六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙
与正四面体空隙中心得分数坐标
等径圆球紧密排列形成
密置层,如图所示。
在密置层内,每个圆球周
围有六个球与它相切。相切
得每三个球又围出一个三角
形空隙。仔细观察这些三角
形空隙,一排尖向上,接着下面
一排尖向下,交替排列。而每
个圆球与它周围得六个球围出得六个三角形空隙中,有三个尖向上,另外
三个尖向下。如图
所示,我们在这里
将尖向上得三角形
空隙记为B,尖向下
得三角形空隙记为
C。第二密置层得
球放在B之上,第
三密置层得球投影
在C中,三层完成
一个周期。这样得
最密堆积方式叫做
立方最密堆积(ccp,
记为A1型),形成面心立方晶胞。
若第三密置层得球投影与第一密置层得球重合,两层完成一个周期。这样得最密堆积方式叫做六方最密堆积(hcp,记为A3型),形成六方晶胞,如图所示。
在这两种堆积方式中,任何四个相切得球围成一个正四面体空隙;另外,相切得三个球如果与另一密置层相切得三个球空隙对应,它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就就是说,围成正八面体空隙得这六个球可以分为相邻得两层,每层得正三角形中心得连线垂直于正三角形所在得密置层,参瞧下图,黑色代表得不就是球而就是正八面体得中心。
在这两种最密堆积方式中,每个球
与同一密置层得六个球相切,同时与上
一层得三个球与下一层得三个球相切,
即每个球与周围十二个球相切(配位数
为12)。中心这个球与周围得球围出
八个正四面体空隙,平均分摊到每个正
四面体空隙得就是八分之一个球。这
样,每个正四面体空隙分摊到得球数就是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个正八面体空隙得就是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到得球数就是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。
面心立方最密堆积(ccp, A1型)中正八面体空隙与正四面体空隙得问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积(hcp,A3型)中正八面体空隙与正四面体空隙中心得分数坐标。
在六方最密堆积中画出一个六方晶胞,如下面两幅图所示。
平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙,如下面两幅图所示。空隙中心得分数坐标分别为:(2/3,1/3,1/4),(2/3,1/3,3/4)。
对于正四面体空隙,存在这样一个问题,即正四面体得中心到它得底面得距离就是它得高得多少倍？
解法一(分体积法):以正四面体得中心O 为顶点,以正四面体得四个面为底面将正四面体平均分为四个等体积得小三棱锥,小三棱锥得高为OH,则有:
4V 334S AH S OH AH OH
==
∴=
即正四面体得中心到底面得距离就是它得高得四分之一。 解法二(立方体法): 将正四面体得四个顶点放在立方体相隔得四个顶
点。
设立方体得边长为1,则正四面体得边长为2,正四面体得高为
6232?
=。由于立方体得体对角线为3,所以正四面体得中心(即立方体得中心)到它得底面得距离与它得高之比为:
23323:1:4323??-= ? ???
解法三(外接球法):如图,设正四面体得边长为1,则
2
2336,A 3233
6
2A 2136
466
6
34
12
13
BG G r G r r OG OG r =?==
===
∴=-=
∴=
解得 即正四面体得中心到底面得距离就是它得高得四分之一。
解法四(正弦定理法):
如图,正四面体中心到两个顶点之间得夹角为109、47°,等腰三角形得另两个角为35、27°。根据正弦定理即可求解。
下面我们来找出六方最密堆积一个晶胞中得所有正四面体。
六方晶胞内中间层得一个球与上面三个球与下面三个球各围成一
个正四面体空隙,空隙中心得分数坐标分别就是:(1/3,2/3,1/8),(1/3,2/3,7/8)。
另外在每个棱上,晶胞顶点得八个球分别与中间层得
球围成正四面体空隙,这些空隙平均只有四分之一在这个
晶胞内,八个四分之一共为两个。空隙中心得分数坐标分
别就是:(0,0,3/8),(0,0,5/8)。
四个坐标说明正四面体空隙共有四个。
用体积模型示意图来瞧各种空隙也就是很有意思
得。
请瞧左图。在六方硫化锌中,硫离子呈六
方密堆积,锌离子填入空隙。锌离子填入得
就是什么空隙？(正四面体还就是正八面
体？)就是否填满
了所有得空隙？
将结果与立方硫
化锌得情况作对比,瞧有哪些相似与不同。
估计锌离子与硫离子得半径比。查阅锌离子
与硫离子得半径数据,说明硫离子就是不就
是最密堆积。