰直角三角形∴BD ＝DF ＝

22

BF. ∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°.

∵∠DFB ＋∠DFC ＝180°，∴∠BAE ＝∠DFC.

∵∠ABC ＋∠BCD ＝∠ADC ，∠ABC ＝∠CDE ＝α，∴∠ADE ＝∠BCD. ∴△ADE ∽△FCD.∴AE FD ＝AD

FC

.

∵DF ∥AC ，∴BD BF ＝AD CF .∴AE BD ＝BD BF ＝2

2

.∴BD ＝2AE.

(3)补全图形如解图②，∵AE ∥BC ，∠EAC ＝∠ACB ＝α，∴∠EAC ＝∠EDC ＝α， ∴A 、D 、C 、E 四点共圆，∴∠ADE ＝∠ACE ，

∵∠ADE ＋∠EDC ＝∠ADC ＝∠ABC ＋∠BCD ，∠ABC ＝∠EDC ＝α， ∴∠ADE ＝∠BCD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，

∵∠ABC ＝∠EAC ＝α，∴△BDC ∽△AEC ，∴BD AE ＝BC

AC ，

又∵BC

AC

＝2cos α，∴BD ＝2cos α·AE.

5．解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝60°， ∵∠DCF ＝60°，∴∠ACF ＝∠BCD ，

在△ACF 和△BCD 中，????

?AC ＝BC ∠ACF ＝∠BCD CF ＝CD ，∴△ACF ≌△BCD(SAS )，

②相等；理由如下：

∵∠DCF ＝60°，∠DCE ＝30°，

∴∠FCE ＝60°－30°＝30°，∴∠DCE ＝∠FCE ， 在△DCE 和△FCE 中，????

?CD ＝CF ∠DCE ＝∠FCE CE ＝CE

，

∴△DCE ≌△FCE(SAS )，∴DE ＝EF ；

(2)①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， ∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝45°， ∵∠DCF ＝90°，∴∠ACF ＝∠BCD ， 在△ACF 和△BCD 中，????

?AC ＝BC ∠ACF ＝∠BCD CF ＝CD

，

∴△ACF ≌△BCD(SAS )，∴∠CAF ＝∠B ＝45°，AF ＝BD ，

∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝90°；

②AE 2＋DB 2＝DE 2

；理由如下：

∵∠DCF ＝90°，∠DCE ＝45°，∴∠FCE ＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠FCE ， 在△DCE 和△FCE 中，????

?CD ＝CF ∠DCE ＝∠FCE CE ＝CE ，

∴△DCE ≌△FCE(SAS )，∴DE ＝EF ， 在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2

，

又∵AF ＝DB ，∴AE 2＋DB 2＝DE 2

.