2010年高考理科数学新课标全国卷逐题解析

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)

理科数学

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．已知集合 A { x R | x|2} }, B { x Z | x 4} ,则A B

A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2] D．{0,1,2}

D【解析】A {x R| x| 2,} {x R 2 x 2}，

B {x Z | x 4} {x Z 0 x 16}，故A B {0,1,2} ．应选D．

2．已知复数

z

3 i

2

(1 3i)

，z是z 的共轭复数，则z z =

A．1

4

B．

1

2

C． 1 D．2

A【解析】

3 i 3 i 1 3 i 1 1

z ( 3 i )(1 3i) ( 3 i) 2

2 8 4

(1 3i ) 2 2 3i 1 3i

1 1 1

z z ( 3 i) ( 3 i) ．应选A．

4 4 4

另解：由z

3 i

3 i 2 1

2

(1 3i) 1 3i

2 2

2 2

可得 2

1

z z z ．

4

x

y

在点( 1, 1) 处的切线方程为

3．曲线

x 2

A．y 2x 1 B．y 2x 1 C．y 2x 3 D．y 2x 2

A 【解析】由y

x 2

1

x 2 x 2

可得

2

y , k y 2 , y 1 2 (x 1 )

，

2 x 1

(x 2 )

y 2x 1，应选A．

4．如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0( 2, 2) ，角速度为

1，那么点P到x轴距离 d 关于时间t 的函数图像大致为

高考真题（理科数学）第1页—共13页

A B C D

C【解析】通过分析可知当t 0时，点P到x 轴距离d 为 2 ，于是可以排除答案A,D，再根据当t时，可知点P 在x 轴上此时点P到x 轴距离 d 为0，排除答案B，应选C．

4

5．已知命题

x x

p ：函数y 2 2 在R 为增函数，

1

x x

p ：函数y 2 2 在R 为减函数，

2

则在命题q：p1 p2 ，q2 ：p1 p2 ，q3 ：p1 p2 和q4 ：p1 p2 中，真命1

题是

A．q1 ，q3 B．q2 ，q3 C．q1，q4 D．q2 ，q4

x x x x

C【解析】p1 ：函数y 2 2 在R 为增函数为真命题，而函数y 2 2 为偶函数，x x x x 则 2

2

y 在R 不可能为减函数，p2 ：函数y 2 2 在R 为减函数为假命题，则p1 为假命题，p2 为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为

A．100 B．200 C．300 D．400

B【解析】由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即~ B(1000,0.1) , 而X 2 ，则EX 2E 2 1000 0.1 200．应选B．

7．如果执行右面的框图，输入N 5，则输出的数等于

高考真题（理科数学）第2页—共13页

开始

输入N k=1,S=0

S=S+

1

k(k+1)

k=k+1

是k

出S

结束

A．5

4

B．

4

5

C．

6

5

D．

5

6

D【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

11111

S0，

1223344556

11111111115

11

22334455666

，应选D．

8．设偶函数f(x)满足3

f(x)x8(x0)，则{x|f(x2)0}

A．{x|x2或x4}B．{x|x0或x4}

C．{x|x0或x6}D．{x|x2或x2}

B【解析】当x0时，则x0，由偶函数满f(x)足3

f(x)x8(x0)可得，

f(x)f(x)38

x，则f(x)=

3

x8(x0)

3

x8(x0)

，

f(x2)

3

(x2)8(x2)

3

(x2)8(x2)

，

令f(x2)0，可解得x4,或x0．应选B．

另解：由偶函数满f(x)足f(x)x38(x0)可得3

f(x)f(x)x8，

则3

f(x2)f(x2)x28，要使f(x2)0，

只需

3

x280,x22，解得x4,或x0．应选B．

高考真题（理科数学）第3页—共13页

9．若

cos 4

5

，是第三象限的角，则

1tan

1 tan

2

2

A．1

2

B．

1

2

C．2 D． 2

A【解析】由

cos 4

5

，是第三象限的角可得

sin

3

5

．

3

1 tan

2 cos 2 sin 2 1 sin 5 1

1

4

cos 2

1 tan cos sin

2 2 2 5

，应选A．

另解：由cos 4

5

，是第三象限的角可得sin

3

5

．

3

sin 2 sin 5

tan 3

4

2 cos 1 cos 1

2 5 ，

1 tan

2 1

3 1

1 3 2

1 tan

2

．

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A． 2

a B．7

3

2

a C．

11

3

2

a D．

2

5 a

B【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，则其外接球的半径为

a 2 a 2 7 2

R ( ) ( ) a ，球的表面积为

2 2sin 60 12

2

2 7a 7 2

R 4 a ，应选B．

12 3

| lg x |,0 x 10,

11．已知函数f x

( ) 1

2 x 6, x 10.

若a, b,c 互不相等，且 f (a) f (b) f ( c), 则a bc

的取值范围是

A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24) C【解析】作出函数 f (x) 的图象如图，

y

O 1 10 12 x

高考真题（理科数学）第4页—共13页

1

不妨设

a b c，则l g a lg b c10(0,1)

2

则

a bc c(10,12)．应选C．

12．已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为

A．

22

x y

36

1B．

22

x y

45

1C．

22

x y

63

1D．

22

x y

54

1

B【解析】由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点可设双曲线的方程为22

x y

22

221(9)

a b

a b ，设A(x1,y1),B(x2,y2)，即

2222

x y x y

1122

221,221

a b a b

22 y y b x x b

1212

则

22 x x a y y a

121212015

15312

2

b

1

，则

2

a

5

4

22

,b5,a4，

故E的方程式为

22

x y

45

1

．应

选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要

求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设y f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近

似计算积分

1

0f x dx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数

()

x1,x2,?

x N

和y

1,y2,?y N，由此得到N个点(x i,y i)i(1?,2,N,，再数出其中满足

y f(x)(i1,2,?,N)的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分i i 1

f(x)dx的近似

值

为．

【解析】：由题意可知N

1

N

1

f(x)dx

1

得

1

f(x)dx

N

1

N

，故积分

1

f(x)dx的近似值为

N

1

N

．

高考真题（理科数学）第5页

—共13页

14．正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）

【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等．15．过点A(4,1)的圆C与直线x y10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为____．

【解析】设圆的方程为222

(x a)(y b)r，

则222222b1

(4a)(1b)r,(2a)(1b)r,1,

a2

解得a3,b0,r2，故所求圆的方程为22

(x3)y2．

16．在△ABC中，D为边BC上一点，

1

BD DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC 2

的面积为33，则BAC=_______．

【解析】由△ADC的面积为33可得

A

B D C

13

S AD DC sin60DC33 ADC

22

31

S(33)AB AC sin BAC

ABC

22

解得DC232,则BD31,BC333．

2222cos120 AB AD BD AD BD

2

4(31)2(31)6,AB6

2222cos6044(31)24(31)2412 3 AC AD CD AD CD

AC6(31)

则cos BAC

222

BA AC BC

2AB AC

6241239(423)6361

266(31)12(31)2

故BAC60．

高考真题（理科数学）第6页—共13页

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算

步骤

．17．（本小题满分12分）

设数列a满足

n

2n1

a12,a1a32．

n n

(Ⅰ)求数列a n的通项公式；

(Ⅱ)令b n na n，求数列的前n项和S n．

【解析】(Ⅰ)由已知，当n≥1时，

a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1

n n n n n

2123

n n22(n1)1 3(2

22)2．

而a12,

所以数列{a}的通项公式为

n

2n1

a2．n

(Ⅱ)由2n1

b na n2知

n n

352n1

S122232n2①n

从而

2

2S n=

3572n1 122232n2②

①-②得

2

(

12)S n=

352121

n n n．22222

即S=

n 1

9

2n1

[(3n1)22]．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥

P ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．

(Ⅰ)证明：PE BC；

(Ⅱ)若APB ADB60，求直线P A与平面PEH所成角的正弦值．

—共13页

7页

高考真题（理科数学）第

【解析】以H为原点，HA,HB,HP分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0),B(0,1,0)

(Ⅰ)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m0,n0)

则D(0,m,0),

1m

E(,,0)．22

可得PE=(1,,)

m

n,BC=(m,1,0)．

22

m m

因为PE BC00，

22

所以PE BC．

(Ⅱ)由已知条件可得

33

m,n1,故C(,0,0)，

33

313

D(0,,0),E(,,0),P(0,0,1)，326

设n(x,y,x)为平面PEH的法向量

则

n

n HE

HP

，即

13

x y

26

z0

．

因此可以取n(1,3,0)，由PA(1,0,1)，

可得|cos|=

2

4

，

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为

2

4

．

高考真题（理科数学）第8页—共13页

19．(本小题12 分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如下：

性别

男女是否需要志愿

需要40 30

不需要160 270

(Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(Ⅱ)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(Ⅲ)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．

附：K 2

2 n( a d bc)

(a b)( c d)( a c)(b d)

2

P(K ?k)0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

【解析】(Ⅰ)调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，

需要帮助的老年人的比例的估算值为

70

500

14% ．

(Ⅱ)

2

2 500 (40 270 30 160)

K 9.967 ．200 300 70 430

由于9．967>6．635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

(Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出

该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时

，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

20．（本小题满分12 分）

2 2

x y

设 E : 1(a b 0)

F1, F2 分别是椭圆

2 2

a b

的左、右焦点，过F1 斜率为 1 的直线l

高考真题（理科数学）第9页

—共13页

与E相交于A,B两点，且A F2,AB,BF2成等差数列．

(Ⅰ)求E的离心率；

(Ⅱ)设点P(0,1)满足PA PB，求E的方程．

【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知AF2BF2AB4a，又2AB AF2BF2，

得

4 AB a．

3

l的方程为y x c，其中22

c a b．

y x c

设A x1,y1，B x2,y2，则A、B两点坐标满足方程组22

x y

221

a b

，

化简的222222220

a b x a cx a c b．

则

222

2

2a c

a c b

x x,x x

12221222

a b a b

．

因为直线AB斜率为1，所以AB2

2x x2x x4x x

211212

得

2

44ab

a

22

3a b

,故222

a b，

所以E的离心率e

222

c a b

a a2

．

(Ⅱ)设AB的中点为N x0,y0，由(I)知

2

x x a c2

12

x c 022

2a b3，

c

y x c．

003

由PA PB，得1

k，

PN

即y

x

1

1，

得c3，从而a32,b3，

故椭圆E的方程为

22

x y

189

1．

高考真题（理科数学）第10页—共13页

21．（本小题满分12 分）

设函数x 2

f (x) e 1 x ax ．

(Ⅰ)若a 0，求f (x) 的单调区间；

(Ⅱ)若当x 0时f (x) 0，求a 的取值范围．

x x

【解析】(Ⅰ) a 0时，( ) 1

f x e x ，f '( x) e 1．

当x ( ,0) 时， f '( x) 0；当x (0, ) 时， f '( x) 0 ．故 f ( x) 在( ,0) 单调减少，在(0, )单调增加．

x

(Ⅱ) f '(x ) e 1 2ax ，

x

由(Ⅰ)知 1

e x ，当且仅当x 0时等号成立．故

f '( x) x 2ax (1 2a) x ，

从而当12a 0，即

1

a 时， f '( x) 0 ( x 0) ，而 f (0) 0，

2

于是当x 0时，f ( x) 0．

x x

由 1 ( 0)

e x x 可得e 1 x(x 0) ．从而当

1

a 时，

2

x x x x x

f '( x) e 1 2a(e 1) e (e1)(e 2a) ，

故当x (0,ln 2a) 时， f '( x) 0，而 f (0) 0，于是当x (0,ln 2a) 时， f ( x) 0．综合得a 的取值范围为( ,1]

2

．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧AC BD ，过 C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 E 点，证明：(Ⅰ) ACE= BCD ；

高考真题（理科数学）第11页—共13页

(Ⅱ) 2

BC =BE ×CD．

【解析】(Ⅰ)因为AC BC ,所以BCD ABC ．又因为

EC与圆相切于点 C ，故ACE ABC ，所以ACE BCD ．

(Ⅱ)因为ECB CDB , EBC BCD ,

所以BDC ∽ECB，故BC CD BE BC

，

即 2

BC BE CD ．

23．（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线 C ：

1 x 1 t cos

y t sin

(t为参数) ，圆C2

x

y

cos

sin

（为参数）．

(Ⅰ)当=

3 时，求

C 与C2 的交点坐标；

1

(Ⅱ)过坐标原点O 做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

【解析】(Ⅰ)当

3

时，C1的普通方程为y 3( x 1) ，C2 的普通方程为

2 2 1

x y ．联立方程组y3( x 1)

2 2

x y 1

，

解得C 与C2 的交点为(1,0)，1 1 3 ，．2 2

(Ⅱ) C1 的普通方程为x sin y cos sin 0 ．

A 点坐标为 2

sin cos sin ，

故当变化时，P 点轨迹的参数方程为：

x y 1

2

sin

1

s

i

n

c

o

s

2

2

为参数，P 点轨迹的普通方程为

1 1

2 2

(x) y ．

4 16