F分布性质证明
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'. 证明：F 分布的性质112211()()F n n F n n αα--=-。 由F 分布的上侧α分位点定义，有：
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比较式（1）、（2），有：112211
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F n n F n n αα--=-，证毕。
圆的基本性质知识点
圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点
1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图
专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明(原卷版)
九年级数学下册解法技巧思维培优 专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明 考点一弧、弦、圆心角 ?、CD?的度数【典例1】（2019?港南区四模）P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB 别为88°、32°，则∠P的度数为（） A．26°B．28°C．30°D．32° 【典例2】（2019?福建模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD 于点E，DE＝1，则AE的长为（） A．√3B．√5C．2√3D．2√5 【典例3】（2019?洛阳一模）如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角 器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为． 【典例4】（2019?长白期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．
【典例5】（2019?句容市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． ?=CD?． （1）求证：BD ?的度数为58°，求∠AOD的度数． （2）若AC 考点二圆周角 【典例6】（2019?陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C， 连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（） A．20°B．35°C．40°D．55° ?所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB?上一点，∠AOP 【典例7】（2020?望花区二模）如图，在⊙O中，AB ＝55°，则∠POB的度数为．
【典例8】（2019?黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝． 【典例9】（2019?肇源期末）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E． （1）求证：∠ADC＝∠CBE； （2）求证：CB＝CE； （3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形． 卡点三垂径定理 【典例10】（2019?渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）
与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题
与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题 1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30° 2．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB ，则( ) A ．DE ＝E B B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB 3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于( ) A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 4．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝( ) A ．10° B ．20° C ．30° D ．40° 5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( ) A ．45° B ．50° C ．60° D ．75° 6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ， 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A．45° B．50° C．55° D．60° 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是( ) A．120°B．135°C．150°D．165° 8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________． 9．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_______度． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为_______． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是_________．12．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.
圆的基本性质练习(含答案)
圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。 11____________，所对常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○ 的弦_____○12___________。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。 （2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。 推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。
圆的基本性质知识点整理
3.1 圆（1） 在同一平面内，线段0P 绕它固定的一个端点C 旋转一周，所经过的圭寸闭曲线叫做 圆，定点C 叫做，线段OF 叫做。 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有: d v r 0点P 在圆； dr 点；P 在圆上； d > r :-点P 在圆； 如图，在 ABC 中，/ BAC= Rt Z ，AO 是BC 边上的中线, 为一 C 的直径. (1) 点A 是否在圆上？请说明理由. (2) 写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A 岛附近，半径约250knm 勺范围内是一暗礁区， 往北300kn 有一灯塔B,往西400km 有一灯塔C.现有一渔船 沿CB 亢行，问：渔船会进入暗礁区吗？ 3.1 圆(2) (1) 经过一个已知点能作个圆； (2) 经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B 任意作一个圆 圆心应该在怎样的一条直线上？ (3) 不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆 的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在; 直角三角形的外心在; 钝角三角形的外心在。 BC
作图：已知△ ABC，用直尺和圆规作出△ ABC的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形； 对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线0Q ? 3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数 -B 径定理（1） 圆是图形，它的对称轴是。 2、如图，以点O为旋转中心，将A ABC按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的图形 根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：V CD是直径，CD丄AB
九上《圆的基本性质》的知识点及典型例题
第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题 知识框图 1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。 2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。 注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒A B ，那么所求的是弧长 圆 概 念 圆、圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距、等弧 圆心角、圆周角 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形 圆的基本性质 圆周角定理及2个推论 圆的相关计算 弧可分为劣弧、半圆、优弧 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的轴对称性 垂径定理及其2个逆定理 圆的中心对称性和旋转不变性 圆心角定理及逆定理 求半径、弦长、弦心距 求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积 圆的相关证明 求不规则阴影部分的面积 证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系 证明弧度之间的数量关系； 证明多边形的形状；证明两线垂直 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为 6、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l = 7、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为 8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 10、圆锥的母线长l ，高h ，底面圆半径r 满足关系式 11、已知圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x 的取值范围为 考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号） 考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式 考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点四、求圆心角、圆周角 考点五、求阴影部分的面积 考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状 考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点八、方案设计题，求最大扇形面积 考点九、将圆锥展开，求最近距离 练习 一、选择题 1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa （2a+b ） P A O B s t O s O t O s t O s t A ． B ． C ． D ．
圆的基本性质教案
圆的基本性质 3.1 圆 1．圆的定义： 在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。 以点O 为圆心的圆作：“⊙O ”，读作：“圆O ”。 圆指的是封闭的曲线，而不是圆面。 ２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r 例题分析： 1、画图：已知Rt △ABC ，∠B=90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆。 2、根据图形回答下列问题： （1）看图想一想， Rt △ABC 的各个顶点与⊙B 在位置上有什么关系？ （2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？ ３、证明几个点在同一个圆上的方法。 要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。 4.确定唯一的一个圆的条件： （1）经过一个已知点能作无数个圆！ 经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆。 （2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上。 经过两个已知点A 、B 并确定圆的半径，能作几个圆呢？ （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性） （4）外接圆，外心的概念。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点 （5）对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同。 锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上， 钝角三角形的外心在三角形的外部。 A
圆的基本性质 知识点整理
3.1 圆（1） 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做。 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜点P在圆； d r 点P在圆上； d＞点P在圆； 如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC 为O的直径. （1）点A是否在圆上？请说明理由. （2）写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区， 往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船 沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？ ====================================================================== 3.1圆（2） （1）经过一个 ．．已知点能作个圆； （2）经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B任意作一 个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？ （3）不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在； 直角三角形的外心在； 钝角三角形的外心在。
作图：已知△ABC ，用直尺和圆规作出△ABC 的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形 ； 对应点到 的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的角度等于 。 1、如图，射线OP 经过怎样的旋转，得到射线OQ ？ 2、如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段B A ''，并求直线B A ''与直线AB 所成的锐角的度数。 3、如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。
圆的基本性质课程教案(含规范标准答案)
D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ??BC BD =??AC AD =
B 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：
B A B A O 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对 的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线
圆的基本性质经典题库
第2课时 1．判断正误． (1）三点确定一个圆． ( ) (2）已知圆心和半径可以确定一个圆． ( ) (3）已知圆心和圆上一点可以确定一个圆． ( ) (4) 已知半径和圆上一点可以确定一个圆． ( ) (5）已知半径和圆上两点可以确定一个圆． ( ) 2．下列说法正确的是（ ) A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线 C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 3.和l，那么它的外接圆的直径是（ ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列命题中，正确的是（） A．三角形的外心是三角形的三条高线的交点 B．等腰三角形的外心一定在它的内部 C．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 D．任何一个四边形都有一个外接圆 5. 下图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整． [综合提高] 1._______ 三角形的外心在它的内部,_______三角形的外心在它的 外部；直角三角形的外心在______________. 2.如果以平行四边形的对角线的交点为圆心，以它和一边中点的距离为半径画圆，若这个四边形四条边的中点都在这个圆上，那么这个四边形是（）A．矩形 B．正方形 C．等腰梯形 D．菱形 3.下列命题正确的个数有（ )
① 矩形的四个顶点在同一个圆上； ② 梯形的四个顶点在同一个圆上； ③ 菱形的四边中点在同一个圆上； ④ 平行四边形的四边中点在同一个圆上． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.在Rt △ABC 中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或8 5.已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，O 是ABC ?的外接圆，若 O 的半径是4，120BOC ∠=，求AB 的长. 6.如图所示，平原上有三个村庄A 、B 、C ，现计划打一口水井p ，使水井到三个村庄的距离相等。 （1）在图中画出水井p 的位置； （2）若再建一个工厂D ，使工厂D 到水井的距离等于水井到三个村庄的距离，且工厂D 到A 、C 两个村庄的距离相等，工厂D 应建在何处？请画出其位置. .A .B .C [拓展延伸] 1. 已知线段AB 和直线l ，过A 、B 两点作圆，并使圆心在l 上. (1) 当l 平行AB 时，可以作几个这样的圆？ (2) 当l 与AB 斜交时，可以作几个这样的圆？ (3) 当l 与AB 垂直（不过AB 中点）时，可以作几个这样的圆？ (4) 当l 为AB 的中垂线时，可以作几个这样的圆/ 第2课时 [基础训练] 1．填空：如图，在⊙O 中，直径CD 交弦AB （不是直径）于点E. (1)若CD ⊥AB ，则有 、 、 ； (2)若 AE = EB ，则有 、 、 ； (3)若 AC BC =，则有 、 、 . 2．若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm ，其弦心距等于8cm ，则弦长为_________cm.
人教版九年级圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课 教学目标： 1、在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2、在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论； 3、通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。 4、通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。 教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性 教学难点：相关性质的应用 一、引入： 师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？ 生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。 师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？ 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。 师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？ 生：因为它们所对的圆心角相等。 师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。 二、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且 OD//AC 。求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // COD ACO BOD A , OC OA ACO A DOB COD BD CD 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD CAD OAD ODA 弧CD=弧BD CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑 去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形）
人教版九年级数学 与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题 含答案
与圆的基本性质有关的计算与证明专题练习题 1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是() A ．60°B．45°C．35°D．30° 2．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB ，则() A ．DE＝E B B.2DE＝EB C.3DE＝DO D．DE＝OB 3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于() A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100°4．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝() A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为() A ．45° B ．50° C ．60° D ．75° 6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ， 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数为()
A．45°B．50°C．55°D．60° 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是() A．120°B．135°C．150°D．165° 8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________． 9．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_______度． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为_______． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是_________． 12．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.
圆的基本性质复习教学设计
刘桂花 复习目标 1、理解圆及其有关概念 2.掌握利用垂径定理及推论进行计算和证明的方法 3、理解弧、弦、圆心角的关系，圆周角与圆心角的关系 4、掌握圆的相关计算和证明 重点：圆的基本性质及有关计算 难点：辅助线的做法 教学过程 一、情境示标： （1）情境：由于历年中考考查有关于圆的基本性质的试题总是出现，所以今天我们有必要进行一下这方面知识的复习。 （2）示标：出示目标 1、理解圆及其有关概念 2.掌握垂径定理及推论 3.理解弧、弦、圆心角的关系，圆周角与圆心角的关系 4.掌握圆的相关计算和证明 二、自学指导 完成复习提纲内容 活动一、小组活动 1.组内成员互考概念 2.小组探讨概念重要的或容易出错的地方 3.完成习题训练 4.小组汇报 三、交流讲评 各小组成员抽签选小组后讲解 （一）圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦) (2)弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 针对练习1 结合图形，找出⊙O中的弦、弧、优弧、劣弧 若AB是直径，AB=2DE，∠E=20o，则∠AOC的度数是 . 概念辨析：（1）弦是直径 （2）半圆是弧 （3）过圆心的线段是直径；
（4）半圆是最长的弧； （5）直径是最长的弦； （6）等弧就是长度相等的弧 注意-----等弧应同时满足两个条件： 1）两弧的长度相等， 2）两弧的度数相等。 （二）圆的基本性质 1.圆的对称性:1)圆是（ )对称图形,任何( )都是它的对称轴.圆有无数条( ) (2)圆是( )对称图形,并且绕( )旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转( ) 2、垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径( )弦,并且平分弦所对的( )。 几何语言： 垂径定理推论:平分弦（）的直径 ( )于弦,并且平分弦所对 的。 几何语言： 针对练习2 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是。 3．在⊙O，弦AB＝12cm，OC⊥AB， CD＝2cm，则⊙0 的半径为 _____ 已知圆O的半径为5cm,弦AB∥弦CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是 cm. 归纳：1常用两条辅助线：( )( ) 2构造一个( )△，3运用两个定理( )( )解决问题 巩固训练 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
圆的基本性质教案(含答案)
D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB BC BD =AC AD =
B B A O M A P 圆周角定理的推论： 推论1弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN ⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PB PO 平分∠BPA
第37讲专项研究类型①与圆的基本性质有关的计算与证明
【例2】下列命题准确的有 O 第37讲专项研究类型①与圆的基本性质相关的计算与证明 【重点】圆的相关性质和计算 【难点】圆的相关性质和计算 【知识梳理】 §1圆的相关概念 1?圆：平面上到 ________ 的距离等于_ _ _____ 为半径. ___________ 确定圆的位置, 2?弧：圆上任意两点间的部分叫做 _ 称为劣弧. 3. ______________________________ 弦：连接圆上任意两点的线段叫做 __ ,经过圆心的弦叫做 __________________________________________ O 4. __________________________ 能够重合的两个圆叫做 — _ ,同圆或等圆的 ,在同圆或等圆 中，能够互相重合的 两条弧叫做 §n 圆的相关性质: 1圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 2?垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理和推论能够结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何 两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对 的优弧. 3.点与圆的位置关系：设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d , (1 )点在圆外，即 d_r ； (2)点在圆上，即 d ________ r ； (3)点在圆内，即 d ____ r. 【典型例题及针对训练】 【例11 1.有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧; ④半径相等的两个半圆是等弧.其中准确的有( A . 4 个 B 变式训练： 1 .有4个命题： 圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是 考点2垂径定理的理解 _的所有点组成的图形叫做圆，其中， ______ 确定圆的大小。 ,简称弧，大于 _______ 的弧称为优弧，小于半圆的弧 为圆心, 2.若圆的半径是 ( ) A.点P 在O 0外 5cm,圆心的坐标是( B. 点P 在O 0内 0, 0),点P 的坐标是( 4, 2),则点P 与O O 的位置关系是 C. 点P 在O 0上 D. 点P 在OO 外或O 0上 3. O 0的半径为 5cm 一点P 到圆的最小距离与最大距离之比为 2: 3,贝y OP 长为 ①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过 2.矩形 ABCD 中 , AB= 8 , BC =3>/5,点 P 在边AB 上,且 BP = 3AP,如果圆P 是以点P 为圆心, PD 为半径的圆，那么下列判断准确的是( (A)点B 、C 均在圆P 外； (B ) ). 点B 在圆P 外、 (D) 点B 、C 均在圆 点C 在圆P 内; P 内.
圆的基本性质-教学设计
圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！”
圆的基本性质优秀教案
圆的基本性质 【教学内容】 垂径分弦 【教学目标】 1．经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题； 2．在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3．让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。 【教学重难点】 重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。 【教学过程】 一、复习引入 观察并回答： 1．在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的） 2．把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？ 二、新课 （一）猜想，证明，形成垂径定理 1．猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当CD ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）
2．得出猜想：在圆⊙O中，CD是直径，AB是弦，当CD⊥AB时，弦AB会被直径CD 平分。 3．提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证： 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， 且AB⊥CD，垂足为M。 求证：AE=BE。 4．思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？ 5．给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论 1．引导学生说出定理的几何语言表达形式 （1）CD是直径、AB是弦 1）AE=BE 2） （2）CD⊥AB 3） 2．利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的 本质了解。 例（1）看下列图形，是否能使用垂径定理？