自回归模型AR详解哦
自回归模型AR(p)的整体估计
【摘要】：主要讨论时间序列的自回归模型AR(p)的参数估计问题，列出常用的普通最小二乘估计。但实际的观测值是含有随机误差的，且与自身前一个或前几个时刻的观测值有关或有依赖性，都要考虑其所含的随机误差，所以引入整体最小二乘法的思想进行参数估计，得出相应的公式，最后并以算例加以验证与分析讨论。 关键词：自回归模型；参数估计；整体最小二乘估计；
A Total Least Square Estimation of Autoregressive Processes
Abstract:It discusses mainly the time series autoregressive model AR (p) of the parameter estimation problem, listing commonly used ordinary least squares estimation. But the actual observation contains random error, and with their own previous or the first few moments of the observations relating to, or dependent,so we must take into account the random error it contains.We introduce the total least squares parameter Estimates, and obtain the corresponding formula . In the last give the example to the verification and analysis.
Key words: autoregressive process; estimation of parameter; total least square estimation;
0 引言
时间序列分析的目标就是通过分析要素(变量)随时间变化的历史过程, 揭示其变化发展规律, 并对未来状态进行分析预测[1]
。如在变形测量中,可以采用时间序列分析方法对观测数据进行分析,以便建立变形体的动态变形预测模型,并对其变形趋势进行预测。所谓时间序列的参数估计，就是在模型结构及阶次已确定的条件下，对模型参数与进行估计，使所建立的模型是实际时间序列的“最佳”拟合模型[1]
。但在实际的观测中，观测值是由一定观测手段得到的，不可避免地含有随机误差，在这种情况下,普通的最小二乘估值难以保证结果的最优性。本文将整体最小二乘法的思想引入时间序列模型中，不仅考虑自身观测值的误差，同时考虑与其有关的自身前一个或前几个时刻的观测值的误差，从而进行参数估计。能够为预测得出更为准确的数据。
1 自回归模型[1] 1.1 模型
子样观测值{ ,1,0,±=i x i },白噪声序列表示为{t a },回归系数用)
,,2,1(p j j =?表示，则可得到的AR 模型：
t p t p t t t a x x x x ++++=---??? 2211 (1)
1.2模型参数的最小二乘估计
设样本观测值{ ,1,0,±=t X t }，记
[
]
T
N
p p x x x Y 21
++=
[]T N p p a a a 21++=ε []T p ???? 21=
??
?????
????
???=---+-p N N N p p p p x x x x x x x x x A
2
1
21
11
则AR(p)模型可以表示为
ε?+=A Y （2） 由最小二乘原理可得到模型参数的估计为
Y A A A T T 1)(?-=?
那么根据最小二乘估计值可以得到噪声的估值为
p p t t t t t x x x x a
???????2211-------= ),,1(N p t += 噪声方差2
?a σ
的最小二乘估值为 εεσ??1?112
2
T N
p t t
u p N a p N -=-=∑+=∧ 2 整体最小二乘法参数估计
在进行许多时间序列分析的实际问题中，建立模型的主要目的就是在确定模型参数之后，对未来可能出现的结果进行分析预报。而结果又与自身前一个或前几个时刻的观测值有关，观测必有误差的存在，所以不能忽略之前观测值A 的随机误差。整体最小二乘法就是同时考虑自变量和因变量误差存在的算法。
方程(2)ε?+=A Y 与线性回归方程具有相同的形式。在线性回归中y=ax+b ，自变量x 是确定的，y 和b 是随机变量。在AR(p)模型中 ,,21--t t x x 自然也是随机变量，但在t-1时刻，它们均已确定不变，所以AR(p)模型可以看做条件线性回归模型，故可用多元回归分析中的有关方法进行参数估计[1]
。A 作为自身前一个或前几个时刻的观测值是确定已知的，但在观
测中是含有随机误差的，在计算中应该考虑其所含误差的影响。应用整体解算的方法进行解算。
2.1整体最小二乘原理及解算步骤。
TLS 的基本思想可以归纳为[2]
:观测方程1
,,1
,m m n n X Y β=中，不仅观测向量Y 中存在误差V y ，
同时系数矩阵X 中也含有误差V X 。此时，可用TLS 方法求得参数∧
β。也就是说，在TLS 中，考虑的是矩阵方程
()X V X +∧
β=Y V Y + （2-1） 或
??? ??+=+==X ^X ^^
^
^V Y V X X ,X Y Y ，β （2-2） 的求解。
在测量数据处理中，n 为观测个数，m 为参数个数，通常情况下n >m ，矩阵X 的秩
n m X R m n <=??
? ??,。显然式（2-1）的矩阵表示为 ()01][][^=???
?
????-+βV V
Y X
Y X
（2-3） 或等价为
()0=+z D B （2-4）
其中：
][1
,,1
,n m
n m n Y X
B =+为增广矩阵，][V V Y X
D =为误差矩阵，=+1,1m Z ????
?
?????-1^1,m β，求解上式的整体最小二乘方法可以表示为约束最优化问题：
m in =D
F
（2-5）
D
F
是D 的)(Frobenius
F 范数。 求的D F
=min 的问题称为TLS 问题，若能找到式(2-1)的一个最小点][V V YO XO ，
则任何满足()+=+Y X V XO
^
βV YO 的^
β都称为TLS 解
[3]
求解TLS 问题的主要工具是奇异值分解
[4]
，得
[]??
????-==???
???=??
????=+1?,,1βλZ k Y Y X
Y Y X X X Y X
Y X B B m T
T
T T T T T 令??
????=??????YY XY
XY XX
T
T
T T N N N N Y Y X Y Y X X
X ，得[]XY m XX N I N 11?-+-=λβ 综上所述，求解矩阵方程1
,,1
,m m n n X Y β
=中参数β的TLS 解TLS β的步骤为：
(1)列观测方程式1
,,1,m m
n n X Y β=;
(2)构成增广矩阵??
????=+1,,1,n m n m n Y X B ; (3)求矩阵B B T 的特征值，并求出最小特征值1+m λ;
(4)计算参数β的TLS 解1
,1
,1,^
1,m XY m m m m m XX m N I N -+????
??????-=λβ。
2.2自回归模型AR(p)的整体估计 线性模型：ε?+=A Y
用矩阵形式表示：β
?X Y = 式中：?β
==?,A X 可得：[]XY
m XX N I N 11?-+-==λβ?， 3 实例分析
以文献[3]例5.6的数据为样本观测数据，共计36个数据
沉降观测数据
(1) 模型参数的最小二乘估计 由文献[3]得模型阶数为3=p
误差方程 36,,5,4,???332211 =-++=---i x x b x b x b v i
i i i i 参数估计为 ??????????==????
??????=-635059.0327809.0041087.0)(????1321
Y X X X b b b T T β 得自回归模型 321635059.0327809.0041087.0---++=i i i i x x x x
)(80.0?,6476.030
4286.192?2
mm p n V V T ===-=σσ
(2) 整体估计
参数估计为 []??????????=-=????
??????=-+XY m XX N I N b b b 11321????λβ 得自回归模型
4 结论
不足之处在于矩阵A 中是不同时刻的观测值，需要在每个时刻都要进行平差求解才行，这里只是一个整体的结算过程，还需要进行每一的迭代计算。 参考文献
[1]吴怀宇. 武汉：武汉大学出版社[M].2004.
[2]Van Huffel S,Vandewalle J.The Total least Squares Proble,Computational Aspects and
Analysis,Math,SIAM[J].Philadelphia,1991.
[3]邱卫宁，陶本藻，姚宜斌，吴云，黄海兰.测量数据处理理论与方法[M].武汉：武汉大学出版社，2008
[4]俞锦成.关于整体最小二乘的可解性[J].南京师范大学学报(自然科学版)，1996，19(1):13-16.
自回归分布滞后模型ADL的运用试验指导-时间序列分析
案例六 自回归分布滞后模型（ADL ）的运用实验指导 一、实验目的 理解ADL 模型的原理与应用条件，学会运用ADL 模型来估计变量之间长期稳定关系。理解从经济理论上来说，两个经济变量之间的确有长期关系采用使用该模型进行估计。理解ADL 模型的优点：不管回归项是不是1阶单整或平稳都可以进行检验和估计。而进行标准的协整分析前，必须把变量分类成(0)I 和(1)I 。 二、基本概念 Jorgenson(1966)提出的（,p q ）阶自回归分布滞后模型ADL(autoregressive distributed lag)：011111 i t t p t p t t q t q i t i i y y y ταφφεθεθεβ-----='=++++--+∑x ，其中t i -x 是滞后i 期 的外生变量向量（维数与变量个数相同），且每个外生变量的最大滞后阶数为i τ，i β是参数向量。当不存在外生变量时，模型就退化为一般ARMA （,p q ）模型。 如果模型中不含有移动平均项，可以采用OLS 方法估计参数，若模型中含有移动平均项，线性OLS 估计将是非一致性估计，应采用非线性最小二乘估计。 三、实验内容及要求 （1）实验内容 运用ADL 模型研究1992年1月到1998年12月我国城镇居民月对数人均生活费支出yt 和对数可支配收入xt 之间的长期稳定关系。 （2）实验要求 在认真理解模型应用条件的基础上，通过实验掌握ADL 模型的实际应用方法，并熟悉Eniews 的具体操作过程。 四、实验指导 （1）数据录入 打开Eviews 软件，选择“File”菜单中的“New --Workfile”选项，在“Workfile structure type ”栏选择“Dated-regular frequency ”，在“Data specification ”栏中“Frequency ”中选择“Monthly ”即月份数据，起始时间输入1992m1即1992年1月份，止于1998m12，点击ok ，见图6-1，这样就建立了一个工作文件。 图6-1 建立工作文件窗口
向量自回归模型简介
一、Var模型的基本介绍 向量自回归模型（Vector Autoregressive Models，VAR）最早由Sims（1980）提出。他认为，如果模型设定和识别不准确，那么模型就不能准确地反应经济系统的动态特性，也不能很好地进行动态模拟和政策分析。因此，VAR模型通常使用最少的经济理论假设，以时间序列的统计特征为出发点，通常对经济系统进行冲击响应（Impulse-Response）分析来了解经济系统的动态特性和冲击传导机制。由于VAR模型侧重于描述经济的动态特性，因而它不仅可以验证各种经济理论假设，而且在政策模拟上具有优越性。 VAR模型主要用于替代联立方程结构模型，提高经济预测的准确性。用联立方程模型研究宏观经济问题，是当前世界各国经济学者的一种通用做法，它把理论分析和实际统计数据结合起来，利用现行回归或非线性回归分析方法，确定经济变量之间的结构关系，构成一个由若干方程组成的模型系统。联立方程模型适合于经济结构分析，但不适合于预测：联立方程模型的预测结果的精度不高，其主要原因是需要对外生变量本身进行预测。与联立方程模型不同，VAR模型相对简洁明了，特别适合于中短期预测。目前，VAR模型在宏观经济和商业金融预测等领域获得了广泛应用。 二、VAR模型的设定 VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。 一个VAR(p)模型可以写成为： 或： 其中：c是n × 1常数向量，A i是n × n矩阵，p是滞后阶数，A(L)是滞后多项式矩阵，L是滞后算子。是n × 1误差向量，满足： 1. —误差项的均值为0 2. Ω—误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵） 3.（对于所有不为0的p都满足）—误差项不存在自相关 虽然从模型形式上来看比较简单，但在利用VAR模型进行分析之前，对模型的设定还需要意以下两点： 一是变量的选择。理论上来讲，既然VAR模型把经济作为一个系统来研究，那么模型中
FDI创新溢出与门槛效应——基于非线性面板平滑转换回归模型的分析
FDI创新溢出与门槛效应 ——基于非线性面板平滑转换回归模型的分析 摘要：本文采用面板数据的变系数模型和非线性面板平滑转换回归模型对1998～2008年我国高技术产业13个细分行业中FDI的创新溢出和门槛效应进行检验和测算，结果显示：FDI创新溢出效应在我国高技术产业各细分行业中存在明显差异；行业技术水平、人力资本、市场竞争程度对高技术产业FDI创新溢出效应皆存在门槛效应，具体而言，当内资企业行业技术水平超过0.756的门槛值后，FDI创新溢出提升的速度明显加快；当内资企业的人力资本跨过的7.79门槛值后，FDI创新溢出效应出现显著的跃升；FDI创新溢出效应只有在市场竞争程度较激烈(赫芬达指数＜638.0)的行业才更为明显；与人力资本、市场竞争程度相比，行业技术水平对FDI创新溢出的影响最为显著。 关键词：创新溢出效应，门槛效应，面板平滑转换回归模型 一、引言 在全球经济一体化步伐不断加快和国际市场竞争日趋激烈的情况下，如何有效提高企业的技术创新能力，已成为各国政府、企业与学术界高度关注的一个焦点问题。大多数学者的研究显示，FDI研发活动的溢出效应是企业技术创新的重要来源之一。我国作为吸收FDI最多的发展中国家，FDI的大量流入及其在华研发投资力度不断加大是否促进了我国内资企业技术创新能力的提升？FDI的创新溢出在不同的行业是否存在差异性和门槛效应？本文拟采用我国高技术产业行业水平的面板数据，在研究FDI创新溢出效应行业差异的基础上，运用非线性面
板平滑转换回归(PSTR)模型对我国高技术产业FDI创新溢出的门槛效应做进一 步的检验，以揭示FDI创新溢出效应与若干影响因素之间的非线性关系，并对各影响因素的门槛水平进行测度。 关于FDI外部性的研究是从研究FDI的技术溢出效应开始的，学者们进行了大量的理论和经验研究。在这类研究中，研究者大多从整体上分析FDI对东道国整体技术进步的影响，较少涉及FDI对东道国技术创新能力的影响。而关于FDI 创新溢出效应的研究则起步较晚，研究文献相对薄弱，研究结论也不尽相同。Hu & Jefferson[1]采用大中型企业的数据研究了FDI对我国技术创新能力的影响，得出了正向溢出的结论；Cheung & Lin[2]采用1995～2000年地区层面的面板数据分析了FDI对我国专利申请量的影响，结果表明滞后一期FDI对专利申请量存在显著影响；侯润秀和官建成[3]运用我国1998～2002年大中型工业企业省际面板数据分析FDI对企业技术创新能力的影响时发现，FDI的流入对区域创新能力产生了显著的溢出效应；冼国明和严兵[4]采用我国1998～2003年的省际面板数据分析了FDI对专利申请量的影响，结果显示在经济发展水平相对落后的中、西部地区，FDI的创新溢出效应并不明显，而在溢出效应较为显著的东部地区，FDI 创新溢出效应则主要表现在一些技术水平相对较低的创新项目中；蒋殿春和夏良科[5]认为FDI的竞争效应不利于国内企业创新能力的成长，但通过示范效应和人员流动效应促进国内企业的研发活动。 现有的研究表明，FDI的溢出效应多发生在发达国家或那些经济发展水平较高、基础设施较为完善的发展中国家，这说明FDI的溢出效应并不是自动发生的，而要受到相关因素的制约。Perez[6]认为只有当东道国具备一定的技术水平，FDI 的技术溢出效应才能得到充分利用，这一现象被Borensztein et al.[7]称为“门槛效应”。FDI创新溢出的存在也存在类似的门槛效应。Liu & Trevor [8]运用
自回归综合移动平均预测模型
自回归综合移动平均预测模型 数据采集 本文选取了2011年某省电力系统从1月1日开始之后80天的电力负荷观测，如表一。 第n天 负荷量第n天负荷量第n天负荷量第n天负荷量 1 2565957.38 21 2705368.6 41 2429907.99 61 2743833.56 2 2588923.0 3 22 2677964.55 42 2476962.26 62 2736933.52 3 2595037.39 23 2667444.01 43 2576255. 4 63 2773791.8 4 2621899.1 5 24 2659986.34 44 2614097.2 64 2748178.37 5 2605604.4 25 2646095.54 45 2680843.85 65 2737334.22 6 2597404.13 26 2652315.14 46 2775056.43 66 2720053.61 7 2363386.42 27 2641570.43 47 2728907.25 67 2700061.15 8 2620185.38 28 2584430.88 48 2611172.72 68 2709553.04 9 2615940.83 29 2474001.24 49 2601989.82 69 2681309.47 10 2615480.96 30 2396095.97 50 2668757.4 70 2683185.56 11 2612348.58 31 2288598.13 51 2677390.06 71 2661837.7 12 2610054.23 32 2166399.62 52 2695802.63 72 2644097.64 13 2610964.36 33 2062979.7 53 2689571.21 73 2685694.93 14 2637653.21 34 1997281.18 54 2654423.52 74 2702991.02 15 2633388.14 35 1925136.26 55 2642984.00 5 75 2687024.37 5 16 2640311.3 36 1970438.06 56 2712142.78 76 2680354.45 17 2678530.11 37 1976557.67 8 57 2754918.32 77 2682596.37 18 2687189.9 38 2050309.54 58 2758839.28 78 2695560.6 19 2694733.01 39 2154488.52 59 2817728.94 79 2674342.97 20 2709637.21 8 40 2384011.84 60 2759327.72 80 2685891.98 表1 数据处理 利用spass绘制时间序列原始数据的散点图
资料：向量自回归模型__详解
第十四章 向量自回归模型 本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。 14.1 VAR 模型的背景及数学表达式 VAR 模型主要应用于宏观经济学。在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980 和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。 我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。一般的VAR(P)模型的数学表达式是。 11011{,}t t p t p t t q t q t y v A y A y B x B x B x t μ----=++???++++???++∈-∞+∞ （14.1） 其中1t t Kt y y y =??????（）表示K ×1阶随机向量， 1A 到p A 表示K ×K 阶的参数矩阵， t x 表示M ×1阶外生变量向量， 1B 到q B 是K ×M 阶待估系数矩阵， 并且假定t μ是白噪声序列；即， ()0,t E μ= '(),t t E μμ=∑并且'()0,t s E μμ=)t s ≠（。 在实际应用过程之中，由于滞后期p 和q 足够大，因此它能够完整的反映所构造模型的 全部动态关系信息。但这有一个严重的缺陷在于，如果滞后期越长，那么所要估计的参数就会变得越多，自由度就会减少。因此需要在自由度与滞后期之间找出一种均衡状态。一般的准则就是取许瓦咨准则（SC ）和池此信息准则(AIC)两者统计量最小时的滞后期，其统计量见式(14-2)与式（14-3）。 2/2/AIC l n k n =-+ （14.2）
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析 山东胡大波 判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。下面具体分析残差分析的途径及具体例子。 一、残差分析的两种方法 1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 2、可以进一步通过相关指数 ∑ ∑ = = - - - = n i i n i i i y y y y R 1 2 1 2 ^ 2 ) ( ) ( 1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2 R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。 二、典例分析： 例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 次数/x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩/y 30 34 37 39 42 46 48 51 试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。 解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。 次数 i x 成绩 i y2 i x2 i y i x i y 30 30 900 900 900 33 34 1089 1156 1122 35 37 1225 1369 1295 37 39 1369 1521 1443 39 42 1521 1764 1638 44 46 1936 2116 2024 46 48 2116 2304 2208
向量自回归与ARCH、GARCH模型
向量自回归 预测是计量经济分析的重要部分，宽泛的说，依据时间序列数据进行经济预测的方法有五种：（1）指数平滑法；（2）单一方程回归模型；（3）联立方程回归模型；（4）单整自回归移动平均模型；（5）向量自回归模型（V AR ，vector autoregression ）。 一、V AR 的估计 V AR 方法论同时考虑几个内生变量，它看起来类似于联立方程模型。但是，在V AR 模型中，每一个内生变量都是由它的滞后或过去值以及模型中所有其他内生变量的滞后或过去值来解释。通常模型中没有任何外生变量。在联立方程模型中，我们把一些变量看作内生的，而另一些变量看作外生的或预定的，在估计这些模型之前，必须肯定方程组中的方程是可识别的，而为达到识别的目的，常常要假定某些预定变量仅出现在某些方程之中，这些决定往往是主观的，因此这种方法受到C.A.西姆斯（Christopher Sims ）的严厉批评，他认为如果在一组变量中有真实的联立性，这些变量就应该平等对待，而不应事先区分内生和外生变量，以此思路，其推出了V AR 模型。 例我们想考虑中国的货币（M1）与利率（R ）的关系。如果通过格兰杰因果关系检验，我们无法拒绝两者之间有双向因果关系的假设，即M1 影响R ，而R 反过来又影响M1，这种情形是应用V AR 的理想情形。假定每个方程都含有M1 和R 的k 个滞后值作为回归元，每个方程都可以用OLS 去估计，实际模型如下： 11111k k t j t j j t j t j j M M R u αβγ--===+++∑∑
2111k k t j t j j t j t j j R M R u αθλ--=='=+++∑∑ 其中u 是随机误差项，在V AR 术语中称为脉冲值（impulses ）。在估计以上方程时，必须先决定最大滞后长度，这是一个经验问题，包括过多的滞后项将消耗自由度，而且会引入多重共线性的可能性，而包含过少的滞后值将导致设定误差，解决这个问题的方法之一就是使用赤池、施瓦茨或汉南—奎因准则中的某一个准则，并选择准则最低值的模型，因此，这个过程中试错法就不可避免。 值得注意的是，向量自回归模型中同时引入同一变量的几个滞后项，可能因多重共线性而使每个估计系数在统计上都不显著，但基于F 检验它们可能是联合显著的。 二、V AR 建模的一些问题 V AR 的倡导者强调此法有如下的优点：（1）方法简单，无需决定哪些变量是内生的，哪些变量是外生的，V AR 中的全部变量都是内生的。（2）估计简单：常用的OLS 法可以用于逐个估计每一个方程。 （3）在许多案例中，此方法得到的预测优于用更复杂的联立方程模型得到的预测。 但V AR 建模的批评者指出如下的一些问题： 1、不同于联立方程模型，V AR 利用较少的先验信息，所有是缺乏理论支撑的，因为在联立方程中排除或包含某些变量，对模型的识别起到关键性作用。 2、由于重点放到预测，V AR 模型不适合用于政策分析。 3、实际上，对V AR 建模最大的挑战在于选择适当滞后长度。假
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析 残差分析的相关概念辨析及应用素材 北师大版选修1-2
残差分析的相关概念辨析及应用 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差^ ^2^1,,,n e e e 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析.残差分析一般有两种方法:(1)作残差图；（2）利用相关指数R 2来刻画回归效果. .,,2,1,^^^^n i a x b y y y e i i i i i ^ i e 称为相应于点(x i ，y i )的残差．类比 样本方差估计总体方差的思想，可以用)2)(,(2121^^ 1 ^2^2 n b a Q n e n n i i 作 为σ2 的估计量，其中^a 和^b 由公式x b y a ^^ , n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 ^ )() )((给出，Q(^ a ， ^ b )称为残差平方和.可以用^ 2 衡量回归方程的预报精度．通常，^ 2 越小，预报 精度越高． 例1．设变量x,y 具有线性相关关系，试验采集了5组数据，下列几个点对应数据的采集可能有错误的是( ) A 点A B.点 B C.点 C D.点E 思路与技巧 由散点图判断出，点A,B,C,D,F 呈线性分布，E 点远离这个区域，说明点E 数据有问题． 解答D 评析 可以用Excel 画散点图，样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则x 与y 有较好的线性相关关系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布．
例2．为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据： (1)画出散点图． (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程． (3)求出残差，进行残差分析． 思路与技巧可以用Excel画散点图，由散点图发现x与y是否呈线性分布，由此判断x与y之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残差分析． 解答 (1)由Excel表格画散点图如图 (2)设y?=bx+a是线性回归直线方程，
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析 山东 胡大波 判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。下面具体分析残差分析的途径及具体例子。 一、 残差分析的两种方法 1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 2、可以进一步通过相关指数∑∑==--- =n i i n i i i y y y y R 1 2 1 2 ^ 2 )()(1来衡量回归模型的拟合效果，一般 规律是2 R 越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。 二、 典例分析： 例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。 解答：（1）作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图1所示，由散点图可 知，它们之间具有线性相关关系。 （2）列表计算： 由上表可求得875.40,25.39==y x ， 126568 1 2 =∑=i i x ，137318 1 2=∑=i i y ，
131808 1 =∑=i i i y x ，所以∑∑==---= 8 1 2 8 1 )() )((i i i i i x x y y x x β.0415.188 1 2 28 1≈--= ∑∑==i i i i i x x y x y x 00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^ -=x y （3）计算相关系数 将上述数据代入∑∑∑===---= 8 1 8 1 2 22 2 8 1 ) 8)(8(8i i i i i i i y y x x y x y x r 得992704.0=r ，查表可知 707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显着的相关关系。 （4）残差分析： 作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适。 计算残差的方差得884113.02 =σ ，说明预报的精度较高。 （5）计算相关指数2 R 计算相关指数2 R ＝0.9855.说明该运动员的成绩的差异有98.55％是由训练次数引起的。 （6）做出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程 .00302.00415.1^ -=x y 作为该运动员成绩的预报值。 将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57， 故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 点评：一般地，建立回归模型的基本步骤为： （1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）； （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ＝bx ＋a ）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 例2、某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取
空间计量经济学模型归纳
空间计量经济学模型 空间相关性是指 () ,i j y f y i j =≠即i y 与j y 相关 模型可表示为() (),1i j j i i y f y x i j βε=++≠ 其中，()f 为线性函数，(1)式的具体形式为 () ()2,0,2i ij j i i i i j y a y x N βεεδ≠=++∑ 如果只考虑应变量空间相关性，则(2)式变为(3)式 ()()21 ,0,,1,2...3n i ij j i i i y W y N i n ρεεδ==+=∑ 式中 1 n ij j i W y =∑为空间滞后算子，ij W 为维空间权重矩阵n n W ?中的元素，ρ为待估的空间自相 关系数。0ρ≠，存在空间效应 (3)式的矩阵形式为() ()2 1,0,4u n y Wy N I ρεδ?= (4)式称为一阶空间自回归模型，记为FAR 模型 当在模型中引入一系列解释变量X 时，形式如下 () ()2,0,5n y Wy X N I ρβεεδ=++ (5)式称为空间自回归模型，记为SAR 模型 当个体间的空间效应体现在模型扰动项时有 () ()21,,0,6u n y X u u Wu N I βλεδ?=+= （6）式成为空间误差模型，记为SEM 模型 当应变量与扰动项均存在空间相关时有 () ()2121,,0,7u n y W y X u u W u N I ρβλεεδ?=++=+ （7）式称为一般空间模型，记为SAC 模型 当0X =且20W =时，SAC →FAR ；当20W =时，SAC →SAR 当10W =时，SAC →SEM 当空间相关性还体现在解释变量上时，则有 () ()2,0,8n y Wy X WXr N I ρβεεδ=+++ （8）式成为空间杜宾模型，记为SDM 模型
回归模型拟合精度分析
应用回归分析例库封面
一、案例背景 文章通过分阶段建立多元线性回归模型，分析了改革开放32年来民航客运量与相关因素之间的关系。结果表明：在不同历史阶段影响民航客运量的因素有所不同，并且从经济学角度对所建立的模型给出了合理的解释。 二、数据介绍 数据来自《新中国五十五年统计资料汇编》和《中国统计年鉴2010》。 三、分析过程 根据以上的分析，自改革开放以来，将中国民航客运量的增长趋势分为三个阶段，这里还有一个问题，就是年段的划分选在何处会更合理呢？对于这个问题，我们主要依据表2中分段回归拟合的残差平方和的大小，同时结合自变量选择时考虑的诸多因素做适当调整。 下面分阶段建立因变量y 关于自变量的各种组合的回归方程，这种组合方程共有 12552131555 C C C +++=-=个，根据自变量的选择准则，从中选择最优回归方程。 3.1 第一阶段：1978~1988年最优回归模型 经过比较，在通过回归方程和回归系数的显著性检验的方程中（取显著性水平0.05α=），发现表3中的两个模型最优。 由表3可见，模型一的各项指标都优于模型二，但是模型一中2x 的系数-0.290602β=<， 与实际意义不符，最终消费与民航客运量应该正相关。模型二中3x 的系数-0.008703β=<，与实际意义相符合，铁路客运量与民航客运量应该负相关，出现与实际意义不符的情况可能是由变量间的多重共线性造成的，为此考察其它几项指标，见表4. 表3 两个最优回归模型比较 模型 1978~1988年拟合回归方程 标准残差 复相关系数 PRESS AIC 模型一 721.0010-0.29060.690225 y x x =+ 41.91 0.9920 26372.68 111.0539 模型二 837.1212-0.00870.517435 y x x =+ 46.03 0.9904 52010.33 113.1177 表4 多重共线性、异常值诊断 模型 方差扩大因子 绝对值最大的删除学生化残差SRE 最大库克距离 最大杠杆值 模型一 27.9371025VIF VIF ==> 2.60473< 0.57970.5> 0.45162ch > 模型二 4.9581035VIF VIF ==< 2.6833< 0.42700.5< 0.33642ch < 从表4可见，模型一的自变量间存在严重的多重共线性，而且存在异常值点，模型二的自变量间不存在多重共线性，而且没有异常值点。为了进一步考察模型二的拟合效果，做残
向量自回归模型讲义
第8章V AR模型与协整 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 8.1向量自回归（V AR）模型定义 8.1.1 模型定义 V AR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型 y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2, …) y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。 以两个变量y1t，y2t滞后1期的V AR模型为例，
y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是， ??????t t y y 21=12c c ??????+??????1.221 .211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +?? ? ???t t u u 21 (8.2) 设， Y t =??????t t y y 21, c =12c c ?????? , ∏1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =??? ???t t u u 21, 则， Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下： Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中， Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' c = (c 1 c 2 … c N )' ∏j = ???? ?? ????????j NN j N j N j N j j j N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛ M O M M ΛΛ, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',
2016-2017学年高中数学 第三章 统计案例 3.1 第2课时 残差分析及回归模型的选择学案 新
3.1 第二课时 残差分析及回归模型的选择 一、课前准备 1.课时目标 (1) 了解残差分析回归效果； (2) 了解相关指数2R 分析回归效果； (3) 了解常见的非线性回归转化为线性回归的方法. 2.基础预探 1.在线性回归模型y bx a e =++中，a b 和为模型的未知参数，e y 是与y bx a =+之间的误差，通常ｅ为随机变量，称为_______.它的均值E(ｅ)＝0，方差2 ()0D e σ=>. 线性回归模型的完整表达形式为2 ()0,()y bx a e E e D e σ=++??==? .在此模型中，随机误差ｒ的方差2 σ越小，通过回归直线y bx a =+预报真实值ｙ的精度越高. 2.对于样本点1122(,),(,), ,(,)n n x y x y x y 而言，相应于它们的随机误差为 (1,2,,)i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其估计值为(1,2, ,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=， i e 称为相应于点(,)i i x y 的______.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 2 1 (,)2 Q a b n σ= -(ｎ＞2)作为2σ的估计量，其中a b 和由公式给出，()Q a b ,称为残差平方和.可以用2 σ衡量回归直线方程的预报精度.通常2 σ越小，预报精度越高. 3.在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差12,, n e e e 来判断模型拟合的效果，判断 原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为_______. 4.用相关指数2 R 来刻画回归的效果，其计算公式是：2 2 12 1 () 1() n i i n i i y y R y y ==-=- -∑∑.显然2 R 取值 越大，意味着残差平方和_______，也就是说模型的拟合效果________. 二、学习引领 1. 进行回归分析的步骤是什么？ (1)确定研究对象，明确是哪两个变量之间的相关关系. (2)画出散点图，观察它们之间的关系是否存在线性关系，也可计算变量间的线性相关系数的值来精确判断它们之间是否存在相关关系.如果不存在线性相关关系，判断散点图是否存在非线性相关关系.
人口增长率的非参数自回归预测模型
收稿日期:2006201204 作者简介:巩永丽(1980—),女,山西永济人,西安理工大学硕士研究生,主要从事应用概率统计方面的研究. 山西师范大学学报(自然科学版)第21卷第1期Journal of Shanxi Nor mal University Vol .21 No .12007年3月 Natural Science Editi on M ar .2007 文章编号:100924490(2007)0120038205 人口增长率的非参数自回归预测模型 巩永丽1 ,张德生1 ,武新乾2 ,姜爱平 1 (11西安理工大学理学院,陕西西安710054;21西北工业大学,陕西西安710072) 摘 要:针对传统的人口增长预测模型不能理想地捕获我国人口增长率数据的非线性性特征,本文基于局部线性非参数估计理论,对我国建国以来的年人口增长率建立了非参数自回归NAR (1)模型,并对 2000年～2003年的年人口增长率进行了预测,计算结果表明,相对于参数自回归模型而言,非参数自回 归模型能够很好地解决人口增长预测这一非线性问题,预测精度较高.关键词:非参数估计;非参数自回归模型;预测中图分类号:O29 文献标识码:A 0 引言 我国是一个发展中国家,又是世界上人口最多的国家,人口问题一直是制约我国经济和社会发展的首要因素,因此,能否对人口增长做出比较准确的预测,对于加速推进我国现代化建设有着极为重要的现实 意义.对于人口增长预测,传统的方法有增长曲线模型、灰色系统模型、系统动力学模型、自回归模型等.增长曲线模型预测方法 [1] 相对简单,但是精度不高;灰色系统模型 [1] 主要是对人口增长趋势波动进行分析, 它在预测资料不全或资料的波动太大、不平稳的发展趋势效果较好;系统动力学模型[1] 在分析问题、收集 资料、建立模型和求证的过程中都要消耗一定的财力、物力和人力,还需要占用大量的计算机工作时间,而且建模人员的专业水平也直接影响模型的质量和结果.自回归模型由于是线性参数化形式,难以较好的解决人口增长预测这一非线性问题.因此,本文尝试利用非参数估计方法,建立我国人口增长率的非参数自回归预测模型,结果表明非参数自回归模型用于人口预测可以获得令人满意的结果,可为相关部门制定人口政策提供科学的依据. 1 非参数自回归预测模型基本原理 1.1 非参数自回归模型 非参数自回归模型(NAR (p ))为:Y t =m (X t )+εt ,其中,解释性变量X t ∈R p 由响应变量(或被解释性变量)Y t ∈R 的一些滞后项所组成(p 为正整数);随机误差序列{εt }独立同分布,E (εt )=0, E (ε2t )=σ2 ,并且εt 与X s ,s ≤t 相互独立;未知函数m (? )称为条件均值函数(或自回归函数).1.2 非参数预测 对一组平稳时间序列{Y t },t =1,2,...,n,我们的目的是对确定的正整数k,k ≥1,预测Y n +k 的值.非参数自回归模型对未知值Y n +k 进行预测的计算步骤如下: (1)对这组平稳时间序列建立相应的非参数自回归模型 Y t =m (X t )+εt (1)
实验12 向量自回归模型
实验12 向量自回归模型 【实验目的】通过本实验，使学生掌握向量自回归模型(V AR)的分析方法；能够较熟练利用Eviews,以及实际数据，针对现实问题进行向量自回归模型(V AR)分析。 【实验内容】根据中国GDP、宏观消费与基本建设投资等实际数据，建立向量自回归模型，并根据建立的模型进行分析。具体内容为： (1) V AR模型估计。 (2) V AR模型最佳滞后期的选择。 (3) V AR模型的稳定性检验。 (4) V AR模型残差检验。 (5) Granger因果性检验。 (6) 脉冲响应分析。 (7) 协整性检验。 (8) 建立VEC(向量误差修正)模型。 【实验步骤】 步骤一、数据处理 1.原始数据为国内生产总值GDP、消费总量CONS、基本建设投资INVES。 2. 为消除通货膨胀的影响，用价格指数进行调节，选择了定基价格指数（1997=1），并用三个时间序列分别除以价格指数，调整之后的序列分别命名为GDPP，CONSP，INVESP。3．三个数据变动幅度较大，为了减少可能存在的异方差性和自相关性影响，对三个序列取对数，取对数的数据序列分别命名为LNGP，LNCP和LNIP。数据如图1 图1 LNGP，LNCP和LNIP数据图 步骤二、建立V AR模型 1．在work file文档界面下，点击快捷键quick，会出现quick菜单，在quick菜单中选择估计V AR（estimate V AR）项，选择方法如图2。
图2 估计V AR选择方法 2．V AR模型设置。在V AR模型设置选项中（basics），有五个基本选项，（1）V AR类型（V AR Type）。包含无约束无约束V AR（Unrestricted V AR）和向量误差修正模型（Vector Erroe Correc）两个选项。本实验选择在V AR类型（V AR Type）选择无约束V AR（Unrestricted V AR）。 （2）样本时间范围。设定样本数据的时间范围。本实验选择1953年到1997年。 （3）模型中包含的内生变量（Endogenous Variables）。V AR模型包含的内生变量。本例在内生变量中（Endogenous Variables）输入Lngp，lncp，lnip）。 （4）内生变量滞后期区间（lag intervals for Endogenous ）。设置V AR模型中各变量的滞后区间。本案例在变量滞后期框中输入“1 3”，表明建立的模型最大滞后期是3期。 （5）外生变量（Exogenous Variables）。V AR模型中包含的外生变量。在外生变量框中（Exogenous Variables）输入常数项C。 设置结果如图3
自回归移动平均模型解析
第二章自回归移动平均模型 一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由 模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息, 行建模和预测。 第一节ARMA 模型的基本原理 ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型( AR, Auto-regressive Model )，移动平 均模型(MA ，Moving Average Model )以及自回归移动平均模型 (ARMA ，Auto-regressive Moving Average Model )。 2.1.1自回归模型的基本原理 1. AR 模型的基本形式 AR 模型的一般形式如下： 办乂「1办」? 2办上 ....... \%申；t 其中，c 为常数项，'1, 2^ \模型的系数，；t 为白噪声序列。我们称上述方程为 p 阶自回归模型，记为 AR(p )。 2. AR 模型的平稳性 此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。 即若时 间序列｛%｝是平稳的，即 E(y t)=^, Var (y t 2 , Cov(y t , y —) = 。 为了描述的方便，对式(2.1 )的滞后项引入滞后算子。若 y t 二x t j ，定义算子“ L ”， r . k 使得y t =Lx t =为4 L 称为滞后算子。由此可知， L 人=X t±。 对于式子(2.1),可利用滞后算子改写为： y t =c 丄％ 2 L 2% p L P % t 移项整理，可得： (1- 丄- 2L 2 - - p L p )y t 二c ；t Box 和 Jenkins 创立的 ARMA 并由此对时间序列的变化进
回归分析方法
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MA TLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MA TLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MA TLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 01y x ββε=++ 2~(0,)N εσ 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。