2013年安徽高考数学(文科)试卷及答案

2013年安徽高考数学(文科)试卷及答案

一．选择题选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i

-

∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ）

（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3

【答案】D 【解析】i a i a i a i

i a i i i a i

a --=+-=+-

=-+-

=+-+-

=--)3()3(10

)3(109)3(10)

3)(3()3(103102

，

所以a =3， 故选择D

【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.

（2）已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ?=

（ ）

（A ）{}2,1--

（B ）{}2-

（C ）{}1,0,1-

（D ）{}0,1

【答案】A

【解析】A ：1->x ，}1|{-≤=x x A C R ，}2,1{)(--=B A C R ，所以答案选A 【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.

（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

（A ）34 （B ）16

（C ）1112

（D ）2524

【答案】C

【解析】21210,0,2=+===s s n ；

4

34121,21,4=+=

==s s n ； 12

116143,43,6=+=

==s s n

1211,8=

=s n ，输出

所以答案选择C

【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.

（4）“(2

1)0x x -=”是“0x =”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】2

10,0)12(或

==-x x x ，所以答案选择B

【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.

（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为

（A ）23 (B)

25

(C)

35

（D ）

9

10

【答案】D

【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110

p ++=

=

【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.

【答案】C

【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =

，半径r =

，所以最后弦长为

4=.

【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.

（7）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 【解析】

18833363

6978()

442

02

26

a a S a a a a a a d a a d +=?=?+=∴==-=+=-

【考点定位】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.

(8) 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n

x x x ，

使得

121

2

()()()n n

f x f x f x x x x =

==

，则n 的取值范围为

(A) {}2,3 (B) {}2,3,4 (C) {}3,4 (D) {}3,4,5

【答案】B 【解析】

111

1()()00

f x f x x x -=

-表示11(,())x f x 到原点的斜率；

121

2

()()()n n

f x f x f x x x x =

==

表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，

，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，

，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.

【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.

(9) 设A B C ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角

C =

(A) 3π (B) 23π (C) 34

π (D)

56

π

【答案】B

【解析】B A sin 5sin 3= 由正弦定理，所以b a b a 3

5,53==即；

因为a c b 2=+，所以a c 3

7=

，

2

12cos 2

22-

=-+=

ab

c

b a C ，所以3

2π=

C ，答案选择B

【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.

（10）已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的

方程

2

3(())2()0f x a f x b +

+=的不同实根个数为

（A ）3 (B) 4

(C) 5 (D) 6

【答案】A

【解析】2

'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2

320x ax b ++=的两根，

由2

3(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：

如图则有3个交点，故选A.

【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.

二．填空题

（11） 函数1ln(1)y x

=++_____________.

【答案】(]0,1

【解析】2110011011x x x

x x ?+>?><-?

??-≥?-≤≤?

或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1 【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.

（12）若非负数变量,x y 满足约束条件124

x y x y -≥-??+≤?，则x y +的最大值为__________.

【答案】4 【解析】

由题意约束条件的图像如下：

当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=，取得最大值.

【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z 取最大.

【答案】13

-

【解析】等式平方得：2

2

2

2

944a b

a

b

a b ==++?

则2

2

2

44||||co s a

a

b a b θ=++?

，即2

2

0443||co s b

b θ=+?

得1co s 3

θ=-

【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.

（14）定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时。()(1)f x x x =-，

则当10x -≤≤时，()f x =________________.

【答案】(1)()2

x x f x +=-

【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+ 又(1)2()f x f x +=，所以(1)()2

x x f x +=-

【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.

（15）如图，正方体1111A B C D A B C D -的棱长为1，P 为B C 的中点，Q 为线段1C C 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当102

C Q <<时，S 为四边形

②当12C Q =时，S 为等腰梯形

③当34

C Q =时，S 与11C

D 的交点R 满足113

C R =

④当

314

C Q <<时，S 为六边形

⑤当1C Q =时，S 2

【答案】①②③⑤ 【解析】（1）12

C Q =

，S 等腰梯形，②正确，图如下：

（2）1C Q =，S 22

=

，⑤正确，图如下：

（3）34

C Q =

，画图如下：113

C R =

，③正确

（4）

314

C Q <<，如图是五边形，④不正确；

（5）102

C Q <<

，如下图，是四边形，故①正确

【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。

三．解答题

（16）（本小题满分12分） 设函数()sin sin ()3f x x x π=++

.

（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.

【解析】（1）3sin cos 3

cos

sin sin )(π

π

x x x x f ++=

x x x x x cos 2

3sin 2

3cos 2

3sin 2

1sin +=++=

)6

sin(3)6

sin()23()23(22π

π+

=++=x x

当1)6

sin(-=+

π

x 时，3)(min -=x f ，此时)(,23

4,22

36

Z k k x k x ∈+=

∴+=

+

πππππ

所以，)(x f 的最小值为3-，此时x 的集合},23

4|{Z k k x x ∈+=

ππ.

(2)x y sin =横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得x y sin 3=；

然后x y sin 3=

向左平移

6

π个单位，得)6

sin(3)(π

+

=x x f

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.

（17）（本小题满分12分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

甲 乙

7 4 5

5 3 3 2 5 3 3 8

5 5 4 3 3 3 1 0 0

6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0

7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2

8 1 1 5 5 8 2 0

9 0

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.

【解析】（1）

30300.05600

0.05

n n

=?=

=

255

30

6

p ==

（2）1740135042460926709228052902

30

x +++?++?++?++?++?=

=

208430

2540145031760103370102080590

30

x +++?++?++?++?+=

=206930

2120842069150.530

30

30

x x =

==--

【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P A B C D -的底面A B C D 是边长为2的菱形，60B A D ∠=

.已知

2,P B P D P A ==.

（Ⅰ）证明：P C B D ⊥

（Ⅱ）若E 为P A 的中点，求三菱锥P B C E -的体积.

【解析】

（1）证明：连接,B D A C 交于O 点

P B P D = P O B D ∴⊥

又 A B C D 是菱形 B D A C ∴⊥

而A C P O O ?= B D ∴⊥面P A C ∴B D ⊥P C (2) 由（1）B D ⊥面P A C ????=

=

45sin 3262

12

1PAC PEC S S △△=

32

236=?

?

111132

3

2

2

P B E C B P E C P E C V V S B O --?==??=

??=

【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.

（19）（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足12a =，248a a +=,且对任意*n N ∈，函数

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++?? 满足'(

)02

f π=

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若122

n

n n a b a =+（

），求数列{}n b 的前n 项和n S .

【解析】

由12a = 248a a +=

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++??

1212--sin -cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=+??（

） 121'(

)--02

n n n n f a a a a π+++=+=

所以，122n n n a a a ++=+ {}n a ∴是等差数列. 而12a = 34a = 1d =

2-111n a n n ∴=+?=+（）

（2）1

111221212

2

2

n

n n a n n

b a n n +=+=++

=++（

）（）（）

111-2212212

1-2

n n n n S ++=+（）

（）

2

1=31-

2131-2

n

n n n n n ++=++（）

【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.

并考查逻辑推理能力和运算能力.

（20）（本小题满分13分）

设函数22

()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}|()0I x f x =>.

（Ⅰ）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-；

（Ⅱ）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值. 【解析】

（1）令2

()-10f x x a a x ??=+=??（）

解得 10x = 22

1a x a

=

+

2|01a I x x a ?

?∴=<

+?

? I ∴的长度212

-1a x x a

=

+

（2） ()0,1k ∈ 则0112k a k <-≤≤+< 由 （1）2

1a I a

=

+

22

2

1'0(1)

a

I a -=

>+，则01a <<

故I 关于a 在(1,1)k -上单调递增，在(1,1)k +上单调递减. ()

12

2

1-1-2211-k k I k k

k =

=

+++

22

111k I k +=++（）

m

i n

2

1-22k I k k

=

++

【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

（21）（本小题满分13分）

【解析】

（1）因为椭圆过点P ∴

2

2

231a

b

+

= 且222

a b c =+

∴ 28a = 24b = 2

4c = 椭圆C 的方程是

2

2

18

4

x

y

+

=

（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则Q G 的直线方程：

00

00

808x x y y x x --=-

化简得2

0000(8)80x y x x y y ---= 又2

2

0028x y +=， 所以00280x x y y +-=带入2

2

18

4

x

y

+

=

求得最后0?=

所以直线Q G 与椭圆只有一个公共点.

【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.