向量方法(一)证明平行与垂直

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )

(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )

(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )

(4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( )

2.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( )

A.α∥β

B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直

D.以上均不对

3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( )

A.l ∥α

B.l ⊥α

C.l ?α

D.l 与α相交

4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )

A.(－1，1，1)

B.(1，－1，1)

C.???

?－33，－33，－33 D.????33，33，－33

5.所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的

中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.

最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2

n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m?n·m＝0 l⊥αn∥m?n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m?n＝λm α⊥βn⊥m?n·m＝0

例题精讲

考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M

是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：PQ∥平面BCD.

规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角

形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.

考点二利用空间向量证明垂直问题

【例2】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂

足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

(2)用向量证明垂直的方法

①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

【训练2】如图，在四棱锥A－EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面

EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点.

(1)求证：AO⊥BE；

(2)求二面角F－AE－B的余弦值；

(3)若BE⊥平面AOC，求a的值.

考点三利用空间向量解决探索性问题

【例3】如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

规律方法向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题

(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.

【训练3】在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.

[思想方法]

1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.

2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

[易错防范]

1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.

课后巩固

1.平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )

A.2

B.－4

C.4

D.－2

2.若AB

→＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交

B.平行

C.在平面内

D.平行或在平面内

3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA

＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点.

求证：(1)PB ∥平面EFH ；

(2)PD ⊥平面AHF .

平面向量的平行与垂直

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直一、选择题 1 ．给定两个向量)4,3(=a ,)1,2(=b ,若)//()(b a b x a -+,则x 的值等于（） A ．2 3 B ．1- C ．1 D ．2 3- 2 ．设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是（） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．0 3 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量 ()()3,4,6,3OA OB =-=-,()2,1OC m m =+.若//AB OC ,则实数m 的值为（） A ．3- B ．1 7 - C ．35 - D ．35 4 .已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么（） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 5 ．已知A(2,-2)、B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且//p AB ,则k 的值为（） A ．910 - B ． 910 C ．1910 - D ． 1910 6 ．已知向量()21=，a ,()2x =-，b ,若a ∥b ,则a+b 等于（） A ．()2,1-- B ．()2,1 C ．()3,1- D ．()3,1- 7 ．已知非零向量a 、b ,“函数2 ()()f x a x b =+为偶函数”是“a b ⊥”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8 ．已知向量a=(1,2),b=(-3,2)若ka+b//a-3b,则实数k= （）

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )

立体几何中的向量方法：平行与垂直

立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系【解密重点·难点·疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量. 2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r 称为平面α的法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x =由?????=?=?,00得???=++=++,00 321 321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中的任一个赋值，求出另两个，所得即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为,，则线线平行：;,////R k k m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线．线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

条据书信如何证明是向量空间

如何证明是向量空间向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0xz z=0xy+z (x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理其他步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。（1）求证：EF⊥CD；（2）证明：PA//平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1 2

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

2017届高二数学导学案编写审核审批课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直第周第课时班组组评姓名师评【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法【学习方法】学案导学法，合作探究法。【自主学习·梳理基础】 1、考点深度剖析利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【课堂合作探究】探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

第23课平面向量的平行与垂直

第23课平面向量的平行与垂直一、学习目标 1、熟练掌握向量平行与垂直的坐标表示； 2、熟练掌握有关平行与垂直的计算问题。二、激活思维 1、已知向量a =(3，1)，b =(2，λ).若a ∥b ，则实数λ= . 2、已知向量a =(5，12)，b =(sin α，cos α)，若a ∥b ，则t a n α= . 3、设x ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(3，-2)，若a ⊥b ，则x = . 4、已知向量a =(-3，4)，向量b ∥a ，且|b |=1，那么b = . 5、已知向量a =(-3，1)，b =(1，-2)，若(-2a +b )⊥(k a +b )，则实数k = . 三、典型例题例1、设向量a =(1，2)，b =(1，1)，c =a +k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为 . 例2、设向量=OA (k ，12)，OB =(4，5)，=OC (10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线? 例3、已知向量a =(m ，-1)，)2 3, 21(=b . （1）若a ∥b ，求实数m 的值；（2）若a ⊥b ，求实数m 的值；（3）若a ⊥b ，且存在非零实数k ，t ，使得[a +(t 2 -3)b ]⊥(-k a +t b )，求t t k 2 +的最小值.

四、课堂评价 1、已知向量a=(2x-1，-1)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=. 2、已知向量a=(2，1)，b=(0，-1).若(a+λb)⊥a，则实数λ=. 3、已知向量a=(1，2)，b=(0，-1)，c=(k，-2)，若(a-2b)⊥c，则实数k=. 4、已知向量a=(1，1)，b=(-1，1)，设向量c满足(2a-c)·(3b-c)=0，则|c|的最大值为. 5.已知向量a=(4，3)，b=(-1，2)，m=a-λb，n=2a+b. (1)若m⊥n，求实数λ的值； (2)若m∥n，求实数λ的值.

立体几何平行与垂直经典证明题

N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2．共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)定义空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

立体几何中的向量方法-平行与垂直

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系【解密重点·难点·疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量. ⊥l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面α的法向量. 2. 直线α (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.

(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x u =由???? ?=?=?,00n b n a 得???=++=++, 00 321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线．线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l 即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直．线面平行：;0//=??⊥?u a u a l α 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=??⊥α 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直．面面平行：;,////R k v k u v u ∈=??βα 即：两平面平行?两平面的法向量共线．面面垂直：.0=??⊥?⊥v u v u βα

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???，故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：

平面向量的平行与垂直(20200511215732)

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11:平面向量的平行与垂直一、选择题 1 .给定两个向量a二(3,4), b= (2,1),若(a xb) //(a- b),则x的值等于 A. 3 B. -1 C. 1 D. -3 2 2 2 .设向量a = (x,1) , b= (4, x),且a, b方向相反,则x的值是 C . -2 (北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学) OA =[3, -4 ,OB h[6, -3 , OC h[2m m 1 .若AB//OC ,则实数m 的值为 A . -3 B . -- C . -3 D . 3 7 5 5 4 .已知向量a、b不共线，c = k a ? b(k ? R, d=a-b,如果c//d,那么 A . k=1且c与d同向 B . k =1且c与d反向 C . k = -1且c与d同向 D . k - -1且c与d反向 5 .已知A(2,-2) B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p//AB ,则 9 10 B . 10 19 10 19 10 6 .已知向量 a = (2,1), b =(x,-2),若 a // b,则a+ b 等于 A . -2,-1 B . 2,1 C . 3,-1 D . -3,1 7 .已知非零向量a、b , “函数f(x)=：ax為为偶函数”是 ( ) ( ) 已知向量( ) ( ) B. -2

k的值为( ) ( ) 4 4 a_b ” 的

A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 8 .已知向量 a=(1,2),b=(-3,2) 若 ka+b//a-3b,则实数 k= A.-- B.- C . -3 D . 3 3 3 9 .已知平面向量 a 二(1,2), b= (-2,m), 且 a // b , 则m 的值为 A . -1 B . C . -4 D . 4 10 . （2013大纲卷高考数学（文））已知向量■ 1,1 n 「 2,若 m ■ n j .i 〕m -n ,贝卩■= A . -4 B . -3 C . -2 D . -1 11.已知向量a =(2,3),b 二(-1,2),若m a n b 与a-2b 共线，则m 等于 ( ) n 1 1 A . - 2; B . 2 C . - - D .丄 2 2 12 .已知向量；=(1,2),b=(x ,4),若向量 a _t ,则 x = ( ) A . 2 B . -2 C . 8 D . -8 13 .已知点A 1,3 ,B 4,-1 ,则与向量忌方向的单位向量为 ( ) 14 .已知向量 a =(1,1),b =C.2,0),c=(-2,、2),则a ? b 与 b c 的位置关系是 ( ) 15 . （2012年高考（福建文））已知向量a=（x_1,2）,b=（2,1）,则a_b 的充要条件是 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 A .垂直 B .平行 C .相交不垂直 D .不确定 5 ， B .

立体几何中平行与垂直的证明(整理好)

D 1 B 1D A B C E 1A 1C 立体几何中平行与垂直的证明姓名例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点．求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1；（2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。求证：E D 1⊥D A 1；【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22 1== AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求空间四边形AGBC 的体积。

B C A D E F M C 1 B 11B A 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证： 1AB A C ⊥；（Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.

利用空间向量证明面面平行垂直

利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD

4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点．证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．求证：平面EAC⊥平面AB1C

7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ

答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1．则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )．设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)，则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)，由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)，设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)．所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ．又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．

北师大版数学高二-2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1

【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1 课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行． 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m?___________?__________?______________． (2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?____________?________________________． (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?____________?______________?________________． 2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?____________?__________?________________________________． (2)线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________?__________?__________________． (3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?__________?____________?________________________．一、选择题 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l与α斜交 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( ) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)

向量的平行与垂直

向量的平行与垂直一、基础知识回顾： 1．平行向量定义：①方向或的非零向量叫平行向量，向量a 、b 平行，记作a ∥b ； ②规定：0 与任一向量； ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 2. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件：有且只有一个实数λ，使b =λa . （等价于：存在两个不同为零的实数λ1、λ2，使得).21=+λλ 3. 非零向量和的数量积的定义：2= （向量和的夹角为θ） 4. 非零向量和垂直的定义：如果两个非零向量和，则说和垂直，记作⊥ 5.非零向量垂直的充要条件：符号语言：?⊥ 坐标语言：设→ a =(x 1,y 1), → b =(x 2,y 2)，则?⊥b a 6. 向量共线的充要条件：符号语言：?//b =λa （a ≠，R ∈λ）坐标语言：设→ a =(x 1,y 1), → b =(x 2,y 2)，则?// 二、基础训练 1．与向量)4,3(-=a 垂直的单位向量是_________ _____. 2．与向量)4,3(-=平行的单位向量是_______ _______. 3．若D B A e e CD e e CB e k e AB e e ,,,2,3,2,,21212121若已知是两个不共线的向量-=+=+=三点共线，则k =______________. 4．若的是则 b a y y x x y x b y x a //),,(),,(2 1212211=== （） A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件三、典型例题例1．已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+ ，2v a b =- ，且//u v ，求实数x 的值。

利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________．答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________．答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋