广东省汕尾市中考数学真题试题(含答案)

2015年汕尾市初中毕业生学业考试

数 学

说明：本试卷共4页，25小题，满分150分，考试用时100分钟

一、选择题：每小题4分，共40分。每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的。 1．1

2 的相反数是

A ．2

B.-2

C. 1

2

D.- 12

2．下图所示几何体的左视图为

D

C B A 第2题图

3．下列计算正确的是

A.x+x 2=x 3

B.x 2·x 3=x 6

C.(x 3)2=x 6

D.x 9÷x 3=x 3

4．下列说法正确的是

A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差是s 2甲 = 0.4 ，

s 2乙 = 0.6，则甲的射击成绩较稳定

C.“明天降雨的概率为1

2

”,表示明天有半天都在降雨

D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式

5．今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名行动，9天共收集超121万个签名，将121万用科学记数法表示为

A.1.21×106

B.12.1×105

C.0.121×107

D.1.21×105

6．下列命题正确的是

A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 7．使不等式x-1≥2与3x-7＜8同时成立的x 的整数值是

A.3,4

B.4,5

C.3,4,5

D.不存在

8．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。若∠B=20°，则∠C 的大小等于

A.20°

B.25°

C.40°

D.50°

9．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB=4，BC=2，那么线段EF 的长为

A.2 5

B. 5

C. 455

D. 255

10.对于二次函数y = - x 2

+ 2x.有下列四个结论：

①它的对称轴是直线x = 1；②设y 1 = - x 12 + 2x 1，y 2 = - x 22

+ 2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0,0）和（2,0）；④当0 ＜ x ＜ 2时，y ＞0.其中正确结论的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题：每小题5分，共30分。

11.函数y = x – 1 的自变量x 的取值范围是 .

12.分解因式：m 3

– m = .

13.一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 .

14.已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A,E,F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 .（写出一个即可）

15.如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC ，BC = 6，DE = 2 ，则□ABCD 周长等于 . 16.若1(2n-1)(2n+1) = a 2n-1 + b

2n+1 ,对任意

自然数n 都成立，则a = ，b = ；

计算：m=11×3 + 13×5 + 15×7 + … + 119×21

= .

三、解答题（一）（本大题有3小题，每小题7分，共21分） 17．本题满分7分.

在“全民读书月活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图。请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果） （1）这次调查获取的样本数据的众数是 ；

（2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ；

（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人。 18.本题满分7分.

计算：8 + |2 2 - 3| - （13 ）-1 -（2015 + 2 ）0

19.本题满分7分.

已知a + b = - 2 ，求代数式（a - 1）2

+ b （2a + b ）+ 2a 的值.

四、解答题（二）（本大题有3小题，每小题9分，共27分） 20. 本题满分9分.

已知关于x 的方程x 2

+ 2x + a – 2 = 0.

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根。 21. 本题满分9分.

如图，已知△ABC.按如下步骤作图：

①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；

②以C 为圆心，CB 长为半径画弧,两弧相交于点D ； ③连结BD ，与AC 交于点E ，连结AD ，CD. （1）求证：△ABC ≌△ADC ；

（2）若∠BAC = 30°,∠BCA = 45°,AC = 4，求BE 的长. 22. 本题满分9分.

售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件)

200

180

160

140

…

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元. (1)请用含x 的式子表示：

①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接填写结果） (2)设销量该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

四、解答题（三）（本大题有3小题，第23、24小题各11分，第25小题10分，共32分）. 23.本题满分11分.

如图，已知直线y = - 3

4

x + 3 分别与x 、y 轴交于点A 和B.

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）求原点O 到直线l 的距离；

（3）若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标. 24.本题满分11分.

(为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形)

在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰RtRt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P.

(1)如图1，当α=90°时，线段BD 1

的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果） (2)如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1 ⊥ CE 1 ； (3)求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）

25.本题满分10分.

(为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形)

如图，过原点的直线x k y 1=和x k y 2=与反比例函数x

y 1

=

的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．

（1）四边形ABCD 一定是 四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时k 1和k 2之间的关系式；若不可能，说明理由；

（3）设P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ）（x 2 > x 1 > 0）是函数x

y 1

=

图象上的任意两点， 2

21y y a +=

，212

x x b +=，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．

2015年汕尾市初中毕业生学业考试

数学参考答案

一、选择题：每小题4分，共40分

1.D

2.A

3.C

4.B

5.A

6.D

7.A

8.D

9.B 10.C

二、填空题：每小题5分，共30分

11.x ≥0

12.m （m+1）（m-1） 13. 2

5

y

x D

C

B

A

O

y

x

O

14.F 是AC 的中点（或EF ∥BC 或∠AEF=∠B 或∠AEF=∠C 或∠AFE=∠B 或∠AFE=∠C ）

15.20

16.a = 12 ，b = - 12 ；m = 10

21

三、解答题（一）（本大题有3小题，每小题7分，共21分）

17.（1）30元； ……2分 （2）50元； ……2分 （3）250 ……3分 18.解：原式 = 2 2 + 3 - 2 2 - 3

– 1 …… 5分 = - 1

…… 7分 19.解：原式 = a 2 – 2a + 1 + 2ab + b 2

+ 2a

……4分 = （a + b ）2

+ 1

……5分

当a + b = - 2 时，原式 = 3. ……7分

四、解答题（二）（本大题有3小题，每小题9分，共27分）

20.解：（1）依题意有：Δ = 22

– 4（a - 2）＞ 0 ……2分 解得a ＜ 3 ……4分 （2）依题意得：1 + 2 + a – 2 = 0 ……5分 解得 a = - 1 ……6分

∴原方程为x 2

+ 2x – 3 = 0 ……7分

解得x 1 = 1， x 2 = - 3 ……8分 ∴a = - 1，方程的另一根为x 2 = - 3 ……9分 （用韦达定理求解同样给分）

21.（1）证明：由作法可知：AB = AD ，CB = CD ……1分 又∵AC = AC ……2分 ∴△ABC ≌ △ADC （SSS ） ……3分 （2）解：由（1）可得，AB=AD ，∠BAC=∠CAD

∴AE ⊥BD ，即AC ⊥BE ……5分

在Rt △ABE 中，∠BAC=30°，∴AE = 3 BE ……6分 在Rt △BEC 中，∠BCE=45°，∴EC = BE

……7分

又AE + EC = AC = 4，∴ 3 BE + BE = 4, ……8分 ∴BE = 2 3 – 2 ∴BE 的长为2 3 – 2 ……9分 22.解：（1）①（x - 60）；②（-2x + 400） ……4分 （2）依题意可得： y = （x - 60）×（-2x + 400）

……6分 = -2x 2

+ 520x – 24000

……7分 = -2（x-130）2

+ 9800 ……8分 当x=130时，y 有最大值9800 所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元

……9分

四、解答题（三）（本大题有3小题，第23、24小题各11分，第25小题10分，共32分）. 23.解：（1）当x=0时，y=3 ∴B 点坐标（0,3） ……1分 当y=0时，有0 = - 3

4 x + 3，解得x=4

∴A 点坐标为（4,0）

……3分

（2）过点O 作OC ⊥AB 于点C ，

则OC 长为原点O 到直线l 的距离 ……4分 在Rt △BOA 中，0A=4,0B=3,由勾股定理可得AB=5，……5分

∵S △BOA = 12 OB ×OA = 1

2 AB ×OC

∴OC = OB ×OA AB = 12

5

……6分

∴原点O 到直线l 的距离为12

5

（3）过M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，当圆M 与直线l 相切时，ME=2， ……7分 在△BOA 和△BDM 中，∵∠OBA=∠DBM ，∠BOA=∠BDM

∴△BOA ∽△BDM ……8分

∴

AB MB = OA DM ，∴BM = AB ×DM OA = 52

……9分

∴ OM = OB –BM = 12 或OM = OB + BM = 11

2

∴点M 的坐标为M （0，12 ）或 M （0，11

2

）

……11分

24.解：（1）BD 1 = 2 5 ，CE 1 = 2 5 ……2分

（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135° ……3分 又AB=AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌ △E 1AC ……4分 ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = E 1CA ……5分 设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA=∠CFP ……6分 ∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD 1⊥CE 1

……7分

（3）1 + 3 ……11分

（四边形AD 1PE 1为正方形时，距离最大，此时PD 1=2，PB=2+2 3 ）

25.解：（1）平行 ……2分

（2）四边形ABCD 可以是矩形，此时k 1k 2=1 ……3分 理由如下： 当四边形ABCD 是矩形时，OA=OB ……4分 OA 2 = x 2 + y 2 = 1k 1 + k 1，OB 2 = x 2 + y 2

= 1k 2 + k 2，

……5分

∴1k 1 + k 1 = 1k 2 + k 2 ，得（k 2 – k 1）（1

k 1k 2 - 1）= 0 ∵k 2 – k 1 ≠ 0, ∴1k 1k 2 – 1 = 0

∴k 1k 2=1

……6分

所以四边形ABCD 可以是矩形，此时k 1k 2=1 （3）a ＞ b ……7分

∵a – b = y 1 + y 22 - 2x 1 + x 2 = 12 ( 1x 1 + 1x 2 ) - 2

x 1 + x 2

= (x 1+x 2)2

- 4x 1x 22x 1x 2 (x 1+ x 2) = (x 1-x 2)2

2x 1x 2 (x 1+ x 2)

……9分

∵x 2 > x 1 > 0，∴（x 1 – x 2）2

＞ 0，2x 1x 2 (x 1+ x 2) ＞ 0

∴(x 1-x 2)

2

2x 1x 2 (x 1+ x 2) ＞ 0 ∴a ＞ b

……6分