公交线路

公交线路最优方案

摘要

明年8月第29届奥运会将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，这将对北京的交通带来巨大的影响。本文以给出的北京地区公交路线为参考资料，根据公交网络换乘问题构建了公共交通网络模型。对三个问题的解决方案如下：

（1）针对问题1，本文首先利用MATLAB编程将公交线路读出，求出各站点间的邻接矩阵。再根据所求的邻接矩阵。对求得的邻接矩阵进行处理；判断起点和终点之间有没有直达的线路，如有就确定为最优线路，没有就在通过程序寻找一个合适的数值（记为M）作为限制（即找出邻接点最多的那部分站点），找出通过次数超过这个数值的站点。

下一步则寻找换乘站点。通过把求得的站点与要求的起点和终点，建立循环逐个修改开始站点与最终站点的值可求出通过各站点的路线，再将经过所求得的站点的路线与经过起点和终点的路线进行比较，寻找相同的路线，若存在，则这个站点可以作为所给的这对起点与终点的中转站（但根据人们乘车的习惯，假设中转的次数不超过2次）。如果的站点中无法找到中转站，则调整M的值，直到可以找到可行的乘车路线为止。

根据得到的可行乘车线路，利用路过分别与费用和时间的函数关系，计算出按照吸收较小转车次数的原则，比较用钱少、费时少的线路，最终得到最优的乘车方案。

（2）针对问题2，根据地铁与邻近站点可换乘的信息，可将换乘地铁站和公汽站视为对等的，与问题1相似，利用相同的方法求出最优线路，但是情况比问题1更复杂，特别是地铁与地铁之间还可以换乘，这需要单独进行考虑。此时，站点数、费用和时间的函数发生了变化，因此，利用新的函数表达式求解再比较得到最优线路。

（3）针对问题3，考虑步行时，可先利用图论中的Floyd算法求出任意两站点间的最短道路，并在此基础上求出这段路步行所需要的时间。再在第二问的基础上，对时间加一个阈值T。当计算出的两点间最短路的步行时间<阈值T时，就选择步行，否则，选择问题2中求得的最优线路。

本文所考虑的算法，可以查询任意两个站点间的乘车最优路径。

关键词

MATLAB程序、公交换乘、限制求解、Floyd算法、最优线路

正文

一．问题重述

我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。

为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：

1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。

(1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485

(4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S3676

2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

3、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。

二．模型假设

1、假设车站不重名。

2、假设各路径上公交车发车频率相同，假设相邻站点间平均行驶时间一定。

3、假设不出现交通阻塞，公交运行顺畅，不出现车辆故障及道路交通事故。

4、假设公交准时到达，不考虑红绿灯等待时间

5、乘客到起始站可以直接选择公汽或地铁班次上车，即不记在起始站的等待时间。

6、在实际过程中，对于公交（包括公汽与地铁）可能要换车2次以上，用户已无法容忍，视为无法到达。（因为如果他们之间换乘就使得费用增大了很多，这是人们不愿意看到的，且一般只坐地铁是无法到达终点站的，所以还要再换乘其他的工具，换乘次数太大我们也不再将其纳入考虑的范围）。

7、已知所有站点之间的步行时间。

8、同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘(无需支付地铁费)。 9、郊县和繁华地区公交车站的间隔大概一致。

三．名词解释与符号说明

ij x ------弧),(j i 是否在该有向赋权图上； ij t ------站点j i →的总乘车时间； ij f ------第i 个站点是否为j i →的始发站； ij P ------站点j i →的乘车费用。

M ------求取局部最优解的限制值。

T ------判断是坐车还是步行的阈值，但这个值因人而易。

四．模型的建立与求解

4.1问题的分析

该题主要在三种不同情况下，研究任意两站点之间的线路选择问题，对公交乘客的出行心理进行的研究的结果表明，“换乘次数”是大部分公交乘客在选择出行路线时首先考虑的因素，其次是出行耗时和距离长短。而出行耗费的时间与换乘的次数，及等车的时间以及距离的长短密切相关。因此，对于出行耗时和距离长短，转化为换乘次数最少的基础上出行距离最短的问题。

对公交换乘的问题进行研究，首先就是要解决公共交通网络模型如何合理地表述，其次是公交换乘问题的解决思想。公共交通网络不同于一般的道路交通网络，在许多书籍文献中都对公共交通网络的特点进行了阐述，如网络的连通性不同于普通道路网，结点有其空间位置特性和一对多的属性等，并分析了弧段的特性及有向线的性质。对于公交网络的特点不再赘述。在GIS 网络分析中，公共交通网络可以映射为一个有向图。根据公共交通网络的特点，把公交网络模型映射为，其中，G 为有向赋权图；V 表示网络上所有结点即公交站点的集合，一个公交站点可能是多条公交线路的上下客站点；表示网络边(连接公交线路上两个公交站点之间的弧段)的集合，若A 站点与B 站点是n 条线路的相邻上下客站点，那么A 与B 之间至多有2n 条连接边：R 表示网络上连接起始点和目标点间所有结点的公交线路的集合。最优出行路径就是指乘客从起始点到目标点所选择的一系列连通结点组成的距离最短的路段及最少换乘的公交线路的集合。

在GIS 中道路网络的基本框架是“结点一弧段”模型。但对于弧段包含的属性是一对多的关系、弧段使用线型系统而不是二维坐标确定点的位置、弧段中的属性需要分段处理等情况，这种模型显得无能为力。这里将交通网络模型采用“结点一弧段(可有多条弧段)一有向线”的数据结构来存储网络图。按照公共汽车线路选择所经过的“站点

一路线一站点”形成路径分析中的有向线。所以以分支多的站点作为求解换乘站点的突破点。

由对与各站点邻接的站点的个数的统计，可以断定邻接点个数较小的站点的可能性比较小，所以我们并没有必要对所有的站点进行搜索，找寻换乘点；而只需在含有邻接点个数较大的站点中找寻，从而产生了限制性的搜索方法。

4.2模型的建立

一、只考虑公汽的情形：

三种公汽线路抽象处理

1）下行线、上行线原路返回

这种线路有两个端点站，在两个端点之间双向行车，而且两个方向上的行车路线相同，经过同样的站点序列，由于线路的方向不同，因此，下行线和上行线可以抽象成两条线路处理，如图所示

2） 线路为环形线

实际中环形路线一般是双环，但在对这两条线路进行抽象时，为保证任意两站点距离最近，把每条线路再抽象成两条

3）下行线与上行线经过站点不同

由于下行线与上行线经过站点不同，显然，该种线路需要抽象成两条线路处理

对于任意的起点和终点，可能存在以下四种情况：

（1）起点与终点在同一线路上，不需要换车（即存在直达路线）； （2）起点与终点不在同一线路上，需要换车1次； （3）起点与终点不在同一线路上，需要换车2次；

（4）起点与终点不在同一线路上，需要换车次数大于2次，视为通过换车无法达到（见模型假设2）。

为尽量满足使换乘次数达到最少，首先利用递归的方式，判断起点和终点之间是否有直达路线，如有就比较其用时与费用，选择花费时间与金钱都最少的路线作为最优路

1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 12S 11S

10S

线；否则，就确定M 的值，选择含有邻接站点个数大于M 的那些站点进行考虑（即采取限制求解的方法），在他们中间寻找换乘站点，而不是对所有的路线进行考虑。

根据得到的可行乘车线路，考虑转乘次数，行程总时间和总费用 目标

()

1min

,-∑∈E

j i ij

x 换乘次数最少 ；

()()315min ,,+???

?

??-+∑∑∈∈E j i ij E j i ij ij x x t 行程总时间最短；

()

∑∈E

j i ij

ij x

f ,min

行程总费用最少；

约束条件

()()()()

(){}()?????

????∈∈≠=====-≤-∑∑∑∈=∈=∈E

j i x e s i e i s i x x c x t s ij n E j i j ji n E j i j ij E j i ij ,,1,0,01-)(11..,1,1,或或

二、同时考虑公汽与地铁线路的情形：

因为公汽与地铁之间可以换乘，所以当同时考虑公汽与地铁线路时，可以将可换乘的地铁站和公汽站视为对等的，这样就与第一小问相同了，可利用相同的方法来解决。虽然仍只是先求出可行线路，但情况要更复杂了，特别是地铁与地铁之间的换乘，这还需要单独进行考虑。此外，此时站数分别与费用和时间的函数却发生了变化，需利用新的函数表达式求解再比较得到最优线路。

目标

()

1min

'

,-∑∈E j i ij

x 换乘次数最少 ；

()

∑∈+

+'

,'21min E j i ij ij

y t T T 行程总时间最短；

()

∑∑==∈-

3

','18

,12'

,3'min

jk ij q q D D j ijk

E j i ij ij

Y

x P 行程总费用最少；

约束条件

()[)()()()()()(){}(){}()????

??

??

???????∈∈∈∈=≤=∈≥+≠=====-+∞∈≤-∑∑∑∑∈∈=∈=∈'

,,,1,0'

,,1,02,,22

,,',,,2,01-)(1,0,1..',,,1

,1'

,E k j i Y E j i y Z Z Y Z Z E k j i Y y y e s i e i s i y y c c y t s ijk ij E k j i jk ij ijk jk ij ijk jk ij n

E j i j ji n E

j i j ij E j i ij 或或且为整数

‘

三、当已知所有站点之间的步行时间时的情形： Floyd 算法模型

设图G=（V,E ）,ij w 表示边()

j i v v ,上的权，若i v 和j v 不相邻，则+∞=ij w ；用ij d 表示顶点i v 到顶点j v 的最短距离，则对于任何一个顶点V v k ∈，从顶点i v 到顶点j v 的最短路或者经过k v ，或者不经过k v ，这样就可以利用动态规划的思想来比较ij d 和kj ik d d +的大小。若kj ik ij d d d +>，则令kj ik ij d d d +=，保持ij d 就是顶点i v 到顶点j v 的最短距离。重复

换乘次 数约束 地铁间换乘约束 （站点k j i →→间是否地铁换乘地铁，用ijk Y 表示）

这一过程，最后，当搜索完所有顶点k v 时，ij d 就是顶点i v 到顶点j v 的最短距离，该算法就是Floyd 算法，其步骤如下：

Step1 输入图G 的权矩阵W ，对所有的j i ,，有ij ij w d =，1=k ； Step2 更新ij d ，对所有的j i ,若ij kj ik d d d <+，则令kj ik ij d d d +=；

Step3 若0

可先利用图论中的Floyd 算法[1]求出任意两站点间的最短道路，并在此基础上求出这段路步行所需要的时间。再在第二问的基础上，对时间加一个阈值T 。

①、当计算出的两点间最短路的步行时间<阈值T 时，就选择步行，走得到的最短道路； ②、当计算出的两点间最短路的步行时间>阈值T 时，就选择第二问中求得的最优线路。 4.3模型的求解

问题一、只考虑公汽的情形求解结果得：

针对问题1，运用本文所述算法，求得6条线路的乘车公交线路如下：

（1）、S3359→S1828 换乘一次

（其中粗线条的行表示求得的最优公汽线路） （2）、S1557→S0481 换乘两次

起点站 班次 中转站 班次 终点站 时间 总费用 S3359 L436 S2606 L217 S1828 130 3 S3359

L436

S1784

L167

S1828

101

3

（3）、S0971→S0485 换乘一次

（4）、S0008→S0073 换乘一次

起点站 班次

中转站一 班次

中转站二 班次

终点站 时间

总费用 S1557 L84 S0028 L348 S2361 L312 S0481 157 4 S1557 L84 S0055 L348 S2361 L312 S0481 160 3 S1557 L84 S0978 L206 S1511 L460 S0481 162 4 S1557 L84 S0987 L212 S3409 L460 S0481 133 3 S1557 L84 S1919 L189 S3186 L460 S0481 106 3 S1557 L84 S1921 L279 S0618 L72 S0481 169 4 S1557 L84 S1921 L279 S0327 L72 S0481 160 3 S1557

L84 S1921 L80 S0618 L72 S0481 169 4 S1557

L84 S1921 L58 S3879 L239 S0481 196 4 S1557

L84 S1921 L58 S3878 L514 S0481 193 4 S1557 L84 S1921 L80 S1327 L72 S0481 160 3 S1557 L84 S1919 L80 S0618 L72 S0481 160 4 S1557 L84

S1919

L80

S1327

L72

S0481

151 3

起点站 班次 中转站 班次 终点站 时间 总费用 S0971

L13

S0992

L417

S0485

131

3

起点站 班次 中转站 班次 终点站 时间 总费用 S0008 L159 S3919 L103 S0073 149 3 S0008 L198 S1383 L282 S0073 113 3 S0008 L198 S3766 L282 S0073 113 3 S0008

L355

S2302

L57

S0073

86 2

（5）、S0148→S0485 换乘两次

（6）、S0087→S3676 换乘一次

问题二、同时考虑地铁的情形求解结果得：

对于问题（1）、（2）、（3）、（4），加入地铁后的所有线路，由于需要换乘的次数较多，超过了人们可以承受的换乘次数，且如果采纳这样的路线行使，会使金钱上的花费巨大，所以不采用这类方案，而直接采用一种交通工具即公汽。那么在这种情形下，问题（1）、（2）、（3）、（4）的最优路线并没有改变，即上面表格统计的结果。 针对问题2，与问题1相比，其中的第（5）和（6）的乘车线路有变化： （5）、S0148→S0485 公汽→地铁→公汽

（6）、S0087→S3676 坐地铁T2直达

S0008 L463 S1383 L282 S0073 113 3 S0008 L463 S2083 L170 S0073 92 2 S0008 L463 S2084 L170 S0073 92 2

起点站 班次

中转站一 班次

中转站二 班次

终点站 时间 总费用 S0148 L308 S0128

L276 S1671

L395

S0485

232 6

起点站 班次 中转站 班次 终点站 时间 总费用 S0087

L454

S3496

L209

S3676

100

2

起点站 班次 中转站一 中转站二 班次 中转站三 中转站四 班次 终点站 时间 总费用 S0148

L24

S1487

D2

T1

D21

S0464

L469

S0485

87.5

5

起点站 中转站 班次 中转站 终点站 时间 总费用 S0087

D27

T2

D36

S3676

29

3

问题三、当已知所有站点之间的步行时间时的情形：

1、可先利用图论中的Floyd算法[1]求出任意两站点间的最短道路，并在此基础上求出这段路步行所需要的时间。

2、再在第二问的基础上，对时间加一个阈值T。

①、当计算出的两点间最短路的步行时间<阈值T时，就选择步行，走得到的最短道路；

②、当计算出的两点间最短路的步行时间>阈值T时，就选择第二问中求得的最优线路。

五．模型评价与改进

模型的评价

一方面，因为我们采取的措施是限制求解，所以求得的结果不一定是全局最优解。但所得结果一定是局部最优解，且具有较强的适用性，可以缓解计算机因为数据过多而无法运行或死机等问题。除此以外他还可以节约计算机运行的时间。

另一方面，即使说求出来的是全局最优解，那也只是限于对题目中所给的数据而已，在实际生活中，往往还有许多影响人们行使路线的因素，且每个人对金钱和时间的考虑都不同，所以这也只对大部分人适用。

再者，虽然我们得到的是局部最优解，但事实上在很多时候是不需要采取全局最优解的方案的。原因是如果这个地区的人都采取这样的方案来实施，那么就会使资源分配不均，造成很多新的现象（如堵车等）来影响这个措施的实施过程，使其答不到他预期的效果，而相反的，局部最优解相对而言在资源的配置方面就更具有可实施性。

最后，在转乘次数超过两次的情况下，运用本模型求解计算过程复杂，计算量过大，故本模型存在一定的局限性。

模型的改进方向

显然这个模型如上面所提到的，还有一些不足之处，如对不同人群的实用性的解决，我建议可以设定两个参数：在人们心目中金钱与时间所占的比重。即利用层次分析法的原理，在模型的最后一步，确定最优解时，可根据人们自己的需求来选择。使其基本满足每个人的需求，消除个体差异性对模型结果实用性的影响。

参考资料

[1] 赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2000.

[2] 陈友华，周礼刚，刘金培，数学模型与数学建模，北京，科学出版社，2014

[3] 翁敏，公交线路网络分析的若干关键技术研究[D]，武汉：武汉测绘科技大学，2000.

附录：

【附录1】基本参数设定

相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟

相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)： 2.5分钟

公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟)

地铁换乘地铁平均耗时： 4分钟(其中步行时间2分钟)

地铁换乘公汽平均耗时： 7分钟(其中步行时间4分钟)

公汽换乘地铁平均耗时： 6分钟(其中步行时间4分钟)

公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：0～

20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元

地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）

【附录2】求解各个站点间的邻接矩阵：

%function y=sxjm_cs_line_1111(x)

clear all

%产生上行和下行的两个520＊200的矩阵，行号表示线路号，列号表示线路的每个站点，

一条线路从第一列开始放置，后面不足的为0。

up_line=zeros(520,200);%保存上行线

down_line=zeros(520,200);%保存下行线

%读线路文件，

fid=fopen('D:\MATLAB6p5\work\11line.txt','r');%执行时，修改其中的路径为所读

取的文件

line_num=1;

while line_num<=520

A=fgetl(fid);%读第一行：线路号

A=fgetl(fid);%读第二行：计费方法

A=fgetl(fid);%读第三行：上行

if A(1,1)>='0' & A(1,1)<='9' %下行线是“上行线原路返回”（站点名完全相同），则第四行为空，仅有第三行有数据，且直接以始发站编号开头。

B=str2num(A);

[m,n]=size(B');

for i=1:m%保存第三行，“原路返回”中的上行线。

up_line(line_num,i)=B(1,i);

end

tt=1;

for i=m:-1:1%保存第四行，“原路返回”中的下行线。

down_line(line_num,tt)=B(1,i);

tt=tt+1;

end

A=fgetl(fid);%读第四行：下行线路，为空行，是第三行的反过程。

else %保存“上下行线”和“环线”

[m,n]=size(A);

BB=A(1,7:n);

B=str2num(BB);

[m,n]=size(B');

for i=1:m

up_line(line_num,i)=B(1,i);%保存第三行，包括“环线”和“上下行线”中的上行线。

end

A=fgetl(fid);%读第四行：如为“环线”，则第四行为空。此时，下面的if 语句不执行。如为“上下行线”则执行。

if size(A)%第四行：下行线信息，以“下行：”开头，之后为站点信息。

[m,n]=size(A);

B=str2num(A(1,7:n));

[m,n]=size(B');

for i=1:m

down_line(line_num,i)=B(1,i);%保存第四行，只保存“上下行线”中的下行线。

end

end

end

line_num=line_num+1;

end

fclose(fid);%关闭文件

%产生3957＊3957的邻接矩阵

relation_matrix=zeros(3957,3957); %定义站点数组,行为:上一站,列为:下一

站

for i=1:520

col=2;

while up_line(i,col)>0%将上行线中的线路输入邻接矩阵

relation_matrix(up_line(i,col-1),up_line(i,col))=relation_matrix(up _line(i,col-1),up_line(i,col))+1;

col=col+1;

end

col=2;

while down_line(i,col)>0%将下行线中的线路输入邻接矩阵

relation_matrix(down_line(i,col-1),down_line(i,col))=relation_matri x(down_line(i,col-1),down_line(i,col))+1;

col=col+1;

end

end

【附录3】对3957＊3957的邻接矩阵进行处理，用下面标记的红色数值作为限制，找出通过次数超过其的站点：

max_station=3957;

re=zeros(1,3957);

for i=1:3957

t=1;

for j=1:3957

if relation_matrix(i,j)>0

t=t+1;

end

end

re(1,i)=t;

end

max=1;

t=1;

for i=1:3957

if re(1,i)>9

i

t=t+1;

end

end

t

max;

re_dec=zeros(3957,max);%max=16

for i=1:3957

tt=1;

for j=1:3957

k=relation_matrix(i,j);

if k>0

re_dec(i,tt)=j;

tt=tt+1;

end

end

end

【附录4】把求得的站点和要求的起点和终点，利用下面的程序诼个修改标记部分，可求出通过各站点的路线，再将经过所求得的站点的路线与经过起点和终点的路线进行比较，寻找相同的路线，若存在，则这个站点可以作为所给的这对起点与终点的中转站。从而就找到了这条线路可能的乘车路线。

clear all

%产生上行和下行的两个520＊100的矩阵，行号表示线路号，列号表示线路的每个站点，一条线路从第一列开始放置，后面不足的为0。

up_line=zeros(520,100);%保存上行线

down_line=zeros(520,100);%保存下行线

%读线路文件，

fid=fopen('C:\MATLAB6p5\work\11line.txt','r');%执行时，修改其中的路径为所读取的文件

line_num=1;

while line_num<=520

A=fgetl(fid);%读第一行：线路号

A=fgetl(fid);%读第二行：计费方法

A=fgetl(fid);%读第三行：上行

if A(1,1)>='0' & A(1,1)<='9' %下行线是“上行线原路返回”（站点名完全相同），则第四行为空，仅有第三行有数据，且直接以始发站编号开头。

B=str2num(A);

[m,n]=size(B');

for i=1:m%保存第三行，“原路返回”中的上行线。

up_line(line_num,i)=B(1,i);

end

tt=1;

for i=m:-1:1%保存第四行，“原路返回”中的下行线。

down_line(line_num,tt)=B(1,i);

tt=tt+1;

end

A=fgetl(fid);%读第四行：下行线路，为空行，是第三行的反过程。

else %保存“上下行线”和“环线”

[m,n]=size(A);

BB=A(1,7:n);

B=str2num(BB);

[m,n]=size(B');

for i=1:m

up_line(line_num,i)=B(1,i);%保存第三行，包括“环线”和“上下行线”中的上行线。

end

A=fgetl(fid);%读第四行：如为“环线”，则第四行为空。此时，下面的if

语句不执行。如为“上下行线”则执行。

if size(A)%第四行：下行线信息，以“下行：”开头，之后为站点信息。

[m,n]=size(A);

B=str2num(A(1,7:n));

[m,n]=size(B');

for i=1:m

down_line(line_num,i)=B(1,i);%保存第四行，只保存“上下行线”中的下行线。

end

end

end

line_num=line_num+1;

end

fclose(fid);%关闭文件

fid=fopen('d:\line.m','w');

begin_s=3359;

end_s=1828;

tt=1;

for i=1:520

for j=1:100

if up_line(i,j)==begin_s

fprintf(fid,'%d ',i);

tt=tt+1;

end

end

end

fprintf('\n \n ');

tt=1;

for i=1:520

for j=1:100

if down_line(i,j)==begin_s

fprintf(fid,'%d ',i);

tt=tt+1;

end

end

end

fprintf('\n \n ');

tt=1;

for i=1:520

for j=1:100

if up_line(i,j)==end_s

fprintf(fid,'%d ',i);

tt=tt+1;

end

end

end

fprintf('\n \n ');

tt=1;

for i=1:520

for j=1:100

if down_line(i,j)==end_s

fprintf(fid,'%d ',i);

tt=tt+1;

end

end

end

fclose(fid);

【附录5】利用Floyd算法求任意两站点间的最短道路①、在MATLAB中建立一个函数M文件floyd.m

function[D,R]=floyd(a)

n=size(a,1);

D=a

for i=1:n

for j=1:n

R(i,j)=j;

end

end

R

for k=1:n

for i=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);

R(i,j)=R(i,k);

end

end

end

k

D

R

②、调用函数，求任意两站点间的最短道路

for i=1:3996

for j=1:3996

a=relation_matrix(i,j)

end

end

[D,R]=folyd(a)