高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章 平面解析几何

第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起]

一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2

x 1－x 2

. 二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件

方 程

局限性

点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0)

不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式

过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2)

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1

不包括垂直于坐标轴的直线

截距式

在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)

x a ＋y b

＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不

全为0)

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°

D ．120°

解析：选C 由k ＝tan α＝－

3

3

，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－3

4，则直线l 的方程为( )

A ．3x ＋4y －14＝0

B ．3x －4y ＋14＝0

C ．4x ＋3y －14＝0

D ．4x －3y ＋14＝0

解析：选A 由y －5＝－3

4

(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.

3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1

B ．4

C ．1或3

D ．1或4

解析：选A 由1＝4－m

m ＋2

，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.

4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4

＝a －3.

由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：4

5．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－3

2.

所以l 的方程为y －2＝－3

2(x ＋1)，

即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝0

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．

直线的倾斜角与斜率

典题导入

[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π

4，

则y ＝( )

A ．－1

B ．－3

C ．0

D ．2

(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－－34－2＝2y ＋4

2＝y ＋2，因此y ＋2＝－＝－3.

(2)由题知k ＝－

33cos θ，故k ∈??????－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈?

?????0，33时，直线倾斜角α∈??????0，π6，当k ∈????

??－33，0时，直线倾斜角α∈??????5π6，π，故直线的

倾斜角的范围是??????0，π6∪????

??5π6，π. [答案] (1)B (2)??????0，π6∪????

??5π6，π

由题悟法

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．

以题试法

1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π

4，则直线l ：ax

－by ＋c ＝0的倾斜角为( )

A ．45°

B ．60°

C ．120°

D ．135°

解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ? ????π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.

2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段

AB 相交，则k 的取值范围是( )

B ．(－∞，－2]

C ．(－∞，－2]∪????

??12，＋∞

解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线

段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .

∵k PA ＝－2，k PB ＝1

2，

∴－2≤k ≤1

2.

直 线 方 程

典题导入

[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________． (2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2

＋y 2

＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．

[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，

m ＝－1.

则所求直线方程为x －2y －1＝0.

(2)由题意得，1－0

1－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，

即2x －y －1＝0.

[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0

由题悟法

求直线方程的方法主要有以下两种：

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

以题试法

3．(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．

因为线段AB ，AC 中点坐标分别为? ????72，1，? ??

??－12，－2，

所以这条直线的方程为y ＋2

1＋2＝x ＋

1272＋1

2

，

整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y

138

＝1.

(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －1

2－1

，即

一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117

－y

11＝1.

直线方程的综合应用

典题导入

[例3] (2012·开封模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与

l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．

[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．

由题意知?????

x ＋x B 2＝3，

y ＋y

B

2＝0，

则点B (6－x ，－y )，

解方程组???

?

?

2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，

得?????

x ＝11

3

，

y ＝16

3，

则k ＝163－0113

－3＝8.

故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)， 点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由?

??

??

y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得?????

x A ＝3k －2

k －2，y A

＝4k

k －2.

由?????

y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，

解得?????

x B ＝3k －3

k ＋1，y B

＝－6k

k ＋1.

∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即

4k k －2＋－6k

k ＋1

＝0， ∴k 2

－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3， 此时

x A ＋x B 2

＝

1－3

2

≠3，∴k ＝0舍去，

故所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.

由题悟法

解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．

以题试法

4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于

A ，

B 两点，O 为原点．

(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，

A ? ?

?

??

2－1

k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )? ????2－1k ＝12??????4＋－4k ＋? ????－1k ≥1

2(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－1

2时，等号成立．

故直线l 的方程为y －1＝－1

2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.

(2)∵|MA |＝ 1

k

2

＋1，|MB |＝4＋4k 2

， ∴|MA |·|MB |＝

1

k

2

＋1·4＋4k 2

＝2

k 2＋1

k

2＋2≥2×2＝4，

当且仅当k 2

＝1k

2，即k ＝－1时取等号，

故直线方程为x ＋y －3＝0.

[典例] (2012·西安模拟)设直线l 的方程为 (a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．

(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．

[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，此时截距相等． 故a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.

当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得

a －2

a ＋1

＝a －2，即a ＋1＝1， 故a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.

综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，

则?

??

??

－a ＋1＞0，a －2≤0，或?

??

??

－a ＋1

＝0，

a －2≤0.

∴a ≤－1.

综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．

——————[

易

错

提

醒]———————————————————————————

1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x 轴与y 轴上的截距为零时也满足.

2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.

——————————————————————————————————————针对训练

过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：①当过原点时，直线方程为y ＝－43x ；

②当不过原点时，设直线方程为x a ＋y

－a ＝1，

即x －y ＝a .代入点(3，－4)，得a ＝7. 即直线方程为x －y －7＝0. 答案：y ＝－4

3

x 或x －y －7＝0

1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)

D ．(－1，－2)

解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．

2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0

D ．2x －11y ＋16＝0

解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|

22

＋11

2

＝

|0＋11＋C |

22＋11

2

，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38. 3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点

P ，则P 点坐标为( )

A ．(3,0)

B ．(－3,0)

C ．(0，－3)

D ．(0,3)

解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2.

又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．

4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，

c 应满足( )

A ．ab ＞0，bc ＜0

B ．ab ＞0，bc ＞0

C ．ab ＜0，bc ＞0

D ．ab ＜0，bc ＜0

解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－c b

＞0，故ab ＞0，bc ＜0.

5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13

B ．y ＝－1

3x ＋1

C ．y ＝3x －3

D ．y ＝1

3

x ＋1

解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－1

3x ，再向右平移1个

单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋1

3

.

6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )

A ．－2

B ．－7

C ．3

D ．1

解析：选C 线段AB 的中点?

??

?

?1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.

7．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．

解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2

k

，令－

3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12

.

答案：(－∞，－1)∪? ??

??12，＋∞

8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．

解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－3

2

x ；l 不过原点时，设方程

为x a ＋y a

＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.

综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0

9．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．

解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，

则?

??

??

x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得?

??

??

x ＝－2，y ＝3.

答案：(－2,3)

10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解：设所求直线方程为x a ＋y

b

＝1， 由已知可得?????

－2a ＋2

b

＝1，1

2|a ||b |＝1，

解得?

??

??

a ＝－1，

b ＝－2或?

??

??

a ＝2，

b ＝1.

故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈???

?

??

－

33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1

m ＋1

(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π

2；

②当m ≠－1时，m ＋1∈????

??

－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝

1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪????

??

33，＋∞， ∴α∈??

????π6，π2∪? ??

??π2，2π3.

综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈??????π6

，2π3.

12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点

P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落

在直线y ＝1

2

x 上时，求直线AB 的方程．

解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，

k OB ＝tan(180°－30°)＝－

33

， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33

x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ?

????

m －3n 2

，m ＋n 2，

由点C 在y ＝1

2x 上，且A 、P 、B 三点共线得?????

m ＋n 2＝12·m －3n

2，m －0m －1＝n －0

－3n －1，

解得m ＝3，所以A (3， 3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝

3

3－1＝3＋3

2，

所以l AB ：y ＝3＋3

2

(x －1)，

即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.

1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )

解析：选B 由??

?

y ＝kx －3，

2x ＋3y －6＝0，

解得???

??

x ＝32＋32＋3k ，

y ＝6k －232＋3k .

∵两直线交点在第一象限，∴?

??

??

x ＞0，

y ＞0，解得k ＞

3

3

. ∴直线l 的倾斜角的范围是? ??

??π6，π2.

2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2

＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．

解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－1

1－2＝

－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.

答案：x －y ＋1＝0

3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；

(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；

(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．

解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．

法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，

∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，

解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．

(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，

要使直线l 不经过第四象限，则?

??

??

k ≥0，

1＋2k ≥0，

解得k 的取值范围是[0，＋∞)．

(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－

1＋2k

k

，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴

A ? ??

??－

1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．

又－1＋2k

k

<0且1＋2k >0，∴k >0.

故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )

＝12?

?

???4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，

当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1

2

时，取等号．

故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.

1．(2012·郑州模拟)已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )

A ．x ＋3y －5＝0

B ．x ＋3y －15＝0

C ．x －3y ＋5＝0

D ．x －3y ＋15＝0

解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，

∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－1

3

x ＋5，即x ＋3y －15＝0.

2．(2012·吴忠调研)若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数

a 的取值范围是________．

解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2.

∵α为钝角，∴a －1

a ＋2

＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， 故－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)

3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．

解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b

＝1，

∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2

b

＝1.

∴1＝3a ＋2b ≥2

6

ab

，即ab ≥24.

∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2

b ，即a ＝6，b ＝4时，

△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y

4＝1.

即2x ＋3y －12＝0.

第二节两直线的位置关系

[知识能否忆起]

一、两条直线的位置关系

斜截式一般式

方程y＝k1x＋b1

y＝k2x＋b2

A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)

A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)

相交k1≠k2

A1B2－A2B1≠0

?

?

??

?

当A2B2≠0时，记为

A1

A2

≠

B1

B2

垂直k1＝－

1

k2

或

k1k2＝－1

A1A2＋B1B2＝0

?

?

??

?

当B1B2≠0时，记为

A1

B1

·

A2

B2

＝－1

平行

k1＝k2

且b1≠b2

{A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或

{A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0

?

?

??

?

当A2B2C2≠0时，记为

A1

A2

＝

B1

B2

≠

C1

C2

重合

k1＝k2

且b1＝b2

A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)

?

?

??

?

当A2B2C2≠0时，记为

A1

A2

＝

B1

B2

＝

C1

C2

二、两条直线的交点

设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．

三、几种距离

1．两点间的距离

平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：

d(A，B)＝|AB|＝x1－x22＋y1－y22.

2．点到直线的距离

点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |

A 2＋

B 2.

3．两条平行线间的距离

两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|

A 2＋B

2.

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )．若l 1

⊥l 2，则实数m 为( )

A ．6

B ．－6

C ．5

D ．－5

解析：选B 由已知得k 1＝1，k 2＝m ＋1

5

.

∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， ∴1×

m ＋1

5

＝－1，即m ＝－6.

2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x ＋2y ＝3的距离为( )

C ．5

解析：选B d ＝|0＋2×－1－3|

5＝ 5.

3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )

D ．(－b ，－a )

解析：选B 设对称点为(x ′，y ′)，则

???

y ′－b x ′－a

×－1＝－1，

x ′＋a 2

＋

y ′＋b

2

＋1＝0，

解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.

4．l 1：x －y ＝0与l 2：2x －3y ＋1＝0的交点在直线mx ＋3y ＋5＝0上，则m 的值为( ) A ．3 B ．5 C ．－5

D ．－8

解析：选D 由{ x －y ＝0，2x －3y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点坐标为(1,1)． 所以m ＋3＋5＝0，m ＝－8.

5．与直线4x ＋3y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．

解析：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由3＝|m ＋5|42

＋3

2

，得m ＝10或－20.

答案：4x ＋3y ＋10＝0或4x ＋3y －20＝0

1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．

2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋

By ＋C ＝0的形式，否则会出错．

两直线的平行与垂直

典题导入

[例1] (2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：

x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[自主解答] 由a ＝1，可得l 1∥l 2；反之，由l 1∥l 2，可得a ＝1或a ＝－2. [答案] A

在本例中若l 1⊥l 2，试求a .

解：∵l 1⊥l 2，∴a ×1＋2×(a ＋1)＝0， ∴a ＝－23

.

由题悟法

1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2?k 1＝k 2，l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

2．(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.

(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.

以题试法

1．(2012·大同模拟)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线x sin A

＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A

a

，k 2＝

b

sin B

，由正弦定理得k 1·k 2＝－

sin A a ·b

sin B

＝－1，所以两条直线垂直．

两直线的交点与距离问题

典题导入

[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2

＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2

＋(y ＋4)2

＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.

[自主解答] 因曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2

＝2到直线l ：y ＝x 的距离为0－－42－2＝

22－2＝2，所以曲线C 1与直线l 不能相交，故x 2

＋a ＞x ，即x 2

＋a －x ＞0.

设C 1：y ＝x 2

＋a 上一点为(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝

－x 0＋x 2

0＋a

2

＝

?

????x 0－122＋a －1

42≥

4a －142

＝2，所以a ＝9

4.

[答案] 94

由题悟法

1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解： (1)点P (x 0，y 0)到与y 轴垂直的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |. (2)点P (x 0，y 0)到与x 轴垂直的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.

以题试法

2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213

13

，则c 的值是________．

解析：由题意得63＝a －2≠c

－1，

得a ＝－4，c ≠－2，

则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c

2

＝0，

则

??????c 2＋113

＝

213

13

，解得c ＝2或－6.

答案：2或－6

对 称 问 题

典题导入

[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )

A ．210

B ．6

C ．3 3

D ．25

[自主解答] 如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4,2)，C (－2,0)，由对称性知，D ，M ，N ，C 共线，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |＝|CD |＝40＝210即为光线所经过的路程．

[答案] A

由题悟法

对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称

①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足

{ x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称

①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有

???

n －b m －a ×? ??

??－A B ＝－1，A ·a ＋m 2

＋B ·b ＋n 2

＋C ＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

以题试法

3．(2012·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0

C ．－3x ＋4y －5＝0

D ．－3x ＋4y ＋5＝0

解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.

[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l 1： 3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂 直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．

[常规解法] 解方程组{ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0， 得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)． 由l 3的斜率35得l 的斜率为－5

3

.

则由点斜式方程可得l 的方程为y －2＝－5

3(x ＋1)即5x ＋3y －1＝0.

——————[

高

手

支

招]———————————————————————————

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：

(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；

(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.

——————————————————————————————————————

[巧思妙解] 由于l 过l 1，l 2的交点，故可设l 的方程为3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，得λ＝1

5

.

代入直线系方程得l 方程5x ＋3y －1＝0. 针对训练

求与直线2x ＋6y －11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．

解：由题意，设所求直线方程为2x ＋6y ＋b ＝0.令x ＝0，得y ＝－b

6；令y ＝0，得x ＝

－b

2，则直线2x ＋6y ＋b ＝0与坐标轴的交点坐标分别为?

?

???0，－b 6，? ????

－b

2，0.

又所围成的三角形面积S ＝12·??????－b 6·??????－b 2＝12·b 2

12＝6，所以b 2

＝144，所以b ＝±12.

故所求直线方程为2x ＋6y ＋12＝0或2x ＋6y －12＝0. 即为x ＋3y ＋6＝0或x ＋3y －6＝0.

1．(2012·海淀区期末)已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1

＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选C 由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．

2．当0＜k ＜1

2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选B 解方程组{ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为

? ??

??k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限． 3．(2012·长沙检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )

C ．4

D ．8

解析：选B ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋1

2＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为??????

12＋732＋42

＝3

2

. 4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)

D ．(4，－2)