控制系统的超前校正设计
控制系统的超前校正设计
1 设计原理
本设计使用频域法确定超前校正参数。
首先根据给定的稳态性能指标，确定系统的开环增益K 。因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以，第一步仍然是调整放大器，使系统满足稳态性能指标。
再利用上一步求得的K ，绘制未校正前系统的伯德图。
在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，并计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿角的超前相角εγγσ?+-=0。其中γ为给定的相位裕度指标；0γ为未校正系
统的相位裕度；ε为附加角度。（加ε的原因：超前校正使系统的截止频率c ω增大，未校正
系统的相角一般是较大的负相角，为补偿这里增加的负相角，再加一个正相角ε，即
|
)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥ 其中，c 'ω为校正后的截止频率。当系统剪切率对应的ε取值为：当剪切率为-20dB 时，
deg 10~5=ε，剪切率为-40dB 时，deg 15~10=ε，剪切率为-60dB 时，deg 20~15=ε。）
取σ??=m ，并由m m a ??sin 1sin 1-+=求出a 。即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。
为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c 'ω上，即
c m 'ωω=，
取未校正系统幅值为)(lg 10dB a -时的频率作为校正后系统的截止频率c 'ω。 由T a m 1
=ω计算参数T ，并写出超前校正的传递函数Ts aTs
s G c ++=11)(。
校验指标，绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不满足要求时，则增大ε值，从ε取值再次调试计算。
2 控制系统的超前校正
2.1 初始状态的分析
由已知条件，首先根据初始条件调整开环增益。根据：
)3.01)(1.01()(s s s K s G ++=
要求系统的静态速度误差系数6≤v K ，
K s s K S sG k s v =++=
=→)3.01)(1.01()(lim 0
可得K=6，则待校正的系统开环函数为
)
3.01)(1.01(6)(s s s s G ++= 上式为最小相位系统，其MATLAB 伯德图如图1所示。
程序：
G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);[kg,r]=margin(G)
G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);margin(G)
图1 系统校正前的伯德图
频率的相对稳定性即稳定裕度也影响系统时域响应的性能，稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度h 来度量。由图1可得：
截止频率
sec /74.3rad c =ω 穿越频率 sec /77.5rad x =ω
相角裕度 deg 2.21=Pm
幅值裕度 dB h 4.96=
显然deg 45≤γ，需要进行超前校正。
用MATLAB 画出其校正前的根轨迹，如图2所示。
其程序：
num=[6]; %描述系统分子多项式
den=[0.03,0.4,1,0];
%描述系统分母多项式 rlocus(num,den);
%计算出系统根轨迹
图2 系统校正前的根轨迹
2.2 超前校正分析及计算
2.2.1 使用频域法确定超前环节函数
利用超前网络的相位超前特性，正确的将超前网络的交接频率1/aT 和1/T 选在待校正系统截止频率的两旁，并选择适当参数a 和T ，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。
计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿的超前相角
εγγσ?+-=0
取|)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥，由未校正系统的伯德图可知当前未校正系统的剪切率为-40dB ，可取deg 15~10=ε，其中：
deg 45=γ deg 2.210=γ deg 10=ε
deg 8.33=σ?
取deg 8.33==σ??m
并由m
m a ??sin 1sin 1-+= 求出 51.3=a 作45.551.3lg 10-=-dB 直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec /28.5rad =ω ，如图3所示。
图3 deg 10=ε时的ω取值
取sec /28.5'rad m c ==ωω
由T a m 1=
ω，得101.0=T
因此超前传递函数为
s s s G c 101.01354.01)(51.3++= 为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高3.51倍，否则不能保证稳态误差要求。
超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为
)
101.01)(3.01)(1.01()354.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++= 因此，已系统校正后程序及伯德图如图4所示。
num=[2.134,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[0.00303,0.0704,0.501,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式
margin(num,den); %画出伯德图
title('校正后的系统伯德图'); %标题
[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数
图4 deg 10=ε时校正后的伯德图
kg =3.1130
r =38.0727
wg =10.4196
wc =5.3069
可见deg 45deg 07.38<=γ，因此不满足要求，说明σ?还不够大。试取deg 15=ε
εγγσ?+-=0
其中
deg 45=γ deg 2.210=γ deg 15=ε
deg 8.38=σ?
取deg 8.38==σ??m
并由m
m a ??sin 1sin 1-+= 求出 35.4=a 作39.635.4lg 10-=-dB 直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec /59.5rad =ω，如图5所示，取：
sec
/59.5'rad m c ==ωω
由T a m 1=
ω，得085.0=T
因此超前传递函数为
图5 deg 15=ε时ω的取值
s
s s G c 085.01373.01)(36.4++= 为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高4.36倍，否则不能保证稳态误差要求。
超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为
)085.01)(3.01)(1.01()
373.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++=
因此，已系统校正后程序及伯德图如图6所示。
num=[2.238,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[0.00258,0.064,0.486,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式
margin(num,den); %画出伯德图
title('校正后的系统伯德图'); %标题
[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数
kg =3.2670
r =40.4936
wg =11.3960
wc =5.5985
图6 deg 15=ε时校正后的伯德图
可见deg 45deg 49.40<=γ，因此不满足要求，说明σ?还不够大。
2.2.2 使用MATLAB 解方程组方法确定超前环节函数
用MATLAB 解方程组的方法尝试求取未校正系统的a 和c ω
a L L m c c lg 10)()(==-ωω；（1）
a T m ω1
=； （2）
1
1arcsin +-=a a m ?；（3） 由（1）、（2）、（3）三个公式可的关于a 和c ω的方程组：
)
13.0)(11.0)((6lg 20lg 10++-=c c c j j j a ωωω （方程1） οο45)3.0arctan()1.0arctan(901
1arcsin =--++-c c a a ωω （方程2） 其程序为：
>>[a w]=solve('10*log10(a)=20*log10(w*sqrt((0.1*w)^2+1)*sqrt((0.3*w)^2+1)) -20*log10(6)','asin((a-1)/(a+1))+pi/2-atan(0.1*w)-atan(0.3*w)=pi/4','a,w') %描述求解的方程组并求两个未知量
a = 7.7370763966971637649740767579051
157.24400989088140052347823364624
w = 6.4447386529911460391176608306442
12.345109628995731825100923603504
可得
74.7=a
sec /44.6'rad c =ω 由T a m 1=
ω，得056.0=T
因此超前传递函数为
()s s Ts aTs s G c 05578.014316.0111++=++= 超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数可写为：