高考总复习经典讲义空间向量及其运算
空间向量及其运算
知识点1、向量共线、共面的判定.
1、共线: 对空间任意两个向量a , b (b ≠0), a ∥b 的充要条件是_______________.
2、共面: 如果两个向量a , b (不共线), 那么向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y ), 使_______________. 答案: p ＝x a ＋y b .
3、不共面: 如果三个向量a , b , c 不共面, 那么对空间任一向量p , 存在有序实数组{x , y , z }, 使得p ＝____________________________, 把{a , b , c }叫做空间的一个基底.
知识点2、向量运算律 ① 两向量的数量积
已知两个非零向量a , b , 则____________________叫做向量a , b 的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a ＝(a 1, a 2, a 3), b ＝(b 1, b 2, b 3), 则 a·b ＝____________________.
② 空间向量数量积的运算律 结合律: (λa )·b ＝____________; 交换律: a·b ＝_______; 分配律: a·(b ＋c )＝_____________. ③ 模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1, a 2, a 3), b ＝(b 1, b 2, b 3),
则|a |＝a·a ＝________________, cos 〈a , b 〉＝a·b
|a||b|
＝________________________ .
若A (a 1, b 1, c 1), B (a 2, b 2, c 2), 则|AB →
|＝__________________________.
题型一 直线的方程形式
(1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量. (2) 相等向量: 方向______且模______的向量. (3) 共线向量定理
1. 若a ＝(2x,1,3), b ＝(1, －2y,9), 且a ∥b , 则( )
A. x ＝1, y ＝1
B. x ＝12, y ＝－12
C. x ＝16, y ＝－32
D. x ＝－16, y ＝3
2
解: 选C, ∵a ∥b , ∴2x 1＝1－2y ＝39, ∴x ＝16, y ＝－3
2
.
2. (2016·青岛月考)
如图所示, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, M 为AC 与BD 的交点, 若A 1B 1→＝a , A 1D 1→
＝b , A 1A →＝c , 则下列向量中与B 1M →
相等的向量是( )
A. －12a ＋12b ＋c
B.12a ＋12b ＋c
C.12a －12b ＋c
D. －12a －12
b ＋c
解: 选A, [B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →
＋????12AB →＋12AD →
＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .
3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中, 已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°,
AB ＝3, AD ＝4, AA ′＝5, 则|AC ′→
|＝________.
解: ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→, ∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →
＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97, ∴|AC ′→
|＝97.
4. 有下列4个命题:
① 若p ＝x a ＋y b , 则p 与a 、b 共面; ② 若p 与a 、b 共面, 则p ＝x a ＋y b ;
③ 若MP →＝xMA →＋yMB →, 则P 、M 、A 、B 共面; ④ 若P 、M 、A 、B 共面, 则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 4. 选B, ①正确. ②中若a 、b 共线, p 与a 不共线, 则p ＝x a ＋y b 就不成立. ③正确. ④中若M 、
A 、
B 共线, 点P 不在此直线上, 则MP →＝xMA →＋yMB →
不正确.
5. A (1,0,1), B (4,4,6), C (2,2,3), D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).
5. 共面, 解: AB →＝(3,4,5), AC →＝(1,2,2), AD →＝(9,14,16), 设AD →＝xAB →＋yAC →
,
即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y ). ∴?
????
x ＝2
y ＝3, 从而A 、B 、C 、D 四点共面.
题型二 空间基向量的应用
6、已知空间四边形OABC 中, M 为BC 的中点, N 为AC 的中点, P 为OA 的中点, Q 为OB 的中点, 若AB ＝OC , 求证: PM ⊥QN .
设OA →＝a , OB →＝b , OC →＝c . ∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c ), ON →＝12(OA →＋OC →
)＝12
(a ＋c ),
∴PM →＝PO →＋OM →
＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a ),
QN →＝QO →＋ON →
＝－12b ＋12(a ＋c )＝12
(a ＋c －b ).
∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14
(|OC →|2－|BA →
|2)
∵|AB →|＝|OC →|, ∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →, 故PM ⊥QN .
7、如图, 在正四面体ABCD 中, E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点, 则异面直线AF 和CE 所成角的余弦值为________.
设{AB →, AC →, AD →}为空间一组基底, 则AF →＝12AB →＋12
AC →,
CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12
AD →.
∴AF →·CE →＝????12AB →＋12AC →·????－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14
AC →·AD → ＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12
AC →2.
又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|, ∴|AF →|·|CE →|＝34|AC →|2. ∴cos 〈AF →, CE →
〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →
2
34
|AC →|
2＝－23
.
∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为2
3
.
8、(2016·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD 与正方形ABEF 相交于AB , ∠EBC ＝90°, 点M 、N 分别在BD 、AE 上, 且AN ＝DM . (1) 求证: MN ∥平面EBC ; (2) 求MN 长度的最小值.
解: 如图所示, 建立坐标系后, 要证MN 平行于平面EBC , 只要证MN →
的横坐标为0即可.
(1) 证明 如图所示, 以BA →、BC →、BE →
为单位正交基底建立空间直角坐
标系, 则A (1,0,0), D (1,1,0), E (0,0,1), B (0,0,0), 设AN AE ＝DM
DB
＝λ, 则
MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE →
＝λ(1,1,0)＋(0, －1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0, λ－1, λ).
∵0<λ<1, ∴λ－1≠0, λ≠0, 且MN →的横坐标为0. ∴MN →
平行于平面yBz , 即MN ∥平面EBC .
(2) 解: 由(1)知|MN →
|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2????λ－122＋12
, ∴当λ＝12时, MN 取得长度的最小值为2
2
.
A 组 专项基础训练题组
1. 下列命题:
① 若A 、B 、C 、D 是空间任意四点, 则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0; ② |a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件; ③ 若a 、b 共线, 则a 与b 所在直线平行;
④ 对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C , 若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x 、y 、z ∈R )则P 、A 、B 、C 四点共面. 其中假命题的个数是( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图所示, 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, O 是底面ABCD 的中心, M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点, 则直线OM ( A ) A. 既垂直于AC , 又垂直于MN B. 垂直于AC , 但不垂直于MN C. 垂直于MN , 但不垂直于AC D. 与AC 、MN 都不垂直
3. (2016·绍兴月考) 如图所示, 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, AA 1⊥底面ABC , AB ＝BC ＝AA 1, ∠ABC ＝90°, 点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点, 则直线EF 和BC 1所成的角是( B ) A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
4. 设点C (2a ＋1, a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1, －3,2)、B (8, －1,4)确定的平面上, 则a 等于( A ) A. 16 B. 4 C. 2 D. 8
解: 选A [由PC →＝λ1P A →＋λ2PB →
得: (2a －1, a ＋1,2)＝λ1(－1, －3,2)＋λ2(6, －1, 4), ∴????
?
－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2
解得a ＝16.
5. 在直角坐标系中, A (－2,3), B (3, －2), 沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角, 则AB 的长度为( B ) A. 2 B. 211 C. 3 2 D. 4 2
解: 过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴, BB 1⊥x 轴, 垂足分别为A 1和B 1, 则AA 1＝3, A 1B 1＝5, BB 1＝2, ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →, ∴AB →2＝AA 1→2＋A 1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos
60°＝44.∴|AB →
|＝211.
6. (2016·信阳模拟)如图所示, 已知空间四边形ABCD , F 为BC 的中点, E 为
AD 的中点, 若EF →＝λ(AB →＋DC →
), 则λ＝________.
解: ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →, 又EF →＝ED →＋DC →＋CF →,
∴2EF →＝AB →＋DC →, ∴EF →＝12(AB →＋DC →
), ∴λ＝12
.
7. (2016·铜川模拟)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 给出以下向量表达式:
① (A 1D 1→－A 1A →)－AB →; ② (BC →＋BB 1→)－D 1C 1→;
③ (AD →－AB →)－2DD 1→; ④ (B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.
其中能够化简为向量BD 1→
的是________. (填所有正确的序号)
解 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→
;
②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→; ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→;
④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→.
8. (2016·丽水模拟) 如图所示, PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,
AB ＝2, E 为PB 的中点, cos 〈DP →, AE →
〉＝33
, 若以DA , DC , DP 所在直
线分别为x , y , z 轴建立空间直角坐标系, 则点E 的坐标为________.
解: 设DP ＝y >0, 则A (2,0,0), B (2,2,0), P (0,0, y ), E ?
???1，1，y 2, DP →＝(0,0, y ), AE →＝????－1，1，y 2. ∴cos 〈DP →, AE →
〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋
y 24
＝y 8＋y 2＝33. 解得y ＝2, ∴E (1,1,1).
B 组 专项能力提升题组
9. 如图所示, 已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体, 点E 在AA 1上, 点F 在CC 1上, 且AE ＝FC 1＝1. (1) 求证: E 、B 、F 、D 1四点共面;
(2) 若点G 在BC 上, BG ＝2
3, 点M 在BB 1上, GM ⊥BF , 垂足为H , 求证:
EM ⊥平面BCC 1B 1.
证明: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则BE →＝(3,0,1), BF →
＝(0,3,2), BD 1→＝(3,3,3). 所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →
共面. 又它们有公共点B , ∴E 、B 、F 、D 1四点共面. (6分)
(2) 设M (0,0, z ), 则GM →＝?
???0，－23，z . 而BF →
＝(0,3,2), 由题设, 得GM →·BF →＝－23
×3＋z ·2＝0, 得z ＝1. ∴M (0,0,1), E (3,0,1), ∴ME →
＝(3,0,0).
又BB 1→＝(0,0,3), BC →＝(0,3,0), ∴ME →·BB 1→＝0, ∴ME →·BC →＝0, 从而ME ⊥BB 1, ME ⊥BC . 又∵BB 1∩BC ＝B , ∴ME ⊥平面BCC 1B 1.
10、如图所示, 已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, AB ＝2, AF ＝1, M 是线段EF 的中点. 求证: (1) AM ∥平面BDE ; (2) AM ⊥面BDF .
证: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
设AC ∩BD ＝N , 连接NE . 则点N 、E 的坐标分别为???
?22，2
2，0、
(0,0,1). ∴NE →
＝???
?－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为
(2, 2, 0)、????22，22，1, ∴AM →
＝???
?－22，－22，1.
∴NE →＝AM →
且NE 与AM 不共线. ∴NE ∥AM . 又∵NE ?平面BDE , AM ?平面BDE , ∴AM ∥平面BDE .
(2) 由(1)得, AM →
＝???
?－22，－22，1, ∵D (2, 0,0), F (2, 2, 1), B (0, 2, 0),
∴DF →＝(0, 2, 1), BF →＝(2, 0,1). ∴AM →·DF →＝0, AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →, AM →⊥BF →, 即AM ⊥DF , AM ⊥BF . 又DF ∩BF ＝F , ∴AM ⊥平面BDF .
11、(2009·)如图, 四边形ABCD 是边长为1的正方形, MD ⊥平面ABCD , NB ⊥平面ABCD , 且MD ＝NB ＝1, E 为BC 的中点. (1) 求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；
(2) 在线段AN 上是否存在点S , 使得ES ⊥平面AMN ？若存在, 求线段AS 的长；若不存在, 请说明理由.
解 (1) 如图所示, 以点D 为坐标原点, 建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意, 得D (0,0,0), A (1,0,0), M (0,0,1), C (0,1,0), B (1,1,0), N (1,1,1), E ????12，1，0.∴NE →＝???
?－12，0，－1, AM →
＝(－1,0,1). ∵cos 〈NE →, AM →
〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252
×2
＝－1010,
∴异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为10
10
.
(2) 假设在线段AN 上存在点S , 使得ES ⊥平面AMN .
∵AN →＝(0,1,1), 可设AS →＝λAN →＝(0, λ, λ), 又EA →
＝???
?12，－1，0, ∴ES →＝EA →＋AS →
＝????12，λ－1，λ. 由ES ⊥平面AMN , 得?????
ES →·AM →＝0，ES →·
AN →＝0， 即?????
－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.
故λ＝12, 此时AS →
＝????0，12，12, |AS →|＝22
.
经检验, 当AS ＝2
2
时, ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S , 使得ES ⊥平面AMN , 此时AS ＝
22
.
12. (2011·汕头月考) 如图所示, 已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a , 点M 、N 分别是AB 、CD 的中点. (1) 求证: MN ⊥AB , MN ⊥CD ； (2) 求MN 的长；
(3) 求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值.
(1) 证明 设AB →＝p , AC →＝q , AD →
＝r .
由题意可知: |p |＝|q |＝|r |＝a , 且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.
MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →
)－12AB →＝12
(q ＋r －p ), (2分)
∴MN →·AB →＝1
2(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2)＝12
(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0.
∴MN ⊥AB ，又∵CD →＝AD →－AC →
＝r －q ,
∴MN →·CD →＝1
2(q ＋r －p )·(r －q )＝12(q ·r －q 2＋r 2－q ·r －p ·r ＋p ·q )
＝1
2
(a 2cos 60°－a 2＋a 2－a 2cos 60°－a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝0, ∴MN ⊥CD . (2) 解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p ), ∴|MN →|2＝MN →
2＝14
(q ＋r －p )2
＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )]＝14????a 2＋a 2＋a 2＋2????a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22
.
∴|MN →
|＝22a , ∴MN 的长为22
a .(9分)
(3) 解 设向量AN →与MC →
的夹角为θ.
∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r ), MC →＝AC →－AM →
＝q －12
p ,
∴AN →·MC →＝12
(q ＋r )·????q －12p ＝12????q 2－12q·p ＋r·q －12r·p ＝12
????a 2－12a 2·cos 60°＋a 2
·cos 60°－12a 2·cos 60°＝12????a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22.(12分) 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a , ∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →
|·cos θ即32a ·32a ·cos θ＝a 22
.
∴cos θ＝23, ∴向量AN →与MC →
的夹角的余弦值为23
, 从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为
23
.