2003考研数一真题及解析

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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1)21

ln(1)0lim(cos )x x x +→=

(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.

(3)设)(cos 02

ππ≤≤-=∑∞

=x nx a x n n ，则2a =. (4)从2R 的基???? ??-=???? ??=11,0121αα到基???? ??=???? ??=21,1121ββ的过渡矩阵为.

(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤?

??=则=≤+}1{Y X P .

(6)已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40(cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是. (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有()

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(A)一个极小值点和两个极大值点.

(B)两个极小值点和一个极大值点.

(C)两个极小值点和两个极大值点.

(D)三个极小值点和一个极大值点.

(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必有() (A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立.

(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞

→lim 不存在. (3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2

220,0=+-→→y x xy y x f y x ，则() (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.

(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点.

(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.

(4)设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则()

(A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关.

(C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关.

(5)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为n m ?矩阵，现有4个命题：

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①若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )；

②若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解；

③若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )；

④若秩(A )=秩(B )，则0Ax =与0Bx =同解.

以上命题中正确的是()

(A)①②.(B)①③.

(C)②④.(D)③④.

(6)设随机变量2

1),1)((~X Y n n t X =>，则() (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ.

(C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .

(1) 求D 的面积A ;

(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .

四、(本题满分12分) 将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-0

12)1(n n

n 的和. 五、(本题满分10分) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界.试证：

页脚内容4 (1)dx ye dy xe dx ye dy xe x L

y x L y sin sin sin sin -=-??--; (2).22sin sin π≥--?dx ye dy xe x L

y 六、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m .根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问

(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

(注：m 表示长度单位米.)

七、(本题满分12分)

设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.

(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy

x d 变换为()y y x =满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件2

3)0(,0)0(=

'=y y 的解. 八、(本题满分12分)

设函数()f x 连续且恒大于零， ?????

+++=Ω)(22

)(222)()()(t D t d y x f dv

z y x f t F σ，???-+=t t D dx x f d y x f t G 1

2)(22)()()(σ，