第九讲不等关系、不等式的基本性质

第八讲不等关系、不等式的基本性质

一、知识点精讲：

（一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。

注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。（二）不等式的基本性质：

1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变

（三）不等式的解集：

1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．

2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。因此，解集要达到不多不漏的严格要求。

3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．

不等式的解集在数轴上的表示如下：

①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)

图1－1

②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)

图1－2

③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)

图1－3

④当不等式的解集是x≤a 时.(如图1－4)

图1－4

4．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的集合.。 5．求不等式解集的过程叫做解不等式。

1. 判断不等式

例1．判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式.

①y x + ；②73>x ； ③523=+； ④2

0x ≥； ⑤132=-y x ； ⑥01<-.

变式训练

1. 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中，不等式有 个.

2．据题意列不等式：

例2．用不等式表示下列数量关系.

⑴a 的相反数与5的和小于a 与7的差； ⑵5-与x -的和一定是负数；

⑶长为2+a ,宽为a 的长方形面积小于边长为1+a 的正方形的面积.

变式训练1． 用不等式表示下列数量关系.

(1)a 的3倍与2的差小于a 的5倍与7的和； (2)x 的绝对值与1的和不小于1；

(3)b a 、两数的平方和的2倍再加上c 小于10； (4) x 与3的和的一半时负数.

3． 不等式的基本性质：

例3.比较下列各题中两个式子的大小.(1) 33a -与44

a

-； (2)b a +与b a -.

变式训练：（1）. 若由y x <得到y a x a 22<，则一定有（ ）．

A ．0>a

B ．0

C ．0≠a

D ．a 为任意实数

（2）. 设c b a ，，的平均数为M ，b a ，的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若

c b a >>，则M 与P 的大小关系是（ ）．

A ．P M =

B ．P M >

C ．P M <

D ．不确定

例4． 运用不等式的基本性质进行化简：

1．已知b a >,则75+-a 75+-b 已知4646-<-b a ,则a b ． 考点5 图像中比较大小

2．如图所示，c b a ，，分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系

正确的是（ ）．

A ．b c a >>

B ．c a b >>

C ．c b a >>

D ．b a c >>

变式训练（1）. 如图所示，四个小朋友玩跷跷板，体重分别为S R Q P 、、、，则他们的体重大小关系是（ ）．

A ．Q S R P >>>

B ．R P S Q >>>

C ．R Q P S >>>

D ． Q R P S >>>

考点6： 不等式的解和解集（不等式中字母的取值范围）

1．已知关于x 的方程4

15

2435-=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围．

2．已知关于y x ,的方程组???-=++=+1

341

23a y x a y x 的解满足y x >，求a 的取值范围．

3． 求同时满足不等式50438747

5

6++++x x x x 和的整数解

变式训练（1）．已知关于y x ,的方程组???-=-+=+5

85

4a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ，求a

的取值范围．

3．关于x 不等式a bx b ax 2+>+的解集为3>x ，求关于x 的不等式b ax <7的解集．

变式训练（1）．不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为3

1

-

-2)3(的解集．

4．关于x 的不等式134>+a x 的解都是不等式03

1

2<+-x 的解，求a 的取值范围．

变式1．已知不等式a x x 322434-<+（x 为未知数）的解集也是不等式2

1621<-x 的解集，求a 的值．

A (基本训练)

1．x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） （A ）3x 2

1

)4x (2-<

+ （B ）24x ?+≤3x 21-

（C ）)4x (2+≤3x 2

1

- （D ）)4x (2+≤)3x (2

1

-

2．若a

4+-<+- （B ）a 3b 3-<- （C ）33b a < （D ）b 2a 2-<-

3．若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列结论错误的是（ ）

（A ）0>-b a （B ）0>ab （C ）b c a c -<- （D ）b

a 1

1>

4．如果x<0，那么x

|x |

-是（ ）

（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 5．下列不是不等式8x )5x (2-<

-的解的数是（ ）

（A ）－4 （B ）－5 （C ）－3 （D ）2 6．如果不等式b ax <的解集为a

b

x <

，那么a 的取值范围是（ ） （A ）a≥0 （B ）a≤0 （C ）a>0 （D ）a<0 7．如图所示，x <2用数轴表示正确的是（ ）

8．不等式1x 4

3

<的非负整数解是（ ）

（A ）无数个 （B ）1 （C ）0，1 （D ）1，2 二、解答下列各题 1．用不等式表示：

（1）5与x 的3倍的差是正数；

（2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； （4）x 除以2的商加上2，至多为5。 2．根据不等式的性质，把下列不等式化为“a x >”或“a x

<”的形式：

（1）74x <+ （2）2x 4x 5+< （3）4x 5

1

-> （4）9x 3>-

3．已知0a <，0b 1<<-，则a ，ab ，2

ab 之间的大小关系是怎样的？

B(能力提升)

1、不等式的解的特殊情况：

（1）只有唯一解。例如x 2≤0，则x=0；

（2）有无数个解。例如(x-5)2≥0，则x 有无数个解； （3）无解。例如|x-b|<0，则x 无解。 2、课堂训练题

（1）若x 为实数，判断下列各式的正负性

① (x+3)2 ② 2x-x 2-0.75

（2）当x= 时，代数式x 2+4x-1有最大值是 。

（3）已知关于x 的方程4m

3x 52152x -=-的解是非负数，求m 的取值范围。

3、实数倒数大小的比较

【思考题】（1）：比较a

a 1

与的大小关系？

（2）. 满足方程|x+2|+|x-3|=5的解是多少？