2016年陕西省高考文科数学试题与答案

2016年陕西省高考文科数学试题与答案

(满分150分，时间120分钟)

第Ⅰ卷

一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

（1）已知集合{1

23}A =，，，2

{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，，

（C ）{123}，， （D ）{12}，

（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =

（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）3-2i (3) 函数=sin()y A x ω?+ 的部分图像如图所示，则

（A ）2sin(2)6y x π

=-

（B ）2sin(2)3

y x π

=-

（C ） （D ）

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

（A ）12π （B ）

32

3

π （C ）8π （D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =

k

x

（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）

12 （B ）1 （C ）3

2

（D ）2 (6) 圆x 2+y 2?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a =

（A ）?43 （B ）?3

4

（C ）3 （D ）2

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到 该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

（A ）

710 （B ）58 （C ）38 （D ）3

10

(9) 中国古代有计算多项式值得的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依闪输入的a 为2，2，5，则输出的s =

（A ）7

（B ）12 （C ）17 （D ）34

(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是

（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y x

=

(11) 函数π()cos 26cos()2

f x x x =+- 的最大值为

（A ）4 （B ）5

（C ）6

（D ）7

(12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），

则

1

=m

i i x =∑

(A) 0 (B) m (C) 2m (D) 4m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.

(14) 若x ，y 满足约束条件10

3030x y x y x -+≥??

+-≥??-≤?

，则z =x -2y 的最小值为__________

（15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4

cos 5A =

，5cos 13

C =，a =1，则b =____________. （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)

等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=

（I ）求{n a }的通项公式； (II)设n

b =[

n

a ]，求数列{

n

b }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

（18） (本小题满分12分)

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P (A )的估计值； (II)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.

求P (B )的估计值；

（III ）求续保人本年度平均保费估计值. （19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ,F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF

折到△D ′

EF 的位置.

（I ）证明：'AC HD ⊥； (II)若5

5,6,,'224

AB AC AE OD ====求五棱锥的D ′-ABCFE 体积. （20）（本小题满分12分）

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. （21）（本小题满分12分）

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （I ）当AM AN =时，求AMN V 的面积 (II) 当2AM AN =32k <<.

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .

（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；

（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是

（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =

,求l 的斜率.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数11

()22

f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b M 时，1a b ab +<+.

参考答案：

一、选择题：

1、 D

2、C

3、A

4、A

5、D

6、A

7、C

8、B

9、C 10、D

11、B 12、 B

二、填空题： 13、-6 14、-5 15、b=

13

21

16、（1,3） 三、解答题

（17）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）23

5

n n a +=

；（Ⅱ）24. 试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5

a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??

=????

， 当n=1,2,3时，23

12,15n n b +≤

<=； 当n=4,5时，23

23,25n n b +≤<=；

当n=6,7,8时，23

34,35n n b +≤<=；

当n=9,10时，23

45,45

n n b +≤<=，

所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=. （18）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）由6050200+求P(A)的估计值；（Ⅱ）由3030

200

+求P(B)的估计值；（III ）根据平均值得计算公式求解.

试题解析：(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

6050

0.55200

+=， 故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为

3030

0.3200

+=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：

调查200名续保人的平均保费为

0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=，

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. （19）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）69

4

.

试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）证明.'⊥OD OH 再证'⊥OD 平面.ABC 最后呢五棱锥

'ABCEF D -体积.

试题解析：（

I ）由已知得，,.

⊥=AC BD AD CD

又由=AE CF 得=

AE CF

AD CD

，故//.AC EF

由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD .

（II ）由//EF AC 得1

.4

==OH AE DO AD

由5,6==AB AC 得 4.===DO BO

所以1, 3.'===OH D H DH

于是2

2

2

2

2

19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH

由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=I AC BD BD HD H ， 所以⊥AC 平面,'BHD 于是

.'⊥AC OD

又由,'⊥=I OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC

又由=

EF DH AC DO 得9

.2

=EF 五边形ABCFE 的面积11969

683.2224=??-??=S

所以五棱锥'ABCEF D -体积169342

=??=V （20）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，

1

()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+

-f x x x x f x x x

，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=

（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)

ln 0.1

--

>+a x x x 令(1)

()ln 1

-=-

+a x g x x x ，则 222

122(1)1

(),(1)0(1)(1)

+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，

（i ）当2≤

a ，(1,)∈+∞x 时，2

2

2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；

（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得

1211=-=-+x a x a

，

由21>x 和121=x x 得11

（21）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）

144

49

；（Ⅱ）)

2.

试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4

π

， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22

143

x y +=得27120y y -=，

解得0y =或127y =

，所以1127

y =. 因此AMN ?的面积11212144

227749

AMN S ?=???=

. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22

143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.

由2121612(2)34k x k -?-=+得212

2(34)34k x k -=+，故22

1121||1|2|k AM k x +=++=.

由题设，直线AN 的方程为1

(2)y x k =-+，故同理可得22

121||43k k AN k

+=+. 由2||||AM AN =得

22

23443k k k

=++，即32

46380k k k -+-=. 设3

2

()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，2

2

'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥， 所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

1

2

. 试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ?~?

则有,

,DF DE DG

GDF DEF FCB CF CD CB

∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ?~?由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此0

180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.

（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ?斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ?~?

因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍，即

111

221.222

GCB S S ?==???=

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】（Ⅰ）2

12cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15

3

±

. 试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程2

12cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得

212cos 110.ρρα++=

于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=

22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-

由||10AB =得2

315

cos ,tan 83

αα=

=±， 所以l 15或15（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.

试题解析：（I ）12,,21

1()1,,2

212,.2x x f x x x x ?

-≤-??

?=-<

当1

2

x ≤-

时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当11

22

x -

<<时，()2f x <； 当1

2

x ≥

时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.

（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而

22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，

因此|||1|.a b ab +<+