安徽省屯溪一中2014届高三上学期期中考试数学理试题(附答案)

2013-2014学年度屯溪一中高三期中考试数学试题

（理 科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时， )1(2)(x x x f -=，则=-)2

5

(f （ ）

.)(A 21-

.)(B 21 .)(C 23- .)(D 2

3 2．下列区间中，函数)3ln()(x x f -=在其上为增函数的是（ ）

.)(A ]2,(-∞ .)(B )3,1[ .)(C ]1,(-∞ .)(D )3,2[

3．设α、β都是锐角，且5

5

cos =

α，53)sin(=+βα，则βcos 等于（ ）

.)

(A 552 .)(B 2552 .)(C 2552或552 .)(D 255或5

5

2 4．已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，若

a g =)2(，则=)2(f （ ） .)(A 2 .)

(B 415 .)(C 4

17 .)(D 2

a 5．设函数)co s()sin ()(?ω?ω+++=x x x f )2

,0(π

?ω<>的最小正周期为π2，且

)()(x f x f =-，则（ ）

.)(A )(x f 在),0(π单调递减； .)(B )(x f 在)45,4(π

π单调递减；

.)(C )(x f 在),0(π单调递增； .)(D )(x f 在)4

5,4(π

π单调递增；

6．在ABC ?中，若5=b ，4

π

=C ，22=a ，则=A sin （ ）

.)

(A 54 .)(B 52 .)(C 13132 .)(D 13

133 7．设集合{}5,4,3,2,1=A ，{}8,7,6,5,4=B ，满足A S ?且φ≠B S 的集合S 的个数是

（ ）

.)(A 8 .)(B 18 .)(C 24 .)(D 28

8．已知ABC ?的面积为3，32=AC ，3

π

=

∠ABC ，则ABC ?的周长为（ ）

.)(A 324+ .)(B 36 .)(C 3262+ .)(D 326+

9．已知ABC ?所在的平面内一点P 满足2=++，则=???PBC PAC PAB S S S :: （ ）

.)(A 3:2:1 .)(B 1:2:1 .)(C 1:1:2 .)(D 2:1:1

10．设m 、k 为整数，方程032

=+-kx mx 在区间)1,0(内有两个不同的实根，则k m + 的 最小值为( )

.)(A 8- .)(B 8 .)(C 13 .)(D 18

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知4tan =α，则α

αα2sin sin 82cos 12++的值为 。

12．已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若2+与共线，则=k

13．已知点O 、N 、P 在ABC ?所在的平面内，==，=++，

PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则点O 、N 、P 依次ABC ?是的 、 、 。 14．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为??

?+==α

α

sin 21cos 2y x （α为参数），在极坐标

系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为02)4

c o s (=++π

θρ，则两曲线交点之间的距离

为 。 15．下列几个结论：

①“1-

②

1cos )sin (1

-=+?

e dx x e x

③已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则b a y 41+=

的最小值为29； ④若点)9,(a 在函数x y 3=的图象上，则3

tan π

a 的值为3-；

⑤函数1)32sin(2)(--=πx x f 的对称中心为))(0,6

2(

Z k k ∈+π

π 其中正确的是 （写出所有正确命题的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题75分. 16.（本小题12分）已知函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=。 ⑴求)3

(π

f 的值；

⑵求)(x f 的最大值和最小值，并求当x 取何值时，)(x f 取得最大值。

17．（本小题12分）在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

A A cos 2)6

sin(=+π

。

⑴求角A 的值；

⑵若14=a ，C B sin 3sin =，求ABC ?的面积。

18. （本小题12分）如图，在四面体ABCD 中，OA OC ⊥，OB OC ⊥，?=∠120AOB ，且1===OC OB OA 。

⑴设P 是AC 的中点，Q 在AB 上且AQ AB 3=，证明：OA PQ ⊥； ⑵求二面角B AC O --的平面角的余弦值。

19. （本小题12分）设1)(23+++=bx ax x x f 的导数)('x f 满足a f 2)1('=，

b f -=)2('，其中常数a 、R b ∈。

⑴求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； ⑵设x e x f x g -=)(')(，求函数)(x g 的极值。

20. （本小题13分）设R a ∈，)2

(

cos )cos sin (cos )(2

x x x a x x f -+-=π

满足

)0()3

(f f =-π

。

⑴求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；

⑵若??

????∈2417,4ππx ，求)(x f 的最大值和最小值。

班 姓名 座位号______________ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

21. （本小题14分）已知函数x x x

a

x f ln )(+=，3)(23--=x x x g 。 ⑴讨论函数x

x f x h )

()(=

的单调性； ⑵如果存在1x 、2x []2,0∈，使得M x g x g ≥-)()(21成立，求满足上述条件的最大整数

M ；

⑶如果对任意s 、??

?

???∈2,21t ，都有)()(t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围。

屯溪一中2013-2014学年度高三第一学期期中考试

数学（理科）参考答案

一．选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

二．填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．

4

65

12．3-=k 13．外心、重心、垂心 14．14 15。②③④

三．解答题：（本大题共6个小题，共75 分。要求写出必要的文字说明、演算步骤和解题过程 。注意：请在指定区域内答题！） 16．（本小题满分12分） 解：⑴4

9

24313cos 43sin 32cos

2)3

(2-=-+-=-+=ππππ

f ⑵x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2

-+= 1cos 4cos 32

--=x x

3

7)3

2(cos 32

-

-=x )(x f 的最大值是6；最小值是3

7-

。 且当即1cos -=x )(2Z k k x ∈+=ππ时，)(x f 取得最大值。 17．（本小题12分） 解：⑴A A cos 2)6

sin(=+

π

A A A cos 22

1

cos 23sin =?+?

? 3tan =?A

?=?60A 。 ⑵由C B sin 3sin =c b 3=?

2

1

6914cos 2222222?-+=?-+=c c c A bc c b a

1472

=?c 2=?c

2

3

32322321s i n 21=

???==?A bc S ABC 。

18. （本小题12分）

⑴证明：过O 点在平面AOB 内作OA OE ⊥，分别以OA 、OE 、OC 为x 轴、y 轴、z

轴建立空间直角坐标系。则)0,0,0(O ，)1,0,0(C ，)0,0,1(A ，)21,0,21

(P ，)0,2

3

,21(-

B ，

则设)0,,(y x Q ，由3=则)0,6

3

,

21(Q ， )0,0,1(=，)2

1

,63,

0(-=0=??即PQ OA ⊥。 ⑵依题意有：面OAC 的法向量为)0,1,0(1=n 。

)1,0,1(-=,)0,2

3

,23(-=