弯曲应力、强度计算参考资料
第六章 弯曲应力和强度
一、授课学时:6学时 二、重点与难点:
重点:弯曲正应力、剪应力分布,弯曲强度条件应用
难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念
重点处理:从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方法,结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练.
难点处理: 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照A
N =
σ,P
I T ρτ=
的推导消化难点,以学生理解这一推导思路.结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心.
三、主要内容:
（一） 弯曲正应力
1、 纯弯曲时的正应力
图所示简支梁AB ，载荷P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为对称弯曲，其计算简图如图所示。从AB 梁的剪力图）和弯矩图可以看到，AC 和DB 梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在CD 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时，
0≠=Q dx
dM 。
可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于
0==Q dx
dM ，可知梁的各
截面上弯矩为一不变的常数值，即M =常量。因此，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。
纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力σ组成的内力系的合力矩即为弯矩M 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超
静定的。和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关系、物理关系和静力关系进行分析。
（1）变形几何关系
为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面（图6-2a）。在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察以下现象：
（1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠近凸侧一边的纵线伸长。
（2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直。
（3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设：
（1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面1-1和2-2从梁中截取出长为dx的一个微段，横截面选用如图所示的z
y-坐标系。图中，y轴为横截面的对称轴，z轴为中性轴。从图中可以看到，横截面1-1和2-2间相对转过的角度为
θd，中性层
?
2
1
O
O曲率半径为ρ，距中性层为y处的任一纵线（纵向纤维）ab为圆弧曲
线。因此，纵线ab 的伸长为
θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()(
而其线应变为
ρ
θ
ρθ
εy
d yd e
l =
=
?=
由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变ε即为横截面上坐标为y 的所有各点处的纵向纤维的线应变。
（2）物理关系
根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为
y E
E ρ
εσ=
=
该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上
ρ
E
为常数，说
明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 （3）静力关系
图所示梁的横截面的窨直角坐标系xyz O -中，y 轴为截而后纵向对称轴，Z 轴为截面的中性轴，x 为通过截面上O 点与截面垂直的轴。横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为
，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，C 为横截面的形心）。这个内力系只可能简化为三个内力分量，即平行于x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩M 和对轴的力偶矩y M ，分别为
dA y M dA
z M
dA
N A
A y
A
σσσ?
??=
=
=
梁纯弯曲时，横截布没有轴力，有
0==?A
dA N σ
将物理关系代入上式可得：0==
?
?
A
A
ydA E
ydA E
ρ
ρ
由于弯曲时
0≠ρ
E
，必然有
0==?
z A
S y d A
此式表明，z 轴，即横截面的中性轴一定是形心轴，点O 即为截面的形心（O 点和C 点重合）。x 轴即为梁的轴线。从而，完全确定了纯弯曲时中性轴z 在横截面上的位置。
同时，由于对称弯曲时梁的横截面上弯矩0=y
M
，可得
0==
?A
y
dA
z M
σ
由于横截面上的正应力σ只与点的y 坐标成正比而与z 坐标无关，而y 轴又为截面的纵向对称轴，所以，这一关系式是自动满足的。
最后，根据对称弯曲时梁的横截面上弯矩z M M =，将物理关系代入下式
M dA y E
dA y M
A
A
z
==
=
?
?
2
ρ
σ
式中积分
z A
I dA y =?
2
是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可表达为
EI
M =ρ
1
式中，
ρ
1
是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率。该式表明，z EI 越大，则曲率
ρ
1
越小。因此，
z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入式微分关系，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计
算公式
z
y
I M =
σ
即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧为拉压力，凹入的一侧为压应力。 设max y 为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，则截面上的最大正应力为
z
I My max
max =
σ
如引入符号
m a x
y I W z z =
则截面上最大弯曲正应力可以表达为
z
W M =max
σ
式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]
3
长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：
6
2
12
2
3
max
bh h
bh
y I W z z =
==
直径为d 的圆截面：
32
2
643
3
max
d d d
y I W z z ∏=
∏=
=
至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如
T 形截面。这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：
z
t I My 1)(=
σ
最大压应力为：
z
e I My 2)(=
σ
2、横力弯曲时的正应力
弹性理论分析表明，对横力弯曲时的细长梁，即截面高度h 远小于跨度l 的梁，横截面上的下述附加正应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。而且，用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，即
z
I My =σ
来计算细长梁横力弯曲时的正应力，和梁内的真实压力相比，并不会引起很大的误差，能够满足工程问题所要求的精度。所以，对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。 3、弯曲正应力强度条件
梁在弯曲时，横截面上一部分点为拉应力，另一部分点为压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面。因此，弯曲正应力的强度条件为：
[]σσ≤????
??=m a x
m a x z
W M 对于铸铁等这一类脆性材料，则由于其抗拉和抗压的许用应力不同，工程上常将此种梁的截面做成如T 字形等对中性轴不对称的截面（6-6b ），其最大拉应力和最大压应力的强度条件分别为
[]t z
t
t I
My σσ≤???? ??=max
max )( 和 []c z c
c I
My σσ≤???? ??=max
max )( 式中，t y 和c y 分别表示梁上拉应力最大点和压应力最大点的y 坐标。
[]t σ和[]c σ分别为脆性材料的弯曲许用拉应力和许用压应力。
例．图所示外伸梁，用铸铁制成，截面为T 字形。已知梁的载荷kN P 101=，kN P 42=,铸铁的许用应力[][]MPa MPa c t 100,30==σσ。截面的尺寸如图所示试校核此梁。
解：①计算梁的支反力并作弯矩图 根据AB 梁的平衡条件，求得支反力为 kN R kN R B A 11,3==
作AB 梁的弯矩图如图6-7（b ）所示。可以看到在梁的C 截面上有最大正弯矩 m kN M C ?=3 在B 截面上有梁的最大负弯矩： m kN M
B
?-=4
②确定截面形心位置并计算形心轴惯性矩 T 字形截面尺寸如图6-7（a ）所示，心
z y '-为考虑坐标系，确定截面形心的位置。由
A
R 1
y y '
mm A
S y y Z 5020
120902080
2012010902021=?+???+??=
'=
=
T 形截面对其形心轴z 的轴惯性矩
?
??
?
?
???+?+????????+?=23
2330201201212020402090122090z I
=461089.7m -?
③分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度 对等直梁，若材料为塑性材料时梁的截面大多数为具有水平对称轴的截面，梁内的最大拉应力和最大压应力相等，并且都发生在梁的弯矩绝对值最大的截面上。而脆性材料梁的截面大都制成象T 字形等没有水平对称轴的截面。这时，梁的最大拉应力（或压应力）不仅取决于弯矩数值的大小，还与弯矩的正负符号（方向）及截面开头有关。因此，要分别校核危险截面B 和C 上的弯曲正应力。
在B 截面：
()[]
()[]
c z
B
c t z B
t MPa I y M
MPa I y M
σσσσ<=????=
=
=
----1.4510
98.710
901041.2510
98.710
501046
3
3
1
max
6
3
3
2max
在C 截面：
[]c
z
C
M P a I y M
σ
σ<=????=
=
--8.1810
98.710
50103)(6
3
32
max
[]t z
c t t M P a I y M σσ>=????=
=
--8.3310
98.710
90103)(6
3
31max
所以，铸铁梁的拉伸强度不满足，即AB 梁是不安全的。 4、提高弯曲强度的措施
（1）合理安排梁的支承及载荷 （2）梁的合理截面 （3）等强度梁
（二） 弯曲剪应力
横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应力。
1．矩形截面梁的弯曲剪应力
分析图所示横力弯曲的矩形截面梁截面上某点处的剪应力时，需要先分析截面上剪应力的分布规律。矩形截面上，剪力Q 截面的纵向对称轴y 轴重合。在截面两侧边界处取一单元体（尺寸分别为dz dy dx ,,）的微小六面体，设在横截面上剪应力τ的方向与边界成一角度，则可把该剪应力分解为平行于边界的分量y τ和垂直于边界的分量z τ。根据剪应力互等定理，可知在此单元体的侧面必有一剪应力x τ和z τ大小相等。但是，此面为梁的侧表面，是自由表面，不可能有剪应力，即0==z x ττ。说明矩形截面周边处剪应力的方向必然与周边相切。因对称关系，可以推知左、右边界y 轴上各点的剪应力都平行于剪力Q 。所以，当截面高度
h 大于宽度b 时，关于矩形截面上的剪应力分布规律，可作如下假设：
（1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力Q 的方向。
（2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与y 坐标有关。
从图所示横力弯曲的梁上截取长为dx 的微段梁，设该微段左、右截面上的弯矩分别为M 及dM M +；剪力均为Q 。再在n m -和11n m -两截面间距中性层为y 处用一水平截面将该微截开，取截面以下部分进行研究。在六面体n n pp 11上，左、右竖直侧面上有正应力1σ、
2σ和剪应力τ；顶面上有与τ互等的剪应力τ'。在左、右侧面上的正应力1σ和2σ分别构
成了与正应力方向相同的两个合力1N 和2N ，它们为
dA y I M dA N A
z
A
?
?
*
*
=
=
111σ
式中，*A 为横截面上距中性轴为y 的横线以外的面积，如图所示。式中积分
dA y S A
?
*
=
*
12
是*A 的截面积对矩形截面中性轴z 的静矩。因此，上式简化为
*
=
z z
S I M N 1
同理，
*
+=z z
S I dM
M N 2
因微段的左、右两侧面上的弯矩不同，故2N 和1N 的大小也不相同。2,1N N 只有和水平剪应
力τ'的合力一起，才能维持六面体在x 方向的平衡，即
∑=0X
， 0)(21='--bdx N N τ
将1N 和2N 代入上式，有
0='--
+*
*
bdx S I M S I dM
M z z
z z
τ
整理、化简后有
z
z
d x b I d M S *
=
'τ
根据梁内力间的微分关系
Q dx
dM =，可得
z
z bI
QS *
=
'τ
由剪应力互等定理ττ='，可以推导出矩形截面上距中性轴为y 处任意点的剪应力计算公式为
z
z bI
QS *=τ
式中 Q ——横截面上的剪力
z I ——横截面A 对中性轴z 的轴惯性矩
b ——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度）
*
z S ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分的面积*A 对中性轴的静矩
现在，根据剪应力公式进一步讨论剪应力在矩形截面上的分布规律。在图所示矩形截面上取微面积bdy dA =，则距中性轴为y 的横线以下的面积*A 对中性轴z 的静矩为
???
? ??-==
=
?
?
*
*22
211142y h b dy by dA y S b
y
A
z
将此式代入剪应力公式，可得矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为
???
? ??-=22
42y h I Q z τ 从该式可以看出，沿截面高度剪应力τ按抛物线规律变化，如图所示。可以看到，当
2
h y ±
=时，即矩形截面的上、下边缘处剪应力0=τ；当y=0时，截面中性轴上的剪应力
为最大值：
z
I Qh
82
max =
τ
将矩形截面的惯性矩12
3
bh I z =
代入上式，得到
bh
Q 23max =
τ
说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力5.1倍。
2．工字形截面梁的弯曲剪应力
工字形截面可以看做由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。
仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式z
z bI
QS *=τ。
??
??????? ??-+??? ??-+????????? ??-+??? ??-=*
y h y y h b h H h h H B S z 22122221222
()
???
? ??-+-=
22
2
2
428
y h b h
H
B 将此式代入弯曲剪应力公式并注意到b t =，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式
(
)????
??????
??
-+-=
22
2
428
y h
h h
H B
bI Q z τ 0=y 时，在截面中性轴上
()??
?
?
??--=88
22
m a x h b B BH
bI Q z τ
2
h y ±
=时，在腹板与翼缘的交界处
??
??
??-=88
22
m i n Bh BH
bI Q z τ
3.弯曲剪应力强度条件
由于横力弯曲时在梁的截面上同时存在两冲应力，即弯曲正应力和弯曲剪应力，并且它们的分布规律并不相同，因此，弯曲强度的计算是比较复杂的，为使梁安全可靠地工作，梁除了必须满足正应力强度条件外，还必须满足剪应力强度条件。梁的最大弯曲剪应力都发生在截面中性轴上各点处，而中性轴上各点的弯曲正应力都为零，即这些点都处于纯剪切状态，所以，梁的弯曲剪应力强度条件为
[]ττ≤????
?
?=m a x
*
m a x z z
bI
QS 式中，[]τ为材料的许用弯曲剪应力。
例.试比较图所示受均布载荷g 作用的矩形截面梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。
解：①计算梁的支反力并作内力图 根据AB 梁的平衡，求得支反力为 2
q l R R B A ==
作梁的剪力图和弯矩图如图所示。从图中看到
8
22
m
a x
q l M q l Q m a z
==
②计算梁的最大应力 在梁的中间截面的上、下边缘处有最大弯曲正应力
2
22
2
m a x
m a x 436
8
bh
ql bh ql
W M
Q z
===
在梁的两端截面的中性轴上，在最大弯曲剪应力
bh
ql
bh ql
bh Q 43223
23max
max =?=
=
τ
③比较此梁的最大弯曲正应力与最大弯曲剪应力
h
l bh
ql
bh ql
=
=
43432
2max
max
τσ
（三）非对称开口薄壁截面梁的弯曲中心
横力弯曲时，梁的横截面上不仅有正应力还有剪应力。对于有对称截面的梁，当外力作用在形心主惯性平面内时，剪应力的合力，即剪力作用线通过形心，梁发生平面弯曲。对于非对称截面（特别是薄壁截面）梁，横向外力即使作用在形心主惯性平面内，剪应力的合力
z
作用线并不一定通过截面形心。当剪应力的合力作用线不通过截面形心时，梁不仅发生弯曲变形，而且还将产生扭转，如图所示。只有当横向力作用在某一特定点A 并和形心主惯性平面平行时，该梁才只产生平面弯曲而无扭转，如图所示。这一特定A 称为弯曲中心或剪切中心，简称弯心。
1、开口薄壁杆件的弯曲剪应力
图所示任意的开口薄壁杆件。当杆件发生平面弯曲时，其截面上的弯曲剪应力形成剪应力流，如图所示，开口薄壁杆件横截面上的剪应力，可按照与矩形截面相同的方法来分析。薄壁杆件的x 截面上剪力为Q 。欲求该截面上距自由边缘为ξ点的剪应力时，仍从梁中以相距dx 的两个横截面和沿薄壁厚度t 的纵向截面截出一部分abcd 。在这一部分的ad 和bc 面上有弯曲正应力1σ和2σ，在底面dc 上有和bc 面上c 点的剪应力互等的剪应力τ'。这些应力的方向都平行于x 轴。类似于矩形截面弯曲剪应力的推导，先求得bc 和ad 面上x 方向的合力1N 和2N 分别是
*
=
z z
S I M N 1
及 *
+=
z z
S I dM
M N 2
式中，M 和dM M +分别是bc 和ad 两横截面上的弯矩；*
z S 是距自由边缘为ξ处以外部
分截面对中性轴的静矩；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩。这两个合力1N 和2N 之差，被dc 面上剪应力τ'的合力（dx ττ'）所平衡，即， ∑=0X
， 021=-'+N dx N ττ
由此可求出剪应力τ'为
z
z
tI QS *=
'τ
利用剪应力互等定理，可推导出开口薄壁杆件横截面上距自由边缘为ξ处的剪应力计算公式为
z
z
tI QS *
=τ
2、非对称开口薄壁截面梁的弯曲中心
图所示为开口薄壁截面梁的横截面。O 为截面的形心，y 、z 为截面的形心主惯性轴。当梁的横向力和y 轴平行而发生平面弯曲时，薄壁截面上的剪应力方向如图所示，梁的截面上只有和y 轴平行的剪力y Q 。在横截面上，微内力dA τ组成相切于横截面的内力系（图中只画出一个微内力dA τ），其合力即为在y 向的剪力y Q ，它的大小可由截面法从梁上求得。而剪力y Q 作用线的位置，可选定截面内任意点B 为力矩中心。根据合力矩定理，微内力dA τ对B 点的力矩总和，应等于其合力y Q 对B 点之矩，即 ?
=
A
z y dA a Q ρτ
式中，z Q 是剪力y Q 对B 点的力臂，ρ是微内力dA τ对B 点的力臂。根据该式，可求得剪力作用线的位置（距B 点为z a ）。
同理，当梁的横向力和z 轴平行而发生平面弯曲时，梁的截面上只有和z 轴平行的剪力z Q 。用同样的方法，可推导出其弯曲剪应力公式为 y
y z tI
S Q *
=
τ
式中，*
y S 为开口薄壁截面上所求应力点处离中性轴y 以外部分截面对y 轴的静矩。利用合力矩定理，可得确定z Q 作用线对B 点的力臂y a 的公式为
?
=
A
y z dA a Q ρτ
当开口薄壁截面梁在互相垂直的两个方向（y 向和z 向）各自发生平面弯曲时，剪力y Q 和z Q 作用线的交点A ，称为弯曲中心。
几种常见截面的弯曲中心位置
杆件的强度计算公式资料讲解
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三 杆件弯曲受力分析计算 在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。 问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题 梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。 由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。 （公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。 （公式8.2） （公式8.3） （公式8.4） 其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。 将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。 （公式8.5）分析公式8.5，其中： 为截面绕Z轴的惯性矩。 公式8.5变形为8.6。 ρ ρ ρ ρ ρ ε y y dx dx = = - + = ? = dθ dθ dθ dθ y)dθ ( ?? = A y M dA σ ε σ? =E ρ ε σ y E E= = ? ??= ?? ? ? ? ? = ? = A A A y E y y E y M dA dA dA2 ρ ρ σ Z A I y= ?dA2
（公式8.6） 将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7 （公式8.7） 公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。 我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。 （公式8.8） 公式8.7可以化简为极值公式8.9。 （公式8.9） 例题分析讲解 【例1】 图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。 【解】 计算悬臂梁的弯矩 计算梁截面的惯性矩 计算抗弯截面模量 计算各点的正应力 y I W Z =m kN 6.488.1302 1 2?=??=M 001067 .0124.02.01233=?==bh I 00533.012 4.02.062 2=?==bh W Z W M Z = σZ Z I E M ?= ρ 1 y I M Z Z = σ
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、
b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长 了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由 虎 克定律，得 ρ y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而 ?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等（图7-5）。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内
材料力学公式汇总
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ=， []b b n σσ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度 1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时， 0≠=Q dx dM 。 ，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 （2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 （2）物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = 该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上 ρ E 为常数，说 明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 （3）静力关系 截面上的最大正应力为 z I My max max = σ 如引入符号 m a x y I W z z = 则截面上最大弯曲正应力可以表达为
z W M = max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[] 3 长度。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面： 62 1223 max bh h bh y I W z z === 直径为d 的圆截面： 322 6433 max d d d y I W z z ∏=∏== 至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。 若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如 T 形截面。这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。 最大拉应力为： z t I My 1 )(= σ 最大压应力为： z e I My 2 )(= σ 2、横力弯曲时的正应力 z I My = σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料力学得基本计算公式外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力与荷载集度之间得关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力得计算公式 (杆件横截面 轴力F N,横截面面积A,拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上得正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线得方位角为正) 4.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d１) 5.纵向线应变与横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律 8.受多个力作用得杆件纵向变形计算公式？ 9.承受轴向分布力或变截面得杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆得强度计算公式 11.许用应力, 脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )
15.拉压弹性模量E、泊松比与切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心得极惯性矩(a)实心圆 (ｂ)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离r ) 18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数 ,(a)实心圆? (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤Ｒ０/10 ,R0为圆管得平 均半径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩Ｔ、杆长l、扭转刚度GＨｐ得 关系式 22.同一材料制成得圆轴各段内得扭矩不同或各段得 直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴得刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上得应力 计算公式, 27.平面应力状态下斜截面应力得一般公式 , 28.平面应力状态得三个主应力 , , 29.主平面方位得计算公式
第15讲 弯曲切应力、弯曲强度条件
第15讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件
§5-3 弯曲切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有剪应力 τ。但一般情况下，剪应力对 梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1．矩形截面梁 对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q 的方向一致。由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。又因截面高度h 大于宽度b ，剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。 2）剪应力沿截面宽度均匀分布。 基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图6-6b 所示。梁的横截面尺寸如图6-6c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图6-6d ）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 * 1I 1** z z A z A S I M dA I My dA N == =??σ （a ）
弯曲应力计算
第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截
面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律
8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）
18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的 关系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,
27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力, 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律
弯曲应力、强度计算参考资料
第六章 弯曲应力和强度 一、授课学时:6学时 二、重点与难点: 重点:弯曲正应力、剪应力分布,弯曲强度条件应用 难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念 重点处理:从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方法,结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练. 难点处理: 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照A N = σ,P I T ρτ= 的推导消化难点,以学生理解这一推导思路.结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心. 三、主要内容: （一） 弯曲正应力 1、 纯弯曲时的正应力 图所示简支梁AB ，载荷P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为对称弯曲，其计算简图如图所示。从AB 梁的剪力图）和弯矩图可以看到，AC 和DB 梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在CD 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时， 0≠=Q dx dM 。 可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于 0==Q dx dM ，可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值，即M =常量。因此，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。 纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力σ组成的内力系的合力矩即为弯矩M 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超
孙训方版材料力学公式总结大全
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材 料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?=ε，A P A N == σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ??? === 2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??== l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl =?
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材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N， 横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力，脆性材料，塑性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）
16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点 到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转 切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如 阶梯轴）时或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，
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第7章弯曲应力 7、1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时得内力——剪力与弯矩.但就是，要解决梁得弯曲强度问题，只了解梁得内力就是不够得,还必须研究梁得弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力,如何计算各点得应力。 在一般情况下,横截面上有两种内力——剪力与弯矩。由于剪力就是横截面上切向内力系得合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩就是横截面上法向内力系得合力偶矩，所以它必然与正应力有关.由此可见,梁横截面上有剪力时，就必然有切应力；有弯矩M时,就必然有正应力。为了解决梁得强度问题，本章将分别研究正应力与切应力得计算。 7、2 弯曲正应力 7、２、1 纯弯曲梁得正应力 由前节知道,正应力只与横截面上得弯矩有关,而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩,而无剪力作用得弯曲情况来讨论弯曲正应力问题. 在梁得各横截面上只 有弯矩,而剪力为零得弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁得各横截面上，同时存 在着剪力与弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图7 —1所示得简支梁中,BC段 为纯弯曲,AB段与CD段为 横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力得方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样,需要综合考虑 问题得变形方面、物理方 面与静力学方面。图7—1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应得纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时得变形现象。为此,取一根具有纵向对称面得等直梁,例如图７－2(ａ）所示得矩形截面梁,并在梁得侧面上画出垂直于轴线得横向线m—ｍ、n—ｎ与平行于轴线得纵向线ｄ-d、b-b。然后在梁得两端加一对大小相等、方向相反得力偶,使梁产生纯弯曲。此时
可以观察到如下得变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线、，靠顶面得aa线缩短了，靠底面得bb线伸长了。横向线m—m、n—n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定得角度,且仍与弯曲了得纵向线保持正交，如图7-２（ｂ）所示。 梁内部得变形情况无法直接观察，但根据梁表面得变形现象对梁内部得变形进行如下假设: (1)平面假设梁所有得横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后得梁得轴线。 (2) 单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,每根纤维均处于拉伸或压缩得单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到得变形现象已经可以推广到梁得内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分得纵向纤维缩短，靠近下面部分得纵向纤维伸长。由于变形得连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层（图7—３）。中性层与横截面得交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁得纵向对称面内因此梁得变形也应该对称于此平面,在横截面上就就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定. 考察纯弯曲梁某一微段ｄｘ得变形(图７－4).设弯曲变形以后,微段左右两横截面得相对转角为dθ，则距中性层为y处得任一层纵向纤维bb变形后得弧长为 式中，为中性层得曲率半径.该层纤维变形前得长度与中性层处纵向纤维ＯO长度相等,又因为变形前、后中性层内纤维OO得长度不变,故有 由此得距中性层为ｙ处得任一层纵向纤维得线应变 (a） 上式表明,线应变 随y按线性规律变化. 物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时得弹性模量E相等，则由虎克定律，得 (b) 式(ｂ)表明，纯弯曲时得正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=０，因而σ=０，中性轴两侧,一侧受拉应力，另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点得正应力数值相等（图7—5）. 静力学方面虽然已经求得了由式（ｂ)表示得正应力分布规律,但因曲率半径ρ与中性轴得位置尚未确定,所以不能用式（b）计算正应力,还必须由静力学关系来解决。 在图7-５中，取中性轴为ｚ轴，过z、y轴得交点并沿横截面外法线方向得轴为x轴,作用于微面积上得法向微内力为。在整个横截面上,各微面积上得微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足,,三个平衡方程。 由于所讨论得梁横截面上设有轴力，,故由,得 （ｃ）将式(b)代人式(c）,得